河溪中学 2023-2024 学年度第二学期学月考试
高二级数学试卷
注意：本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
第 I 卷选择题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A={-1,0,1}，集合 B={0,2}，则 A∩B= ( )
A.{-1,0,1} B.{0,2} C.{-1,0,1,2} D.{0}
2. 若函数 f x x3 f 1 x2 3，则 f 1 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
1 1
3. f x x3 x2函数 的单调递增区间是 ( )
3 2
A. , 1 , 0, B. , 1 0,
C. 1,0 D. ,0 , 1,
4. 如图所示，现用 4种不同颜色对 A,B,C,D 四块区域进行涂色，要求有公共边界的两块区
域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有 ( )
A.24种 B.30种 C.36种 D.48种
5. 函数 f (x)=x2+xsinx 的图象大致为 ( )
第 1页 共 4页
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
6. 甲、乙、丙等 5个人站成一排，乙和丙之间恰有 2人，则不同的排法共有 ( )
A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 8种
x2 y2
7．已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1,Fa b 2
，点 P在 C的左支上，
PF1F2 60 ，△PF1F2 的周长为6a，则 C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 1
8. 由 0，2，4 组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为 an ，即
a1 0,a2 2,a3 4, ，若 an 2024，则 n ( )
A. 34 B. 33 C. 32 D. 30
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 y f x , x [a,b]的导函数 y f（ x）的图象如图所示，则 ( )
A. f(x)在 (x2 ,0)上单调递增
B. f(x)有 4个极值点
C. f(x)在 (x3, x4 )上单调递减
D. f (x3) f (x5 )
π
10．关于函数 f (x) 2sin 2x ，则下列命题正确的是 ( )
3
5π
f (x) ,0 A. 的图象关于点 对称
3
B. f (x)的最小正周期为 2π
π π
C. f (x)在区间 , 上单调递增 12 3
π
D. 将 f (x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再把图象向右平移 个单位长度得
6
到的函数为 g(x) 2cos x
第 2页 共 4页
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
11．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2 4,S5 35，则下列命题正确的是( )
A. nan 的最小值为 1 B. nSn的最小值为 1
Sn an
C. 为递增数列 D. 为递减数列
n n2
第 II 卷非选择题
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.函数 f(x)= 的定义域为__________
13.设复数 z = i (i为虚数单位)，则 z z =__________
a 2,n 2k 1
14. n 已知数列 an 满足 a1 a2 1，an 2 (k N )，若 Sn为数列 a 的
an ,n 2k
n
前 n项和，则 S50 __________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新
高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了 100名高一学生，
将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照 0,20 ， 20,40 ， 40,60 ， 60,80 ， 80,100
分成 5组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 a的值并估计这 100名学生本次历史测试成绩的众数和中位数．
(2)据调查本次历史测试成绩不低于 60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于 60分的
学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在 0,20 ， 80,100 的学生
中选取 5人，再从这 5人中任意选取 2人，求这 2人中至少有 1人高考选考历史科目的概率．
第 3页 共 4页
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
2 2
16.（15 x y分）已知椭圆C : 1 a b 0 经过点 A 2，0 3，且离心率为 .
a2 b2 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 y x 1与椭圆C相交于P，Q两点，求 AP AQ的值.
17.（15分）在三棱柱 ABC - ABC ABC 2π1 1 1中， , AB BC 2，且 A1B AC .3
(1)证明： A1A A1C；
(2)若 A1A 2
π
，二面角 A1 AC B的大小为 ，求平面 A1CB1与平面BCC3 1
B1夹角的余弦值.
1
18.（17分）设 f x ax2 a 1 x ln x，a R .
2
(1)当 a 2时，求 f x 的极值；
(2)讨论函数 f x 的单调性；
(3)若 x 0有 f x 0恒成立，求 a的取值范围.
19.（17分）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在
航空天中应用非常广泛.其定义是：对于函数 f(x)，若满足(xn+1-xn) f '(xn)+f (xn)=0,则称数列{xn}
为牛顿数列. 已知 f(x)=x4,如图，在横坐标为 x1=1的点处作 f(x)的切线，切线与 x轴交点的
横坐标为 x2,用 x2代替 x1重复上述过程得到 x3，一直下去，得到数列{xn}.
