【七下专项突破讲练】专题10.2 二元一次方程组（分层练习）（含解析）

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专题10.2 二元一次方程组（分层练习）
单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x2＋x＝1 B．2x﹣3y＝5 C．xy＝3 D．3x﹣y＝2z
2．若是方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．解为的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是二元一次方程组的解，则m-n的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
5．小明计划用21元钱购买、两种笔记本，种每个3元，种每个2元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
6．如果是二元一次方程，则，的值为（ ）
A．3，4 B．4，3 C．2，2 D．0，1
7．已知方程的解是正数，则的最小整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知是方程组的解，则=（ ）
A．0 B．-2 C．4 D．-4
9．关于，的二元一次方程组，①当时，方程组的解是，②当时，；③若该方程组无解，则，以上结论中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为m的长方形内，两个正方形的周长和为n，则这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．若是二元一次方程，则 ．
12．当m取每一个不同值时，关于x、y的二元一次方程都表示一个不同的方程，若这些方程有一个公共解，这个公共解是 ．
13．把下图折成正方体后，如果相对面所对应的数值相等，那么的值为 ．
14．已知是关于x，y的二元一次方程的解．
（1） ．
（2） （用含m的代数式表示）．
15．在一次数学考试中八一班平均分是80分，通过计算发现全体男生平均分82，全体女生平均分是77，则八一班男生、女生人数之比是 ．
16．若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ．
17．若是方程的解，则代数式的值是 ．
18．现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段．
19．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为 ．
20．小刚在解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到的解为那么的值为 ．
解答题
21．已知是方程的解，
（1）求的值．
（2）请将方程变形为用的代数式表示．
22．阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求这个二元一次方程的正整数解．
解：，得：，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程的正整数解为或．
问题：
（1）若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个．
（2）直接写出满足方程的正整数解______．
（3）若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
23．如图，，在线段的延长线上有一个动点，连接，已知平分．请问：当点运动时，的值是否发生变化？如果不发生变化，求出这个比值；如果发生变化，请说明理由．
24．甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示：
小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人）
3 1 105
1 2 110
（1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？
（2）若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案：
②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
参考答案：
1．B
解：A．x2＋x＝1中x2的次数为2，不是二元一次方程；
B．2x﹣3y＝5中含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程，是二元一次方程；
C．xy＝3中xy的次数为2，不是二元一次方程；
D．3x﹣y＝2z中含有3个未知数，不是二元一次方程；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义判断，准确理解是解题的关键．
2．A
【分析】把x、y的值代入方程，即可得出一个关于a的一元一次方程，求出方程的解即可．
解：把代入得：，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程解的定义，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
3．C
【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．
解：A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意；
D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键．
4．B
【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，代入代数式求值即可．
解：把方程组的解代入方程组得，
解得，
∴m-n=-4+1=-3，
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，把把方程组的解代入方程组得到关于m，n的方程组是解题的关键．
5．C
【分析】
本题考查二元一次方程的应用，设购买、两种笔记本分别为个，个，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
解：设购买、两种笔记本分别为个，个，由题意，得：
，
∴，
∵均为正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
故有3种购买方案；
故选C．
6．A
【分析】根据二元一次方程的定义列二元一次方程组，求解即可得到答案．
解：是二元一次方程，
，解得：，
故选A．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组，利用二元一次方程的定义正确列出二元一次方程组是解题关键．
7．C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解．
解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
方程的解是正数，
，
，
的最小整数解是3，
故选：C．
【点拨】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
8．A
【分析】将代入方程组中的两个方程，可解得未知系数，再解答即可．
解：将代入方程组，得
∴a+b=-1+1=0．
故选：A．
【点拨】本题考查了怎样利用二元一次方程组的解，求系数，理解二元一次方程组的概念是解答此题的关键.
9．C
【分析】分别把的值代入二元一次方程组，求解相应方程组即可判断得解．
解：当时，方程组为，解得，故①正确；
当时，方程组为，解得，所以故②错误；
，
得，
∵该方程组无解，
∴或，
∴，
得，
∵该方程组无解，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∴正确的结论共有个，
故选：C.
