2024年辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与等腰三角形问题 课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
例1题图
微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
一题多设问
例1 已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.连接AC.
微专题：二次函数与等腰三角形问题
探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为等腰三角形．
(1)若AC为等腰三角形的底边时，AP＝PC；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
例1题解图①
解：探究1：(1)满足条件的点P如解图①所示.
(2)若AC为等腰三角形的腰时，AC＝________或AC＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；
PC
AP
(2)满足条件的点P如解图②、③所示.
例1题解图②
例1题解图③
探究2：在抛物线上找一点E使得△BCE为等腰三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).
例1题图④
探究2：满足条件的点E如解图④、⑤所示.
例1题图⑤
【作图依据】______________________________________________
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【方法总结】等腰三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为______或______讨论；以探究1为例，已知边AC为底时，可以作已知边的______________________，所找点即为＿＿＿＿______________的交点；若已知边AC为腰时，作图方法为：__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿___________________，所找点即为____________________
腰
底边
垂直平分线(中垂线）
垂直平分线和对称轴
圆与对称轴的交点．
AC的长为半径画圆
分别以点A、C为圆心，
三点共线时，不能构成三角形，须忽略．
●
易错警示
【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？
一题多设问
二阶
一题多设问
例2 如图①，已知抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴与x轴交于点N.
例2题图①
(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
∴抛物线的表达式为y＝- x2+ x+2
∴抛物线的对称轴为直线x＝ =
当x＝1时，y＝
∴顶点M的坐标为(1, );
解：(1)将点A(－1，0)，B(3，0)代入抛物线y＝－　x2＋bx＋c中，
得 解得
例2题图①
例2题图②
(2)如图②，点P是抛物线上一点，当△PCO是以OC为底边的等腰三角形时，请直接写出点P的横坐标；
【思维教练】由于点P在抛物线上，△PCO是以OC为底边的等腰三角形，所以点P在OC的垂直平分线与抛物线的交点上．
例2题图②
令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2，
∵△COP是以CO为底的等腰三角形，
∴CD＝DO＝1，
∴点P，P′的纵坐标为1，
当y＝1时，－ x2＋ x＋2＝1，
P
P′
D
【解法提示】如解图①，作CO的垂直平分线交抛物线于点P和点P′，交CO于点D.连接CP、OP，OP′，CP′，△POC和△P′CO是以OC为底的等腰三角形．
解得x＝1＋ 或x＝1－ .
∴点P的横坐标为1＋ ，
点P′的横坐标为1－ .
即存在点P使△PCO是以OC为底边的等腰三角形，点P的横坐标为
1＋ 或1－ .
(2)点P的横坐标为1+ 或1-
例2题图②
P
P′
D
例2题图③
(3)如图③，点E是x轴上一点，当△ACE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标；
【思维教练】由于△ACE是等腰三角形，可分AC为底边，AC为腰两种情况分类讨论．
【解法提示】∵点E在x轴上，
∴设点E的坐标为(m，0)．由(1)易得点C的坐标为(0，2)，
∴AC＝ ，
∵△ACE是等腰三角形，
①当AE＝AC时，
ⅰ.当点E在点A的右侧时，
∵AE＝AC＝ ，
则EO＝ －1，
例2题图③
∴E的横坐标为 －1；
∴E( －1，0)；
ⅱ.当点E在点A的左侧时，
∵AE＝AC＝ ，则EO＝ ＋1，
∴点E的横坐标是－ －1；
∴E(－ －1，0)；
②当AC＝CE时，∵CO⊥AE，
∴点E在AO的延长线上，且AO＝EO，
∴点E的横坐标为1；∴E(1，0)；
例2题图③
③当AC为底时，则AE＝CE时，则点E为AC的垂直平分线与x轴的交点．
∵AE＝1＋m，OE＝m，
∴AE2＝(1＋m)2.
∵点C的坐标为(0，2)，
∴OC＝2.
∴CE2＝m2＋22.
∵CE＝AE，∴22＋m2＝(1＋m)2，
解得m＝
例2题图③
∴E( ，0)，
综上所述，点E的坐标为( －1，0)或(－ －1，0)或(1，0)或
( ，0)．
(3)点E的坐标为( －1，0)或(－ －1，0)或(1，0)或( ，0)；
例2题图③
例2题图④
(4)如图④，对称轴MN上一点是否存在点G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，请直接写出点G的纵坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】未明确说等腰三角形的腰和底，故要分类讨论：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC求解即可．
【解法提示】∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为(1，m)，
∵点C(0，2)，B(3，0)，
∴BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(m－2)2，BG2＝22＋m2，
当△CGB是等腰三角形时，可分以下三种情况：
①当CG＝CB时，1＋(m－2)2＝13，解得m＝2＋2 或m＝2－2 ，
∴G(1，2＋2 )或(1，2－2 )；
②当CG＝BG时，1＋(m－2)2＝22＋m2，解得m＝ ，∴G(1， )；
③当BG＝BC时，22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，
∴G(1，3)或(1，－3)；
综上所述，当△CGB是等腰三角形时，点G的纵坐标为2＋2 或
2－2 或 或3或－3.
