【七下专项突破讲练】专题10.10 用二元一次方程组解决问题（1）（知识梳理与题型分类讲解）（含解析）

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专题10.10 用二元一次方程组解决问题（1）（知识梳理与题型分类讲解）
【知识点一】常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
5.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
【知识点一】实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
特别提醒：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点目录】
【考点1】和差倍分问题； 【考点2】产品配套与分配问题；
【考点3】工程问题; 【考点4】行程问题;
【考点5】方案问题; 【考点6】几何图形问题.
【考点1】和差倍分问题；
【例1】（2024·吉林松原·一模）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了、两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，求型、型机器人模型的单价分别是多少元？
【变式1】（18-19七年级下·四川内江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那么驴子原来所驮货物的袋数是 袋．
【考点2】产品配套与分配问题；
【例2】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以糖稀冷却后制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩2个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩4根竹签．这些竹签共有多少根？山楂共有多少个？
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·吉林长春·期中）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得 ．
【考点3】工程问题；
【例3】（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ．
【考点4】行程问题；
【例4】（23-24七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙．求甲、乙两人的速度．
【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲每分钟跑 圈．
【考点5】方案问题；
【例5】（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）已知：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金220元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式1】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【变式2】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校56人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间．
【考点6】几何图形问题.
【例6】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
(1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图3，在大长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，则图中阴影部分面积和为（ ）（说明：图中的单位为）．
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的．两根铁棒长度之和为，则两根铁棒的长度分别为 ．
专题10.10 用二元一次方程组解决问题（1）（知识梳理与题型分类讲解）
【知识点一】常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
5.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
【知识点一】实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
特别提醒：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【考点目录】
【考点1】和差倍分问题； 【考点2】产品配套与分配问题；
【考点3】工程问题; 【考点4】行程问题;
【考点5】方案问题; 【考点6】几何图形问题.
【考点1】和差倍分问题；
【例1】（2024·吉林松原·一模）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了、两种型号的机器人模型．已知型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，求型、型机器人模型的单价分别是多少元？
【答案】型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．根据型机器人模型的单价比型机器人模型的单价多200元，购买5台型机器人模型的费用比购买7台型机器人模型的费用多400元，列出方程组，求解即可．
解：设型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元，
由题意，，
解得，
答：型机器人模型的单价为500元，型机器人模型的单价为300元．
【变式1】（18-19七年级下·四川内江·期末）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克，根据题意，列出方程组进行求解即可．
解：设每块巧克力的质量为克，每个果冻的质量为克，
由题意，得：，解得：，
∴一块巧克力的质量为；
故选：A．
【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那么驴子原来所驮货物的袋数是 袋．
【答案】5
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是关键．
设骡子原来所驮的货物有袋，驴子有袋，根据“如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样”列方程组计算求解．
解：设骡子原来所驮的货物有袋，驴子有袋，
由题意可得，解得
答：骡子原来所驮的货物有7袋，驴子有5袋．
故答案为：5.
【考点2】产品配套与分配问题；
【例2】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以糖稀冷却后制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩2个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩4根竹签．这些竹签共有多少根？山楂共有多少个？
【答案】竹签有15根，山楂有77个．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，能够根据题意列出方程组是解题的关键．
设竹签有x根，山楂有y个，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案．
解：设竹签有x根，山楂有y个，
根据题意，得
解得：
答∶竹签有15根，山楂有77个．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为：，
故选：C．
【变式2】（22-23七年级下·吉林长春·期中）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能便生产的螺栓和螺帽刚好配套？若设生产螺栓人，生产螺帽人，则列方程组得 ．
【答案】
【分析】根据某车间有90名工人，一个螺栓配套两个螺帽，列二元一次方程组即可．
解：根据题意，得，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
【考点3】工程问题；
【例3】（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数．
【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车；(2)所抽调的熟练工的人数为人．
【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可；
（2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可．
（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，
根据题意可列方程，，
解得．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车；
