专题03 整式的乘法与因式分解【考点串讲】课件（共32张PPT）-七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

七年级苏科版数学下册期中考点大串讲
串讲03 整式的乘除与
因式分解
解题技巧
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05
03
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考点一 整式的乘法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}整式的乘法
运算步骤说明
补充说明及注意事项
单项式乘单项式
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.
1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
单项式乘多项式
①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；
②再把所得的积相加.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式
2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.
多项式乘多项式
①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，
②再把所得的积相加．
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
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考点一 整式的乘法
1．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题
(1)34??????????????2????????????3
(2)????+1?????6?1?????4?????
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【详解】（1）34??????????????2????????????3
=34???????????????8????3????3????3
=?6????4????4????3+8????3????4????3；
（2）????+1?????6?1?????4?????
=????2?6????+?????6?4??????4????+????2
=????2?6????+?????6?4+????+4?????????2
=?10．
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考点一 整式的乘法
2．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若????????2?????+3?????2????=????3+5?????6对任意????都成立，则????+????= ．
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【详解】
解：????????2?????+3?????2????=????3+5?????6，
????3?????????+3?????2????=????3+5?????6，
????3+?????+3?????2????=????3+5?????6，
∵原式子对任意????都成立，
∴?????+3=5，?2????=?6，
解得：????=?2，????=3，
∴????+????=?2+3=1．
故答案为：1．
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考点一 整式的乘法
3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）在计算2????+????????+????时，甲错把b看成了6，得到的结果是：2????2+8?????24；乙错把a看成了?????，得到的结果是：2????2+14????+20，求a、b的值．
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【详解】解：因为甲错把b看成了6，
则2????+????????+6=2????2+12+????????+6????=2????2+8?????24，
可得：????=?4，
因为乙错把a看成了?????，
则：2?????????????+????=2????+4????+????=2????2+2????+4????+4????=2????2+14????+20，
得：????=5．
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考点一 整式的乘法
4．（22-23七年级下·全国·假期作业）小红准备完成题目：计算 ，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：????2+3????+2?????1；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
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【详解】（1）解：????2+3????+2?????1=????3+3????2+2?????????2?3?????2=????3+2????2??????2；
（2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为????2+????????+2?????1，
????2+????????+2?????1=????3+????????2+2?????????2??????????2
=????3+?????1????2+2??????????2，
∵????2+????????+2?????1的计算结果不含一次项，∴2?????=0，
∴????=2，∴被遮住的一次项系数是2．
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考点一 整式的乘法
5．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．验证：
(1)92?52的结果是8的______倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为2????+1（????为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是8的倍数．
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【详解】（1）解：92?52=81?25=56，
56÷8=7，故答案为：7．
（2）解：由题意得，最大奇数为2????+3，最小奇数为2?????1，则：
2????+32?2?????12=2????+3+2?????12????+3?2????+1=44????+2=82????+1，
∵????为整数，∴2????+1为整数，
∴任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．
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考点一 整式的乘法
6．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）已知：????+?????????34的结果中不含关于字母x的一次项，求????+22?3???????????3的值．
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【详解】解：????+?????????34
=????2+?????34?????34???? ，
∵结果中不含关于字母x的一次项，
∴????=34，
化简????+22?3???????????3可得：原式=4????+13，????????????
将????=34代入化简之后的式子得：4????+13=4×34+13=16．
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考点一 整式的乘法
7．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）已知????2+3?????4=0，求代数式????+22?????3+2????????+6?????的值．
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【详解】解：????+22?????3+2????????+6?????
=2????2?3????+4?????6+2????2+12?????????