(4)存在，点G的纵坐标为2＋2 或2－2 或 或3或－3；
例2题图⑤
(5)如图⑤，点D的坐标为(4，0)，动点Q从点A开始沿AC方向以每秒
个单位长度的速度运动，动点P从点C开始，沿CD方向以每秒 个单位长度的速度运动，当点Q到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t，当△NPQ是等腰三角形时，请直接写出t的值．
【思维教练】根据题意用含t的式子表示出
QN，PQ，PN，由于不确定△NPQ的底和腰．
所以分下列三种情况讨论：
①NQ＝NP，②NQ＝PQ，③NP＝PQ求解即可．
例2题图⑤
【解法提示】由点的坐标易得AC＝ ，CD＝2 ，AD＝5.
由勾股定理逆定理得AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°.
根据题意可知，AQ＝ t，CP＝ t，∴CQ＝ － t，
∴PQ2＝CQ2＋CP2＝( － t)2＋( t)2＝ t2－5t＋5，
Q
G
H
P
易得AG＝ t，QG＝t，∴NG＝2－ t，
则NQ2＝QG2＋NG2＝ t2－2t＋4，
同理可得NP2＝5t2－8t＋5，
其中t的取值范围是0≤t≤2.
如解图②，过点Q作QG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，
当△NPQ是等腰三角形时，则分以下几种情况：
①当NQ＝NP时， t2－2t＋4＝5t2－8t＋5，
整理得15t2－24t＋4＝0，解得t＝ 或t＝ ；
②当NQ＝PQ时， t2－2t＋4＝ t2－5t＋5，
整理得5t2－3t＋1＝0，此方程无解，则此时t不存在；
例2题图⑤
Q
G
H
P
③当NP＝PQ时，5t2－8t＋5＝ t2－5t＋5，
整理得5t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝－ (舍去)．
综上所述，当△NPQ是等腰三角形时，t的值为 或 或0.
(5)t的值为 或 或0.
例2题图⑤
Q
G
H
P
综合训练
三阶
1.(2023抚顺新抚区一模)如图，直线y＝－ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，P为x轴上的动点，P与A，O不重合，PC∥OB交抛物线于C，交直线AB于D，连接BC.
(1)求抛物线的解析式；
第1题图
备用图
解:(1)∵直线y＝－ x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当y＝0时，x＝4，
∴点A的坐标是(4，0)，
当x＝0时，y＝2，
∴点B的坐标是(0，2)，
又∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，
∴ ，解得，
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋ x＋2；
第1题图
(2)当∠BCD＝45°时，求点P的坐标；
(2)设点C的坐标是(x，y)，当点C在第一象限时，
∵∠BCD＝45°，
∴y－2＝x，
∴y＝－x2＋ x＋2＝x＋2，
∴x1＝ ，x2＝0(不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是( ，0)，
当点C在第四象限时，2－y＝x，
∴y＝－x2＋ x＋2＝－x＋2，
∴x1＝ ，x2＝0(不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是 ( ，0)，
综上所述，点P的坐标是( ，0)或( ，0)；
第1题图
(3)当△BCD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
E
则点E是等腰三角形△BCD的边DC中点，
则有yE＝ (yC＋yD)，
即2＝ (－m2＋ m＋2－ m＋2)，
解得m1＝3，m2＝0(不合题意，舍去)，
此时点P的坐标是(3，0)；
【解法提示】设点P的坐标是(m,0)，则点D的坐标是(m,－ m＋2)，
当0＜m＜4时，若△BCD为等腰三角形时，则有以下情况：
①如解图①，当BC＝BD时，过点B作BE⊥CD交CD于点E，
②当BC＝CD时，
BC＝ ， = =
CD＝yC－yD＝(－m2＋ m＋2)－(－ m＋2)＝－m2＋4m，
∵BC2＝CD2，
∴m2(m2－7m＋ )＝m2(m2－8m＋16)，
解得m1＝ ，m2＝0(不合题意，舍去)，
∴此时点P的坐标是( ，0)；
第1题图
E
第1题解图②
③当BD＝CD时，
BD＝ ＝ ，
CD＝yC－yD＝(－m2＋ m＋2)－(－ m＋2)＝－m2＋4m，
∴ m＝－m2＋4m，
解得m1＝ ，m2＝0(不合题意，舍去)，
∴此时点P的坐标是( ，0)，
当m＞4时，只有BD＝CD，才能使△BCD为等腰三角形，如解图②，
则有CD=yD－yC=(－ m＋2)－(－m2＋ m＋2)＝m2－4m，
解之得：m1＝ ，m2＝0(舍去)，
∴此时点P的坐标是( ，0)；
综上所述，点P的坐标是(3，0)或( ，0)或( ，0)或P4( ，0)．
(3)点P的坐标为(3，0)或( ，0)或( ，0)或( ，0)．
∴ m＝m2－4m，
第1题解图②
第2题图
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－x＋c(a≠0)与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC.
