【七下专项突破讲练】专题10.5 解二元一次方程组（加减法）（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题10.5 解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
【知识点二】加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
特别提醒：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
【知识点三】选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【考点目录】
【考点1】用加减解二元一次方程组；
【考点2】选择合适方法解二元一次方程组;
【考点3】用整体加减法解二元一次方程组；
【考点4】加减法解二元一次方程组综合应用;
【考点1】用加减法解二元一次方程组；
【例1】用加减法解下列方程组：
(1)； (2)
【变式1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（ ）
A．①×2＋② B．①×2﹣② C．①×3＋② D．①×（﹣3）﹣②
【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，，则 度．
【考点2】选择合适方法解二元一次方程组；
【例2】【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得：；①＋②×2，得：．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
【问题解决】
（1）已知二元一次方程组，则__________；__________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________．
【变式1】已知二元一次方程，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．6 D．
【变式2】已知方程组，则的值是 ．
【考点3】用整体加减法解二元一次方程组；
【例3】按要求解下列二元一次方程组．
(1)（代入法）； (2)（加减法）．
【变式1】解方程组比较简便的方法为（ ）
A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样
【变式2】对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ．
【考点4】用加减法解二元一次方程组综合运用.
【例4】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【变式1】方程组的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】已知关于，的二元一次方程．
（1）当和时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 ；
（2）当和时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 ；
（3）猜想：无论取何值时，关于，的方程一定有一个解是 ．
专题10.5 解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
【知识点二】加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
特别提醒：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
【知识点三】选择适当的方法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．
【考点目录】
【考点1】用加减解二元一次方程组；
【考点2】选择合适方法解二元一次方程组;
【考点3】用整体加减法解二元一次方程组；
【考点4】加减法解二元一次方程组综合应用;
【考点1】用加减法解二元一次方程组；
【例1】用加减法解下列方程组：
(1)； (2)
【答案】(1)； (2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤是解答的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先去分母整理方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
得：，
∴，
把代入①得，
∴，
∴方程组的解是；
（2）解：整理得：，
得：，
∴．
把代入①得：，
∴．
∴方程组的解是．
【变式1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（ ）
A．①×2＋② B．①×2﹣② C．①×3＋② D．①×（﹣3）﹣②
【答案】B
【分析】根据①×2＋②得出5x 4y＝23，即可判断A；根据①×2 ②得出 x＝5，即可判断B；根据①×3＋②得出6x 5y＝30，即可判断C；根据①×（ 3） ②得出 6x y＝ 3，即可判断D．
解：A．，
①×2＋②，得5x 4y＝23，不能消元，故本选项不符合题意；
B．，
①×2 ②，得 x＝5，能消元，故本选项符合题意；
C．，
①×3＋②，得6x 5y＝30，不能消元，故本选项不符合题意；
D．，
①×（﹣3）﹣②，得 6x+5y＝ 30，不能消元，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，通过加减消元法能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O，，则 度．
【答案】58
【分析】由图示可得∠1与∠2互为邻补角，即∠1＋∠2＝180°，结合已知∠1 ∠2＝64°，可求∠2，再利用对顶角相等，求∠AOC．
解：∵∠1与∠2互为邻补角，
∴∠1＋∠2＝180°，①
又∠1 ∠2＝64°，②
由①②解得∠2＝58°．
∵∠AOC与∠2是对顶角，
∴∠AOC＝∠2＝58°．
故答案为：58．
【点拨】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解题的关键是熟知其性质及解二元一次方程组的方法．
【考点2】选择合适方法解二元一次方程组；
【例2】【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值．
方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值；
方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：
①－②，得：；①＋②×2，得：．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
【问题解决】
（1）已知二元一次方程组，则__________；__________．
（2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________．
【答案】（1）2，；（2）60；（3）-11
【分析】（1）直接把两式相加和相减，即可求出答案；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意：买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．列出方程组，求出a+b+c=12，即可求解；
（3）由题意得：1※1=a+bc，3※5=3a+5bc=15①，4※7=4a+7bc=28②，求出a+bc=11即可．
解：（1）∵，
由①②，得；
由①+②，得，
∴；
故答案为：2；；
（2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意得：
，
①×2②得：a+b+c=12，
∴5a+5b+5c=60，
故答案为：60；
（3），
由得：，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想的应用以及实数的运算等知识；熟练掌握整体思想的应用，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．
【变式1】已知二元一次方程，则的值为（ ）
A．9 B．18 C．6 D．
【答案】B
【分析】解二元一次不等式组得到的值，最后代数求值．
解：，
，
得，
故，
即方程的解为，
将的值代入，
原式．
故选B．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组以及代数求值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式2】已知方程组，则的值是 ．
【答案】 3
【分析】方法一：观察所求式子，直接利用第一个方程减去第二个方程即可得；
方法二：先利用加减消元法解二元一次方程组求出，的值，再代入求值即可得．
解：，
方法一：由①②得：；
方法二：由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握方程组的解法．
【考点3】用整体加减法解二元一次方程组；
【例3】按要求解下列二元一次方程组．
(1)（代入法）； (2)（加减法）．
【答案】(1)； (2)．
【分析】本题考查解二元一次方程组．
（1）根据方程特点选择代入消元法求解即可；（2）根据方程特点选择加减消元法求解即可．
（1）解：，
由①得，，
将代入②式得，，
解得，，
将代入①式得，，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
①×2+②×3得，，解得，，
将代入②式得，，解得，，
∴原方程组的解为
【变式1】解方程组比较简便的方法为（ ）
A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样
【答案】B
【分析】这两个方程中，x的系数相同，则利用加减消元法比较简单．
解：由于x的系数相同，则利用加减消元法比较简单．
故选：B
【变式2】对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ．
【答案】丙
【分析】本题考查二元一次方程组的求解，求解过程需要根据不同题目特点选择合适解题方法，变量之间其中一个已由另一个表示，利用代入法更为便捷；若变量系数相同或为相反数，加减法更为便捷，据此可得答案．
解：①利用代入消元法解方程组较为简便；②利用加减消元法解方程组较为简便；
综上，丙所说的方法比较简便；
故答案为：丙．
【考点4】用加减法解二元一次方程组综合运用.
【例4】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得__________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．
拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案．
解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，；
（2）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得；
（3）方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式1】方程组的解的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可．
解：分4种情况：
当，时，
方程组变形为，
解得；
当，时，
方程组变形为，无解；
当，时，
方程组变形为，无解；
当，时，
方程组变形为，
解得，与矛盾，无解；
综上可知，方程组的解的个数是：1个，
故选A．
【变式2】已知关于，的二元一次方程．
（1）当和时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 ；
（2）当和时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 ；
（3）猜想：无论取何值时，关于，的方程一定有一个解是 ．
【答案】
【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）利用加减消元法求解可得；（3）归纳总结确定出所求即可；
解：（1），
②-①得：x=1，
把x=1代入①得：y=1，
∴
（2），
①-②得：x=1，
把x=1代入①得：y=1，
∴
（3）
∴
当x=2时，y=3
无论k取何值，关于x，y的方程一定有一个解是
故答案为：，，
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
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