(1)求数列{xn}的通项公式；
n
(2)若数列 n x n 5 n 的前 项和为 Sn，且对任意的 n N ，满足 Sn 16 ，求整数
6
的最小值.（参考数据：0.94 0.6561，0.95 0.5905，0.96 0.5314，0.97 0.4783）
第 4页 共 4页
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}河溪中学 2023-2024 学年度第二学期学月考试
高二数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. D 2. B 3. A 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B
2【答案】B
2
【解析】由题意可得 f x 3x 2 f 1 x，
则 f 1 3 2 f 1 ，解得 f 1 1，
所以 f x x3 x2 3
所以 f 1 3．
故选：B．
7【答案】C
PF2 PF1 2a PF1 2a c
【解析】令双曲线C的焦距为 2c，依题意， ，解得 ，
PF2 PF1 6a 2c PF2 4a c
在△PF1F2中， PF1F2 60 ，由余弦定理得
(4a c)2 4c2 (2a c)2 1 2 2c (2a c) ，
2
整理得 c 2a，所以双曲线 C 的离心率为 2 .
故选：C
.
8【解析】
【分析】由题意可知一位自然数有 3个，两位自然数有 6个，三位自然数有 18个，利用列
举法列出符合题意得自然数，即可求解.
1
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
【详解】由 0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列{an}，
则一位自然数有 3个，两位自然数有32 3 6个，
三位自然数有 33 9 18个，四位自然数有34 27 54个，
又四位自然数为 2000,2002,2004,2020,2022,2024,
2024为四位自然数中的第 6个，所以 n 3 6 18 6 33 .
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．AC 10．ACD 11．ABC
9【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定导函数图象，确定导数值大于 0、小于 0的区间即可分析判断作答.
【详解】观察图象知，当 a x x1,0 x x4 , x4 x x6 时， f (x) 0，当
x1 x 0, x6 x b时， f (x) 0，
函数 f (x)在 x1,0 上单调递增，而 x2 x1,0 ，则 f (x)在 (x2 ,0)上单调递增，A正确；
f (x)在 (0,x4 )上单调递减，而 x3 (0, x4 )， f (x)在 (x3, x4 )上单调递减，C正确；
函数 f (x)在 x1, x6 处都取得极小值，在 0处取得极大值，有 3个极值点，B不正确；
因当0 x x6 时， f (x) 0，当且仅当 x x4时取“=”，即 f (x)在 (0, x6)上单调递减，
而0 x3 x5 x6 ，则有 f (x3) f (x5 )，D不正确.
故选：AC
10【答案】ACD
π 5π 5π π
【解析】由于 f (x) 2sin 2x ，所以 f ( ) 2sin 2
2sin 3π=0，故
3 3 3 3
5πf (x) 的图象关于点 ,0 对称，A正确，
3
2
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
2π
函数 f (x)的最小正周期为 π，故 B 错误，
2
当 x
π , π 2x π π , π π π 时， - - , ，故 C 正确， 12 3 3 2 3 2 2
将 f (x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y 2sin x
π
3
，
π
再把图象向右平移 个单位长度得到的函数
6
11【答案】ABC
5 a a
【解析】假设 a 的公差为d ，由 S 1 5n 5 5a3 35，所以 a3 7，又 a2 4，2
所以 d 3,a1 1
n 3n 1
，所以 an 3n 2,Sn ．2
2
选项 A： nan n 3n 2 3
n 1 1 ，故 n 1时 nan 的最小值为 1，A正确；
3 3
n2 3n 1 3 3 1 2 9 2
选项 B：nS f xn ，令 f x x x ，所以 f x x x，可知 在2 2 2 2
2
区间 , 单调递增，
9
所以 n 1时 nSn取得最小值 1，B 正确；
S 3 1 Sn
选项 C： n n ，故 为递增数列，C正确；n 2 2 n
an 2 3 a1 a2 a选项 D： 2 2 ，因为 1,
2 1
n
，所以 2 不是递减数列，D错误．n n n 1 2 n
故选：ABC
第 II 卷非选择题
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. {x|x>0且 x≠1} . 13． 0 . 14. 626 .