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
10．B
【分析】设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案．
解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、，
两个正方形的周长和为，
，
，
，，
长方形的周长为，
，
，
，
，
，
阴影部分的周长为，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出是解题的关键．
11．1
【分析】根据二元一次方程的定义列方程组求解即可；
解：由题意得，
解得：，
∴．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的定义及二元一次方程组，掌握相关定义是解题的关键．
12．x＝，y＝
【分析】根据题意先给m值随便取两个值，然后代入方程，从而能够求出x、y的值，然后把x、y的值代入方程进行验证，能使左边和右边相等就是方程的解．
解：∵当m每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，
∴m值随便取两个值，
m＝2，方程为5y＝8，
m＝-3，方程为-5x＝3，
解得x＝，y＝，
把x＝，y＝代入方程，得
（m-2）x+（m+3）y＝m+6，可得×（m-2）+×（m+3）＝m+6，
∴这个公共解是x＝，y＝，
故答案为x＝，y＝．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的是代入法
13．
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，代数式求值，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点找到对应的相对的面，进而求出x、y的值即可得到答案．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则“3”与“y”是相对面，,“1”与“x”是相对面，，“空白”与“5”是相对面，
∴
∴，．
故答案为：4．
14． /
【分析】（1）将代入方程即可得到答案；
（2）利用等式的性质对（1）中方程进行变形即可．
解：（1）将代入方程
得
∴方程变形得
故答案为：；
（2）由①得
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了二元一次方程的解和等式的性质，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决此题的关键．
15．3：2
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据题意列方程解答即可．
解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得：
82x+77y=80（x+y），
2x=3y,
∴x：y=3：2．
故答案为：3：2．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意正确列出方程．
16．8
【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可．
解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定义．
17．1
【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，然后代入求解即可．
解：由题意知，，整理得，，
∴，
故答案为：1．
18． 6 4．
【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案．
解：设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段，
则损耗的钢管料应是，
根据题意，
得，
，
∵、都必须是正整数，
∴，
或，
∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少，
故答案为：6；4．
【点拨】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键．
19．2022
【分析】本题考查二元一次方程组的解，将原方程组中的两个方程相加可得，即，再将代入计算即可．
解：，
得，，
即，
又∵，
∴，
解得．
故答案为：2022．
20．
【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于、的方程，并能求出的值，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用．
解：由题意得，
，，
解得：，，，
∴，
故答案为：．
21．（1）8；（2）
【分析】（1）将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）将代入原方程，整理后，即可用还含的代数式表示．
（1）解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为8；
（2）解：当时，原方程为，
．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
22．（1）6；（2）；（3）共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解一元一次方程：
（1）根据题意可得或或或或或，解方程即可得到答案；
（2）先求出，再由都是正整数得到是正整数，即或，据此可得答案；
（3）设和两种规格的绳子分别为x段，y段，由题意得，，解方程即可得到答案．
（1）解：∵为非负整数，
∴或或或或或，
解得或或或或或，
故答案为：6；
（2）解：∵，
∴，
∵都是正整数，
∴是正整数，即或，
当时，（不符合题意）；
当时，符合题意，
∴的正整数解为，
故答案为：；
（3）解：设和两种规格的绳子分别为x段，y段，
由题意得，，
∴，
∵x、y都为正整数，
∴是正整数，
∴x是4的倍数，
∴当，；当，，
∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子．
23．
【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的定义，二元一次方程的应用，设，，由角平分线的定义可得，可得，从而可得答案．
解：设，，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者；（2）①一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；②租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者，再由1辆小客车，2辆大客车可坐100人列出方程求解即可；
（2）①由题意得，，把n看做已知解方程得到，再由m、n都为正整数进行求解即可；②根据（2）①所求分别求出两种方案的费用即可得到答案．
（1）解：设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者，
由题意得，，
解得，
∴，
答：满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者；
（2）解：①由题意得，，
∴，
∵m、n都为正整数，
∴必须要是4的倍数，
∴当时，；当时，；
∴一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；
②方案一的费用为元，
方案二的费用为元，
∵，
∴租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元．
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