=4????2+12?????6
∵????2+3?????4=0，∴????2+3????=4，
∴原式=4????2+3?????6
=4×4?6
=10
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考点一 整式的乘法
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，甲长方形的两邻边长分别为????+1，????+5，乙长方形的两邻边长分别为????+2，????+4．（其中????为正整数）
(1)图中甲长方形的面积为????1，乙长方形的面积为????2，比较大小：????1______????2（填“>”、“=”或“<”），并说明理由；
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【详解】（1）解：<，
理由如下：????1?????2=????+1????+5?????+2????+4
=????2+6????+5?????2+6????+8
=????2+6????+5?????2?6?????8
=?3<0，
∴ ????1故答案为：<．
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考点一 整式的乘法
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，甲长方形的两邻边长分别为????+1，????+5，乙长方形的两邻边长分别为????+2，????+4．（其中????为正整数）
(2)现有一正方形，其周长与图中甲长方形的周长相等，正方形的面积为????．若甲、乙两个长方形的面积????1，????2与正方形的面积????满足????1+????2=32????，求这个正方形的面积．
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（2）解：∵正方形的周长与图中甲长方形的周长相等，
∴正方形的周长为2????+1+????+5=4????+12，
∴正方形的边长为????+3，
∴正方形的面积????=????+32=????2+6????+9．
∵ ????1+????2=32????，∴ ????2+6????+5+????2+6????+8=32????2+6????+9，
整理得????2+6????=1，∴ ????2+6????+9=1+9=10，
∴这个正方形的面积为10．
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考点一 整式的乘法
9．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义新运算????????????????=??????????????????，如8732=8?27?3=6×4=24，那么2????+?????????2????3?????5?????????????化简的结果是（????）
A．2????2?3????????+6????2 B．2????2??????????6????2
C．?2????2+3????????+6????2 D．?2????2?????????+6????2
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【详解】解：2????+?????????2????3?????5?????????????=2????+???????????????????2?????3?????5????
=????+2?????2????+3????
=?2????2?????????+6????2．
故选：D．
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考点二 乘法公式
易错易混
考点二 乘法公式
1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
知识大全
考点二 乘法公式
完全平方公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
知识大全
考点二 乘法公式
平方差公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
2. 常见验证平方差公式的几何图形
结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
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考点二 乘法公式
1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若????+????????+????能运用平方差公式计算，则????，????满足的条件可能是（????）
①????=????，????=????；②????=????，????=?????；③????=?????，????=????；④????=?????，????=?????．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
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【详解】解：∵????+????????+????能运用平方差公式计算，
∴????=????，????=?????或????=?????，????=????，故选：C．
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2．（20-21七年级下·广东茂名·期中）下列多项式不是完全平方式的是(????)．
A．????2?4?????4 B．14+????2+???? C．????2+2????????+????2 D．????2+4????+4
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3．【易错常考】（21-22七年级下·江苏苏州·期中）若????2?2????+1????+144是完全平方式，则常数????的值为（????）
A．-11或13 B．11或-13 C．±11 D．±13
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【详解】∵????2?2(????+1)????+144是完全平方式，∴????+1=±12,
解得：????=11或?13，故答案为B.
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热考题型
考点二 乘法公式
4．（23-24六年级下·山东淄博·期中）利用乘法公式计算：
(1)?2022；
(2)1232?124×122．
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【详解】（1）解：?2022=2022=200+22=2002+2×200×2+22=40000+800+4=40804；
（2）1232?124×122=1232?123+1×123?1 =1232?1232?12=1232?1232+1=1．
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5．（湖南省长沙市明德教育集团2023-2024学年九年级下学期月考数学试题）先化简，后求值：?????2????2+?????2????????+2??????????????4????，其中????=1,????=?1．
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【详解】
解：原式=????2?4????????+4????2+????2?4????2?????2+4????????=????2
当????=1,????=?1时，原式=1
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考点二 乘法公式
6．求值:(2+1)22+124+128+1216+1232+1264+1=
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【详解】原式=(2?1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1).
=(22?1)(22+1)(24+?1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(264?1)(264+1)
=2128?1．
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7．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）求值：
(1)已知????+????=5，????????=2，求????2+????2的值.