(1)求该抛物线与直线AC的解析式；
备用图
解：(1)把A(－1，0)、B(3，0)代入y＝ax2－x＋c，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2－x－ ；
∵OC＝OA＝1，
∴C(0，1)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋1(k≠0)，则－k＋1＝0，解得k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x＋1
设E(x， x2－x－ )(－1＜x＜3)，则G(x，x＋1)，
∴EG＝x＋1－( x2－x－ )＝－ x2＋2x＋ .
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°，AC＝ ＝ ，
第2题图
(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE.求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；
(2)如解图①，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.
G
H
∵∠HGE＝∠OCA＝45°，
∴EH＝EG·sin45°＝ (－ x2＋2x＋ )，
第2题图
G
H
∴S△ACE＝ ＝ ＝
∵ ＜0，且－1＜2＜3，
∴当x＝2时，S△ACE最大＝ ，
此时E(2， )．
∴△ACE面积的最大值为 ，此时点E的坐标为(2， )；
(3)将原抛物线沿射线AD方向平移2 个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
备用图
第2题解图②
【解法提示】如解图②，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则A′(1，2)，AA′＝ ＝ ，
∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点，
可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度．
∵
∴平移后的抛物线为 ，其顶点坐标为(3，0)；
∵原抛物线与新抛物线都经过点B(3，0)，
∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F.
作A′K⊥x轴于点K，则∠AKA′＝∠FKA′＝90°，AK＝A′K＝FK＝2，
∴∠AA′K＝∠FA′K＝45°，
∴∠AA′F＝90°.
由 ，解得 或 (不符合题意，舍去）
∴D(5，6)，
∴FD＝ .
①当FP1＝FD时，则点P1与点D关于点A′对称，
∴P1(－3，－2)；
②当P2D＝FD＝ 时，
∵CD＝ ×5＝5 ，
∴CP2＝ － ，
∴xp＝ ，yp＝ ，
P2( ， )；
第2题解图②
③当DP3＝FP3时，
∵∠P3DF＝∠FDP1，∠DFP3＝∠DP1F，
∴△P3DF∽△FDP1，∴ ，
∵DP1＝ ×(5＋3)＝8 ，
∴ ，
∴CP3＝ ，
∴xp＝ ，yp＝ ，∴P3( , )；
第2题解图②
④当P4D＝FD＝2 时,则CP4＝ ，
∴xp＝ ，
yp＝ ，
∴P4( ， )．
综上所述，点P的坐标为(－3，－2)或( ， )或( ， )或( , )．
(3)存在，点P的坐标为(－3，－2)或( ， )或( ， )或
( ， )．
第3题图
3.如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于A，B(4，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，4)，直线BC经过B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC.
(1)求抛物线的函数表达式；
解：(1)由题意，将B(4，0)，C(0，4)代入抛物线
y＝ax2＋x＋c，得 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－ x2＋x＋4；
第3题图
第3题图
(2)设点P的横坐标为n，四边形OBPC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
(2)如解图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F.
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴OB＝OC＝4.
易得直线BC的表达式为y＝－x＋4.
∵点P的横坐标为n，
∴P(n，－ n2＋n＋4)，F(n，－n＋4)．
∴PF＝－ n2＋n＋4－(－n＋4)＝－ n2＋2n，
E
F
∴S四边形OBPC＝S△BOC＋S△PBF＋S△PCF＝ ＝ ＝
＝ ×4×4+ ×(　n2+2n)×4＝－n2+4n+8=－(n－2)2＋12
∵－1＜0，0＜n＜4.
