广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含答案）

2023—2024学年第二学期月考盐田高级中学
高二数学试题卷
考试时间：120分钟 分数：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于（ ）
A．9 B．3 C． D．
2．抛物线过点，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有
A．种 B．种 C．种 D．种
4．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的首项为1，公比为3，则（ ）
A． B． C． D．
6．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某离散型随机变量的分布列如下：
0 1 2
若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B．126 C．90 D．54
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．，
C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好．
D．已知随机变服从正态分布，，则
10．设椭圆：的左．右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．离心率 D．以线段为直径的圆与直线相切
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
13．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为______．
14．已知，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．已知函数，当时，有极大值．
（1）求实数，的值；
（2）当时，证明：．
16．等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：
（1）求的值；
（2）求展开式中常数项；
（3）计算式子的值．
18．时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次 直播带货评级 合计
优秀 良好
本科及以上 60 40 100
专科及以下 30 70 100
合计 90 110 200
（1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
（2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；
（3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．已知双曲线：（，）经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线．
（1）求的标准方程；
（2）设是上任意一点，直线：．证明：与双曲线相切于点；
（3）设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上．
2023-2024学年第二学期月考盐田高级中学
高二数学试题参考答案
一、单选题：
1～5．DCDAD 6～8．BCB
二、多选题：
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：
12．179 13． 14．
四、解答题：
15．（1），；（2）证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，且，
因为时，有极大值，
所以解得，，
经检验，当，时，在时有极大值，
所以，；
（2）由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：．
设，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
故当时，．
16．（1）；（2）．
【详解】（1）设数列的公比为，
由得，
所以．由条件可知，故．
由得，所以．
故数列的通项公式为．
（2）．
故．
所以数列的前项和为
17．（1）；（2）60；（3）．
【详解】（1）二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，即，解得或（舍去）．
（2）由（1）知，，
，
由，得，展开式中常数项．
（3）令得．
18．（1）有；（2）分布列见解析，；（3），在事件条件下发生有优势
【详解】（1）由题意得．
由于，所以可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．
（2）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，
随机变量的可能取值为1，2，3，
，，
，
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望．
（3），
因为，所以认为在事件条件下发生有优势．
19．（1）；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析
【详解】（1）因为双曲线：（，）经过点，
且直线是的一条渐近线，所以，解得，，
所以的标准方程为；
（2）
首先设是上任意一点，所以有，
这表明了点也在直线上，也可以得到，
联立直线的方程与椭圆的方程有，
化简并整理得，
而，且，
这也就是说与双曲线相切于点；
（3）
不妨设，，
由（2）可知过点的直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，即有，
又，从而，
所以，，
若，则，
整理得，
因为，所以，也就是说，
从而，所以点在定直线上上．