【七下专项突破讲练】专题10.7 解二元一次方程组题型分类专题（综合练）（含解析）

专题10.7 解二元一次方程组题型分类专题（综合练）
题型目录
【题型一】二元一次方程组有解、无解、无穷组解问题； 【题型二】整体（转化）思想解二元一次方程组；
【题型三】换元法解二元一次方程组； 【题型四】二元一次方程组的整数解；
【题型五】二元一次方程组大数据问题； 【题型六】二元一次方程组新定义问题；
【题型七】二元一次方程组中的同解原理； 【题型八】二元一次方程组中的错题复原问题；
【题型九】构造二元一次方程组求解问题； 【题型十】已知二元一次方程组的解求参数.
一、填空题
【题型一】二元一次方程组有解、无解、无穷组解问题
1．关于，的方程组有无数组解，则的值为 ．
2．二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ．
二、解答题
【题型二】整体（转化）思想解二元一次方程组
3．课堂上老师出了一道题：解方程组．
(1)小组学习时，老师发现有同学这么做：
由②得，③，
将③代入①得：，
解得，
把代入③得，
方程组的解为，
该同学使用了______消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了______的数学思想；
(2)请用另一种消元方法解这个方程组．
4．阅读以下材料：
解方程组，由①得③，把③代入②，得，解得，把代入③得．∴，这种解法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组：．
【题型三】换元法解二元一次方程组
5．阅读探索：
知识累计：解方程组．
解：设，原方程组可变为．
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：；
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，求出关于m，n的方程组的解．
6．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ___________；
(2)如何解方程组呢，我们可以把分别看成一个整体，设，，请补全过程求出原方程组的解；
(3)若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ______．
【题型四】二元一次方程组的整数解
7．已知关于的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)如果方程组有整数解，求整数的解．
8．已知关于，的方程组
(1)直接写出方程的所有正整数解．
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解．
(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
【题型五】二元一次方程组大数据问题
9．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组：
解：①②，得，即③．③，得④．
④②，得，从而可得，
原方程组的解是
(1)请你仿照上面的解题方法解方程组：
(2)请你求出关于，的方程组的解．
10．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由，得
，即
．③
，得
．④
，得
，
从而可得
．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
【题型六】二元一次方程组新定义问题
11．请根据李老师所给的内容，完成下列各小题：
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：． 例如：．
(1)如果，求y的值；
(2)若，求x，y的值．
12．若整式A、B满足：（k为整数），则称A和B是关于k的“友好整式”．例如：若，则称A和B是关于2024的友好整式．现有与是关于10的友好整式，与是关于5的友好整式，求的平方根．
【题型七】二元一次方程组中的同解原理
13．已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值．
14．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程祖的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为多少？
【题型八】二元一次方程组中的错题复原问题
15．甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为；求的值．
16．甲、乙两人解关于的方程组，甲因看错，解得，乙将其中一个方程的写成了它的相反数，解得，求的值．
【题型九】构造二元一次方程组求解问题
17．已知，当时，；当时，，求和的值．
18．已知代数式．
(1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
(2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
【题型十】已知二元一次方程组的解求参数
19．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解互为相反数，求的值
(2)若方程组的解满足方程，求的值．
20．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“惟精惟一关系”．
(1)方程组的解与是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由：
(2)若方程组的解与具有“惟精惟一关系”，求的值；
(3)若方程组的解与具有“惟精惟一关系”，又都为正整数，求出的值．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．3
【分析】根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解，
∴方程和方程是同一个方程，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键．
2．且
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
【详解】解：∵关于，的方程组无解，
，得，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
3．(1)代入；转化
(2)见解析
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组解法有加减消元法和代入消元法．难度不大，掌握两种基本的二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）根据题意可知该同学使用代入消元法解方程组，从而得解；
（2）运用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
解：根据题意可得：
该同学使用了代入消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了转化的数学思想；
故答案为：代入；转化；
（2），
得：，
解得：；
将代入得：，
解得：，
∴方程组的解为
4．．
【分析】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用．仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
【详解】解：由①得③，即，
把代入②，得，
解得，
把代入③得，
解得．
∴．
5．(1)
(2)