3
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
an 2,n 2k 1
14【详解】数列 an 中， a1 a2 1，an 2 (k N )，
an ,n 2k
当 n 2k 1,k N 时， an 2 an 2，
即数列 an 的奇数项构成等差数列，其首项为 1，公差为 2，
25 24
则 a1 a3 a5 a49 25 1 2 625，2
a
当 n 2k,k N n 2时， 1a ，n
即数列 an 的偶数项构成等比数列，其首项为 1，公比为 1，
a a a a 1 [1 ( 1)
25]
则 2 4 6 50 1，1 ( 1)
所以 S50 (a1 a3 a5 a49 ) (a2 a4 a6 a50 ) 626 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15解：
(1) 0.005 0.01 0.015 0.0125 a 20 1，解得 a 0.0075 .....2 分
40 60
众数为 50 .....3 分
2
设中位数为 x，因为学生成绩在 0,40 的频率为 20 0.005 0.01 0.3 0.5，
在 0,60 的频率为 20 0.005 0.01 0.015 0.6 0.5
所以中位数满足等式0.005 20 0.01 20 0.015 x 40 0.5 160，解得 x
3
160
故这 100名学生本次历史测试成绩的中位数为 ......6 分
3
160
【这里若 53.3扣一分】
3
(2)成绩在 0,20 的频数为0.005 20 100 10
成绩在 80,100 的频数为0.0075 20 100 15
10
按分层抽样的方法选取 5人，则成绩在 0,20 的学生被抽取 5 2人，......7 分
25
4
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
在 80,100 15的学生被抽取 5 3人......8 分
25
C2 1
从这 5人中任意选取 2人，都不选考历史科目的概率为 22 ，......11 分C5 10
P 1 1 9故这 2人中至少有 1人高考选考历史科目的概率为 ......13 分
10 10
2 2
16. 1 C : x y（ ）椭圆 2 2 1 a b 0 经过点 A 2，0 ，所以 a 2，......1 分a b
3 c c
因为离心率为 ，所以 c 3，......3 分
2 a 2
所以 b2 a2 c2 4 3 1，......5 分
x2
所以椭圆C的方程为 y2 1.......6 分
4
x2
y2 1
（2）由 4 得5x2 - 8x = 0，......8 分
y x 1
8
解得 x1 , x2 0，......9 分5
8
x1 5 x1 0
所以 ，或8 3
，
y 1 y1 0
......10 分
1 1
1 5 5
8
可得 P ,
3 8 3
，Q 0, 1 ，或者Q , ， P 0, 1 ，5 5 ......12 分 5 5
所以 AP AQ
8 3 4 3 1
2,
0 2, 1 .......15 分
5 5 5 5 5
17.解：（1）
5
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
设 AC的中点为O，连接OA1,OB, A1B ，......1 分
因为 AB BC，所以 AC OB，......2 分
又因为 AC A1B，且 A1B OB B，......3 分 A1B,OB 平面OBA1，......4 分
所以 AC 平面OBA1
因为OA1 平面OBA1，所以 AC OA1，......5 分
又因为O是 AC中点，所以 AA1 A1C .......6 分
（2）由上可知： A1A A1C 2，在 ABC中，由余弦定理得
AC AB2 2π BC2 2AB BC cos 2 3，......7 分
3
1
则 BO AB 1， AO A A21 1 AO
2 1，......8 分
2
π π
又因为 AC 平面OBA1，二面角 A1 AC B的大小为 ，则 A1OB ，.....9 分3 3
如图所示，由（1）知OB OC，以OB,OC所在直线分别为 x轴， y轴，以过 O垂直于
底面 ABC的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，则 z轴 面 A1BO，可得坐标如下..10 分
1 3 A1 , 0, ,C 0, 3,0 ,B
3 3
1 , 3, ,C
1
1 , 2 3,
3
,B 1,0,0 ，
2 2 2 2 2 2
1 3 AC , 3, 1 3
则 1 , A1B1 1, 3,0 ，BB1 , 3, ,BC 1, 3,0
2 2 2 2 .