∴当n＝2时，S有最大值，S最大＝12，
此时－ n2＋n＋4＝－ ×22＋2＋4＝4，
∴此时点P的坐标为(2，4)；
第3题图
E
F
第3题图
(3)在(2)的条件下，当S取最大值时，在PC的垂直平分线上是否存在一点M，使△BPM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】∵P(2，4)，C(0，4)，
∴PC∥x轴，PC＝2，
∴PC的垂直平分线⊥x轴且为直线x＝1，
∴点M的横坐标为1，
∴可设点M的坐标为(1，y)．
又∵B(4，0)，P(2，4)，
∴PM2＝(1－2)2＋(y－4)2＝y2－8y＋17，
MB2＝(1－4)2＋y2＝y2＋9，
PB2＝(4－2)2＋(0－4)2＝20.
当△BPM是等腰三角形时，如解图②，
可分三种情况进行讨论：
①当PM＝MB，即PM2＝MB2时，
y2－8y＋17＝y2＋9，解得y1＝1，
∴此时点M的坐标为(1，1)；
第3题解图②
②当PM＝PB，即PM2＝PB2时，
y2－8y＋17＝20，
解得y2＝4＋ ，y3＝4－ ，
∴此时点M的坐标为(1，4＋ )或(1，4－ )；
③当MB＝PB，即MB2＝PB2时，
y2＋9＝20，
解得y4＝ ，y5＝－ ，
∴此时点M的坐标为(1， )或(1，－ )．
第3题解图②
综上所述，在PC的垂直平分线上存在一点M，使△BPM是等腰三角形，此时点M的坐标为(1，1)或(1，4＋ )或(1，4－ )或(1， )或(1，－ )．
第3题解图②
(3)存在，点M的坐标为(1，1)或(1，4＋ )
或(1，4－ )或(1， )或(1，－ )．
第4题图
4. 如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，其中A、B、C三点构成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2 ，AC＝4 .
(1)求经过点A、B、C的抛物线的解析式；
解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝2 ，AC＝4 ，
∴BC＝10，
∵S△ABC＝ ×AB×AC＝ ×BC×AO，
即2 ×4 ＝10×AO，
∴AO＝4，
则OC＝ ＝8，BO＝2，
即B(－2，0)，C(8，0)，A(0，4)，
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－8)，
将A(0，4)代入得，4＝a(0＋2)(0－8)，
解得a＝－ ，
故y＝－ (x＋2)(x－8)＝－ x2＋ x＋4；
第4题图
(2)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S，求S等于多少时，相应的点P有且只有2个？
(2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∴ ，解得 ，
∴直线AC对应的函数解析式为y＝－ x＋4，
设P(m，－ m2＋ m＋4)，则Q(m，－ m＋4)．
如解图①，过P作PH⊥OC，垂足为H，
交直线AC于点Q，连接PC、PA.
第4题图
H
P
Q
①当0＜m＜8时，
PQ＝ ＝ ，
S＝S△APQ＋S△CPQ＝ ×8×(－ m2＋2m)＝－(m－4)2＋16，
∴0＜S≤16；
②当－2≤m＜0时，
PQ＝(－ m＋4)－(－ m2＋ m＋4)＝ m2－2m，
S＝S△CPQ－S△APQ＝ ×8×( m2－2m)
＝(m－4)2－16，
∴0＜S＜20；
第4题图
H
P
Q
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，－2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，－2≤m＜0中m只有一个值；
当S＝16时，m＝4或m＝4－4 这两个．
故当S＝16时，相应的点P有且只有两个；
第4题图
H
P
Q
(3)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】如解图②所示．①当BQ＝QC时，∵B(－2，0)，C(8，0)
∴Q点横坐标为3，
则y＝－ ×3＋4＝ ，
故此时Q点坐标为(3， )；
②当BC＝CQ1时，
设Q1(x，－ x＋4)，
第4题解图②
过点Q1作Q1D⊥x轴于点D，
则DC＝x－8，DQ1＝ x－4，
故DC2＋Q1D2＝Q1C2＝BC2，
即(x－8)2＋( x－4)2＝100，
解得：x1＝8＋4 ，x2＝8－4 ，
故y＝－2 或2 ，
可得Q1(8＋4 ，－2 )，
Q2(8－4 ，2 )；
第4题解图②
③当BQ3＝BC时，作Q3F⊥x轴于F，
同理可得：Q3F＝－ x＋4，FB＝－2－x，
故(－2－x)2＋(－ x＋4)2＝100，
解得：x1＝8(不合题意舍去)，x2＝－8，
则y＝8，
故Q3(－8，8)，
综上所述，使△QBC为等腰三角形的所有符合条件的点Q的坐标分别为(3， )，(8＋4 ，－2 )，(8－4 ，2 )，(－8，8)．
第4题解图②
(3)存在，符合条件的点Q的坐标为(3， )或(8＋4 ，－2 )或
(8－4 ，2 )或(－8，8)．
第4题解图②