【分析】
本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键．
（1）利用换元法解方程组即可；
（2）设，进而得到，求解即可．
【详解】（1）
解：设，，
原方程组可变为：
解得：；
即
解得：；
（2）
设
由题意，得
解得：．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，会利用题中换元方法解方程组是解答的关键．
（1）根据加减消元法解方程组即可；
（2）根据（1）中的解得到，进而求解即可；
（3）根据（1）中的解得到，进而解方程组即可求解．
【详解】（1）解：，
得，则，
得，则，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）解：设，，
则原方程组化为，解得，
∴，解得，
∴原方程组的解为；
（3）解：原方程组可化为
设，，
则原方程组化为，解得，
∴，即
得，则，
得，则，
∴原方程组的解为．
故答案为：．
7．(1)，
(2)整数m的值为或或或4
【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴方程的正整数解有：，；
（2），
得，，
∴，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴，，，，
∴或；或；或；或．
此时，，，，，，4，11．
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意，
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意；
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意，
综上，整数m的值为或或或4．
8．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解；
（2）当含项为零时，取，代入可得固定的解；
（3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，确定的值．
【详解】（1）解：方程，
，
∴，
当时，；
当时，，
方程的所有正整数解为：，．
（2）解：，
，
∴当时，，
即固定的解为：．
（3）解：，
得：，
∴，
∴，
∵恰为整数，也为整数，
∴是的约数，
∴或，
故或．
【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，
（1）根据题干的解题方法计算即可；
（2）根据题干的解题方法计算即可．
【详解】（1），
①②，得，即③，
③，得④，
④②，得，
解得．
将代入③，得，
原方程组的解为；
（2），
①②，得，
即③，
③，得④，
④①，得．
将代入③，得，
原方程组的解为．
10．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，采用代入消元法或加减消元法，结合题干给出的方法求解即可．
【详解】解法一：
，得
，即
．③
，得
．
把代入，得
．
所以原方程组的解为
解法二：
，得
，即
，
所以．③
把代入，得
，
解得
．
把代入，得
．
所以原方程组的解为
11．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程．理解题意正确的列方程是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求解即可；
（2）由题意可得，，加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
∴y的值为；
（2）解：由题意可得，，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
∴．
12．
【分析】此题考查了解二元一次方程组，平方根，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的平方根．
【详解】根据题意得，
解得
∴
∴16的平方根为
∴的平方根为．
13．1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得的值．由题意可得：方程组和方程组的解相同，求得的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可得：方程组和方程组的解相同，
解方程组可得：，
将代入可得：，
解得：，
将代入可得，原式，
即的值．
14．1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：联立得：，
解得：，
代入得：，
解得：，
∴．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次方程，将代入方程②，可求出值， 将 代入方程①，可求出值，再将其代入中，即可求出结论，将甲、乙得出的解代入未看错的方程中，求出的值是解题的关键．
【详解】解：将代入方程②得：
解得：
将代入方程①得：
解得：
．
16．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将代入得：，即可得出的值，将代入得：，即可得出的值，从而得解．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
乙将其中一个方程的写成了它的相反数，解得，
将代入得：，
解得：，
综上所述：．
17．，
【分析】本题考查了解二元一次方程组；根据题意得出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：把，；，代入中
得：，
解得：．
18．(1)
(2)，
【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键．
（1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案．
（2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当时，代数式的值是，
即，
，
用含的代数式表示：．
（2）根据题意得：
当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，
，
解得：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．已知二元一次方程组的根的情况求参数以及相反数的应用.
（1）解方程组得出，，根据方程组的解互为相反数，得出，即，解关于k的方程即可；
（2）解方程组得，然后代入原方程即可求出k的值．
【详解】（1）解：
①②，得，
①②，得．
∵方程组的解互为相反数，
∴，
即，
∴．
（2）
②①，得，
∵，
解得，
代入②得：，
∴
20．(1)具有“惟精惟一关系”,详见解析
(2)或,详见解析
(3)或或，详见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组等知识点，
（1）求出方程组的解，利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出m的值即可；
（3）解关于的方程组，根据都为正整数，利用题中的新定义确定出a与b的解即可；
熟练掌握代入消元法与加减消元法解方程是解决此题的关键．
【详解】（1）具有“惟精惟一关系”
方程组，
由②得，
∴方程组的解具有“惟精惟一关系”；
（2）方程组，
①＋②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为：，
∵，
∴，
∴或；
（3）解关于方程组得，
∴，
∴，
∴或，
∵均为正整数，
∴或或，