.............................................................11 分
设平面 A1CB1的法向量为m x, y, z ，平面 BB1C1C
的法向量为 n a,b,c ，
6
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
m 1 A1C x 3y
3
z 0
则 2 2 ，令 x 3，则
y 1, z 3，即m 3, 1, 3 ，
m
A1B1 x 3y 0
.............................................................12 分
n BB
1
1 a 3b
3
c 0
2 2 ，令 a 3，则b 1,c 3，即 n 3,1, 3 ，
n
BC a 3b 0
.............................................................13 分
m n 3 1 9
记平面 A1CB1与平面 BCC B
11
1 1的夹角为 , cos .
m n 13 13 13
.............................................................15 分
18．解（1） f x 的定义域为 0, ，........1 分
当 a 2时， f x x2 3x ln x，........2 分
f x 2x 3 1 2x 1 x 1 ∴ ，........3 分
x x
∴ x 0,
1
时， f (x) > 0， f x 单调递增，
2
x 1, 时， f (x) > 0， f x 单调递增，
x 1 ,1
时， f x 0， f x 单调递减，
2
∴ f x f 1 5 ln 2， f x f 1 2极大值 ；2 4 极小值 ........6 分
ax 1
2 f x ax a 1 1
x 1
（ ）由题： ，........7 分
x x
1° a 0 f x x 1 当 时： ，
x
x 1, 时， f x 0， f x 单调递减，
x 0,1 时， f (x) > 0， f x 单调递增；........8 分
2°当 a<0时：∵ax-1<0，
∴ x 1, 时， f x 0， f x 单调递减，
7
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
x 0,1 时， f (x) > 0， f x 单调递增；........9 分
3°当 a 0时：
1
①若 1即 a 1，
a
所以 x
1
0, 时， f (x) > 0， f x 单调递增，
a
x 1 ,1
时， f x 0， f x 单调递减；
a
x 1, 时， f (x) > 0， f x 单调递增，........10 分
1 x 1 x 1
②若 1即 a 1 ， f x 0，a x
则 f x 在 0, 单调递增；........11 分
1
③若 1即 0 a 1，
a
所以 x 0,1 时， f (x) > 0， f x 单调递增，
x 1, 1 时， f x 0， f x 单调递减；
a
x 1 ,
时， f x > 0， f x 单调递增；
a
( ) ........12 分
（3）欲使 f x 0恒成立，只需 fmax x 0，........13 分
根据(2)的结论，
1°，当a 0时：
x 0,1 时， f (x) > 0， f x 单调递增；
x 1, 时， f x 0， f x 单调递减，
1
∴令 fmax x f 1 a 1 0，得 a 2，此时， 2 a 0；........15 分2
1
2°当 a 0时：①若 1即 a 1，
a
1
所以 x 0, 时， f (x) > 0， f x 单调递增，
a
x 1 ,1 时， f x 0， f x 单调递减；
a
x 1, 时， f (x) > 0， f x 单调递增；
1
②若 1即 a 1，
a
8
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
x 0, 时， f (x) > 0， f x 单调递增；
1
③若 1即 0 a 1，
a
所以 x 0,1 时， f (x) > 0， f x 单调递增，
x 1 1, 时， f x 0， f x 单调递减；
a
x 1 , 时， f (x) > 0， f x 单调递增；
a
不论上述哪种情况，均有 x 时 y ，因此，不可能有 f x 0恒成立，舍去.
........16 分
综上： a的取值范围为 2,0 .........17 分
19.
......1 分
......3 分
......4 分
......5 分
......6 分
......7 分
......8 分
......9 分
......10 分
9
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
......12 分
......13 分
......14 分
......15 分
......16 分
......17 分
10
{#{QQABJQCEogCIAIIAABhCQQnwCgEQkAGCACoOwAAMMAIBiQNABAA=}#}