（2）解：设需熟练工m名，
依题意有：，
整理得：．
所抽调的熟练工的人数为人．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案．
解：设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组：
，
故选：．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，
依题意可得：．
故答案为：．
【考点4】行程问题；
【例4】（23-24七年级下·全国·随堂练习）甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙．求甲、乙两人的速度．
【答案】甲每秒跑，乙每秒跑
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键，设甲每秒跑，乙每秒跑，再根据甲让乙先跑，那么甲跑追上乙．如果让乙先跑，那么甲跑追上乙，再建立方程组解题即可．
解：设甲每秒跑，乙每秒跑，
由题意，得，
解得，
答：甲每秒跑，乙每秒跑．
【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，当同时出发后，两人相距时，需要分两种情况讨论，一种是两人相遇前相距，另一种是两人相遇后相距，根据时间、速度、路程的关系分别列二元一次方程组，解方程组求出两个人速度，路程除以速度即可求出所需时间．
解：设甲、乙二人的速度分别为，，
分两种情况：当同时出发后，两人相遇前相距时，
，
解得；
当同时出发后，两人相遇后相距时，
，
解得；
当甲的速度为时，由A地到B地需要时间为：，
当甲的速度为时，由A地到B地需要时间为：，
故选D．
【变式2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲每分钟跑 圈．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．设甲的速度为x，乙的速度为y，环形路的长度为单位1，由题意得，计算求解即可．
解：设甲的速度为x，乙的速度为y，环形路的长度为单位1，
由题意得，
解得，
∴甲每分跑圈．
故答案为：．
【考点5】方案问题；
【例5】（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）已知：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金220元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆型车装满货物一次可运3吨，1辆型车装满货物一次可运4吨 (2)有3种租车方案，具体见解析 (3)最省钱的租车方案是方案一：型车2辆，型车7辆，最少租车费为1940元
【分析】（1）设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
（2）结合题意和（1）得，，易知，结合、都是正整数，可确定或或，即可设计租车方案；
（3）分别计算三种租车方案的费用，比较即可获得答案．
（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得，
解方程组，得．
答：1辆型车装满货物一次可运3吨，1辆型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得，，
∴，
∵、都是正整数，
∴或或，
答：有3种租车方案：
方案一：型车2辆，型车7辆；
方案二：型车6辆，型车4辆；
方案三：型车10辆，型车1辆．
（3）∵型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金220元/次，
∴方案一需租金：（元）
方案二需租金：（元）
方案三需租金：（元）
∵，
∴最省钱的租车方案是方案一：型车2辆，型车7辆，最少租车费为1940元．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算以及有理数比较大小，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
【变式1】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种．
解：设刘老师购买本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，
根据题意得：，
是正整数，
∴或或
∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种．
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校56人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间．
【答案】 1 10
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出租住的两人间越少，花费越少；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）利用每个房间的人均费用=该房间的收费÷房间可住人数，可分别求出两人间及三人间的人均费用，比较后可得出三人间的人均费用低，进而可得出租住的两人间越少，花费越少，再结合男、女生人数，即可找出当租住1间两人间时总花费最少；
（2）同（1），可找出租住的两人间越多，花费越少，设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，根据男、女生的人数及男女不能混住且所有租住房间必须住满，可得出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，可得出的值，再结合，即可得出的最大值，以及此时的值，此题得解．
解：（1）依题意，∵（元/人），（元/人），，
∴三人间的人均费用低，
∴租住的两人间越少，花费越少．
∵（间），（间）（人），（间），
∴要想使花费最少，需要租住1间两人间．
故答案为：1；
（2）∵（元/人），，
∴两人间的人均费用低，
∴租住的两人间越多，花费越少．
设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，
根据题意得：
∴，
又∵均为非负整数，
∴或或或或；或或
又∵，
∴的最大值为13，此时的值为10，
∴要想花费最少，需要租住10间三人间．
故答案为：10．
【考点6】几何图形问题.
【例6】（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
(1)若该厂购进正方形纸板1500张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
【答案】(1)加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完
(2)在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解．
解：（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
根据题意得：，解得：．
答：加工竖式纸盒300个，加工横式纸盒600个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，
根据题意得：，
．
，a为正整数，
为5的倍数，
又，
满足条件的a为：155，160，165，170．
答：在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值为155，160，165，170．
【变式1】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图3，在大长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，则图中阴影部分面积和为（ ）（说明：图中的单位为）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每个小长方形的长为，宽为，根据图中给定各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论．
解：设每个小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
∴每个小长方形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积之和为．
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，两根铁棒直立于桶底在水平面的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的．两根铁棒长度之和为，则两根铁棒的长度分别为 ．
【答案】，
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是设两根铁棒的长度分别为，，根据两根铁棒长度之和为，一根露出水面的长度是它总长的，另一根露出水面的长度是它总长的，列出方程组，解方程组即可．
解：设两根铁棒的长度分别为，，由题意得：
解得：，
故答案为：，．
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