【七下专项突破讲练】专题10.8 三元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题10.8 三元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
【知识点二】三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起．
【知识点三】三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案（包括单位名称）．
特别提醒：
（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点目录】
【考点1】解三元一次方程组； 【考点2】三元一次方程组的特殊解法；
【考点3】三元一次方程组的应用.
【考点1】解三元一次方程组；
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）解下列三元一次方程组：
(1)； (2)
【变式1】．（23-24七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ．
【考点2】三元一次方程组的特殊解法；
【例2】．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）已知三元一次方程组，则 ．
【变式1】（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ．
【考点3】三元一次方程组的应用；
【例3】，（22-23七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题．
=_______；
求的值．
【变式1】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（ ）
A． B．6 C．9 D．18
【变式2】（21-22七年级下·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ．
【例4】（2024七年级·全国·竞赛）某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下：
（1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
（2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40．
求这次智力竞赛的平均成绩．
【变式1】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习） 有一个牧场，牛在吃草， 而草又在生长，已知饲养 100头牛， 草够吃25 天，改为饲养84头牛，草可多吃10 天，那么饲养94头牛，经过（ ）天，草便吃完．
A．33 B．32 C．30 D．28
【变式2】（23-24七年级·全国·随堂练习）若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的，设其中两条边的长度分别为x、y，则三角形中最短的一条边为 ．
专题10.8 三元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
【知识点二】三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“｛”合写在一起．
【知识点三】三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案（包括单位名称）．
特别提醒：
（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【考点目录】
【考点1】解三元一次方程组； 【考点2】三元一次方程组的特殊解法；
【考点3】三元一次方程组的应用.
【考点1】解三元一次方程组；
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）解下列三元一次方程组：
(1)； (2)
【答案】(1)； (2)
解：（1）
①＋②，得4x＋z＝5，④
③＋④，得5x＝10，解得x＝2
把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0
把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3
所以原方程组的解为．
（2）
①＋②，得x＋z＝2，④
②＋③，得5x－8z＝36，⑤
④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2
把z＝－2代入④，得x＝4
把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0
所以原方程组的解是．
【变式1】．（23-24七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
解：，
，得，
，得，解得，
把代入①，得，
把代入③，得，
则方程组的解为
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．把两个方程相加，可得，据此可得；①3②4，可得，据此可得，进而得出答案．
解：，
①②，得，
即，
∴；
①3②4，得，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点2】三元一次方程组的特殊解法；
【例2】．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）已知三元一次方程组，则 ．
【答案】18
【分析】本题考查了解三元一次方程组，解题关键是明确解法．本题中只需将三个方程相加即可得到的值，即可求解．
解：方程组，
由得：，
解得：，
∴，
故答案为：18．
【变式1】（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．
解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ．
【答案】
【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．
把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值．
解：原方程组变为，
由得，
把代入得，
所以．
故答案为：．
【考点3】三元一次方程组的应用；
【例3】，（22-23七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题．
=_______；
求的值．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）将，1，3，，0，分别代入等式，得到，解三元一次方程组即可；（2）根据（1）中求出的的值，代入计算即可．
解：（1）∵当，1，3时的值分别是，0，，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）∵，
∴．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（ ）
A． B．6 C．9 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，转化新方程组解答即可．
解：∵知是三元一次方程组的解，
∴，
三式相加，得，
解得，
故选A．
【变式2】（21-22七年级下·重庆·期中）对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ．
【答案】17
【分析】此题考查了解三元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算法则列出方程组，用含b的式子表示出a和c的值，再根据新运算法则计算即可．
解：根据题中的新定义化简得：，
②﹣①得：，即，
②+①得：，即，
则原式．
故答案为：17．
【例4】（2024七年级·全国·竞赛）某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分．每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分．结束后统计如下：
（1）答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
（2）答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40．
求这次智力竞赛的平均成绩．
【答案】49分
【分析】考查三元一次方程组的应用 ，先算出答对第1题，第2题，第3题的人数，等量关系为：答对第1题的人数答对第2题的人数；答对第2题的人数答对第3题的人数；答对第1题的人数答对第3题的人数，把相关数值代入即可求解；进而算出参加竞赛的总人数，让总分数除以总人数即为竞赛的平均成绩．
解：设答对第1题，第2题，第3题的人数分别为，，．
，
解得，，．
题全答对的只有4人，答对两题的有17人，3题全错的有5人
参赛总人数为：人，
平均得分为：分，
答：这次竞赛的平均得分为49分．
【变式1】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习） 有一个牧场，牛在吃草， 而草又在生长，已知饲养 100头牛， 草够吃25 天，改为饲养84头牛，草可多吃10 天，那么饲养94头牛，经过（ ）天，草便吃完．
A．33 B．32 C．30 D．28
【答案】D
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些辅助量建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．
解：设每头牛每天吃草量是，草每天增长量是，头牛天吃完牧草，再设牧场原有草量是，根据题意，得
得 ，
得⑤，
由④、 ⑤得，
故选D.
【变式2】（23-24七年级·全国·随堂练习）若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的，设其中两条边的长度分别为x、y，则三角形中最短的一条边为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z，根据题意解出方程即可求解．
解：设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z，
根据题意有：，
解得：，
则三角形中最短的一条边为6，
故答案为：6．
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