(2)已知????+????=10，????2+????2=6，求????????的值
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【详解】（1）∵????+????2=????2+2????????+????2，????+????=5，????????=2，
∴52=????2+2×2+????2，
解得????2+????2=21；
（2）∵????+????2=????2+2????????+????2，????+????=10，????2+????2=6，
∴102=6+2????????，
解得????????=100?62=47．
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考点二 乘法公式
【详解】解：由A选项可得：?????????2+2????????=????2+????2，故本选项不符合题意；
由B选项可得：????+????2=?????????2+4????????，故本选项符合题意；
由C选项可得：????+????2=????2+????2+2????????，故本选项不符合题意；
由选项D可得：?????????2=????2?2????????+????2，故本选项不符合题意，
故选：B．
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考点二 乘法公式
9．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形．
(1)图1阴影面积是 ；
(2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
(3)运用得到的公式，计算：1?1221?1321?142?1?11002= ．
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【详解】（1）解：阴影面积是：????2?????2，故答案为：????2?????2；
（2）解：根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为：2×12(????+????)(?????????)=(????+????)(?????????)，
∴可以得到的乘法公式为????+?????????????=????2?????2，故答案为：????+?????????????=????2?????2；
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热考题型
考点二 乘法公式
9．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形．
(3)运用得到的公式，计算：1?1221?1321?142?1?11002= ．
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（3）解：1?1221?1321?142?1?11002
=1?121+121?131+131?141+14?1?11001+1100
=12×32×23×43×34×54×?×99100×101100
=12×101100
=101200．
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考点三 因式分解
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考点三 因式分解
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
解题技巧
考点三 因式分解
因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤：
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考点三 因式分解
1．（21-22七年级上·上海·期末）下列等式中：①????2?????2=????+?????????????；②30=2×3×5；③????2+????+1=????????+1+1；④????+????2=????2+2????????+????2，从左到右的变形是因式分解的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【详解】解：①由因式分解的概念可得，????2?????2=????+?????????????是从左到右的变形是因式分解；
②30不是多项式，故30=2×3×5从左到右的变形不是因式分解；
③????2+????+1不是几个整式的乘积的形式，故????2+????+1=????????+1+1从左到右的变形不是因式分解；
④????+????2=????2+2????????+????2，从左到右的变形是整式乘法，故从左到右的变形不是因式分解，
故选：A．
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考点三 因式分解
2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）若6????2?19????+15=????????+????????????+????，则????????+????????的值为 ．
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【详解】解：∵6????2?19????+15=????????+????????????+????，
而????????+????????????+????=????????????2+????????????+????????????+????????=????????????2+????????+????????????+????????，
∴????????=6，????????=15，
∴????????+????????=6+15=21，
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3．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）因式分解????2+????????+????时，甲看错了a的值，分解的结果是????+6?????1，乙看错了b的值，分解的结果为?????2????+1，那么????2+????????+????分解因式正确的结果为 ．
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【详解】解：甲错了a的值，(????+6)(?????1)=????2+5?????6，∴????=?6，
乙看错了b的值，?????2????+1=????2??????2，∴????=?1，
∴????2+????????+????分解因式正确的结果：????2??????6=(?????3)(????+2)．
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考点三 因式分解
4．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）分解因式：
(1)9????2(2?????????)+(?????2????)；
(2)(????2?????)2+14(?????????2)+24．
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【详解】（1）
解：9????2(2?????????)+(?????2????)
=9????2(2?????????)?(2?????????)
=(9????2?1)(2?????????)
=(2?????????)(3????+1)(3?????1)；
（2）
(????2?????)2+14(?????????2)+24
=(????2?????)2?14(????2?????)+24
=(????2??????2)(????2??????12)
=(?????2)(????+1)(?????4)(????+3)．
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考点三 因式分解
7．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)2022+202×196+982．
(2)9992?998×1002．
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【详解】（1）解：原式=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90000．
（2）解：原式=(1000?1)2?(1000?2)(1000+2)=10002?2×1000×1+1?10002+4=?2000+5=?1995．
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8．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知????,????,????为三角形????????????的三边长，且满足????2????2?????2????2=????4?????4，则三角形????????????的形状为（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
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【详解】因为????2????2?????2????2=????4?????4，即????2????2?????2=????2+????2????2?????2，
所以????2+????2????2?????2?????2????2?????2=0，
????2?????2????2+????2+????2=0，????+?????????????????2+????2+????2=0．
因为????,????,????是三角形的三边长，所以????+????>0,????2+????2+????2>0，所以?????????=0，即????=????，
所以三角形????????????为等腰三角形．
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谢谢！