高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 同步练习(含解析)

人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
一、单选题
1．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥 P ABCD 中，底面边长为1．侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为（　　）
A．33 B．63 C．22 D．12
2．长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB=AA1=2 ， AD=1 ， E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 A1E 所成角的余弦值为（　　）.
A．31010 B． 3030 C．3030 D．3010
3．将边长为1的正方形 AA1O1O （及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为 2π3 ， A1B1 长为 π3 ，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧.则异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小为（　　）
A．π6 B．π4 C．π3 D．π2
4．已知 △ABC 与 △ACD 所在的平面互相垂直， AC=25 ， AB=AD=20 ， CB=CD=15 ，则直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为（　　）
A．724 B．725 C．2425 D．1225
5．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（　　）
A．65 B．64 C．63 D．66
6．过点 (2, 1) 且方向向量为 (1,2) 的直线的方程为（　　）
A．2x y+5=0 B．2x+y 5=0 C．2x y 5=0 D．2x+y+5=0
7．已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ∠ABC=60° ， AB=BC=CC1=2 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为（　　）
A． 154 B． 14 C．14 D．154
8．如图，在三棱锥 ABC A1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， AB=4,AA1=6 ．若 E 是棱 BB1 上的点，且 BE=B1E ，则异面直线 A1E 与 AC1 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．在三棱锥 P ABC 中， AB=BC=2 ， AC=22 ， PB⊥ 面 ABC ， M ， N ， Q 分别为 AC ， PB ， AB 的中点， MN=3 ，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为（　　）
A．105 B．155 C．35 D．45
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， N 是棱 AD 的中点， M 是棱 CC1 上的点，且 CC1=3CM ，则直线 BM 与 B1N 所成的角的余弦值是（　　）
A．105 B．2515 C．1020 D．1030
二、填空题
11．过不同两点 A(m2+2,m2 3) ， B(3 m m2,2m) 的直线l的一个方向向量坐标为 (1,1) ，则实数m的值为　 　．
12．直线 2x y+1=0 的一个法向量为　 　.
13．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是 AA1，BB1 的中点，则 CM 和 D1N 所成角的余弦值为　 　．
14．如图，四棱锥 P ABCD 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 ABCD 中心，E为 PC 中点，则直线 OE 与直线 PD 所成角的余弦值为　 　.
15．若直线 l 过点 A(1,0),B(2,3) ，则它的点法向式方程为　 　.
三、解答题
16．如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， AB//DC ， ∠DAB=90° ， PA⊥ 底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=1 ， AB=2 ， M 是 PB 的中点．
（1）证明：平面 PAD⊥ 平面 PCD ；
（2）求 AC 与 PB 夹角的余弦值；
17．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为1，O为 A1C1 中点，以D为原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz .
（1）求平面 ODC1 的法向量 n ，并证明 B1C// 平面 ODC1 ；
（2）求异面直线 B1C 与 OD 夹角的余弦值.
18．如图，已知长方形 ABCD 中， AB=22 ， AD=2 ， M 为 DC 的中点．将 ΔADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM ⊥平面 ABCM ．
（I）求证： AD⊥BM ；
（II）若点 E 是线段 DB 上的一动点，当二面角 E AM D 的余弦值为 22 时，求线段 DE 的长．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
参考答案与试题解析
选择题
1.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】如图所示，以正方形ABCD的中心为坐标原点，DA方向为x轴，
AB方向为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(12, 12,0) ， B(12,12,0) ， C( 12,12,0) ，
由几何关系可求得 OB=22 ， PB=2 ，
又PO=PB2 OB2=142 ， ∴P(0,0,142) ，
∵E 为 PC 中点， ∴E( 14,14,144) ,
则AP→=( 12,12,142) ， BE→=( 34, 14,144) ，
即cos AP→,BE→ =38 18+1486=26=63
故答案为：B.
2.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以 D 为原点，以 DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，
由 AB=AA1=2 ， AD=1 ， E 为 CC1 的中点，
可得 A1(1,0,2),B(1,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,1) ，则 A1E=( 1,2, 1),BC1=( 1,0,2) ，
设异面直线 BC1 与 A1E 所成角为 θ ，
可得 cosθ=|cos BC1,A1E |=|BC1,A1E||BC1| |A1E|=|1 2|6 5=3030 .
故答案为：C.
3.【考点】空间向量运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】解：以O为坐标原点建系如图，则A(0,1,0)，A1(0，1，1)，B132，12,1，C32， 12,0
所以AA1→=(0,0,1),B1C→=(0, 1, 1)， %
所以cos=AA1→·B1C→AA1→·B1C→=0×0+0× 1+1× 11×02+ 12+ 12= 22
所以=3π4
所以异面直线B1C与AA1所成的角为 π4
故答案为：B.
4.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】因为 AC2=AD2+CD2=AB2+BC2 ，所以 △ABD 与 △ACD 为全等的直角三角形，
过点 B 作 BO⊥AC ，垂足为 O ，连接 DO ，所以 DO⊥AC ．
因为平面 ABC⊥ 平面 ACD ，所以 BO⊥ 平面 ACD ，故以 O 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 A(0, 16,0) ， B(0,0,12) ， C(0,9,0) ， D(12,0,0) ，
则 AD=(12,16,0) ， BC=(0,9, 12) ，
所以 cos AD,BC =16×9122+162 92+122=16×920×15=1225 ．
故答案为：D．
5.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，可知A1（1, 0, 2），B（0, 1, 0），A（1, 0, 0），C（0, 0, 0），
则 A1B ＝（－1,1，－2）， AC ＝（－1,0,0），cos〈 A1B ， AC 〉＝ AC A1B|AC| |A1B|
＝ 11+1+4 ＝ 66 .
故答案为：D.
6.【考点】直线的方向向量
【解答】因为所求直线的方向向量为 (1,2) ，
所以该直线的斜率为 k=2 ，
又该直线过点 (2, 1) ，
因此所求直线方程为 y ( 1)=2(x 2) ，即 2x y 5=0 .
故答案为：C.
7.【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 以A为原点，
在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B1（ 3 ，1，2），B（ 3,1,0 ），C1（0，2，2），
AB1=(3,1,2) ， BC1=( 3,1,2)
设异面直线AB1与BC1所成角为θ，
则cosθ＝ |AB1 BC1||AB1| |BC1|=28 8=14 ，
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 14 ．
故答案为：C．
8.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，
E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，
∴A1（4，0，6），E（2，2 3 ，3），A（4，0，0）， C1=(0,0,6)
A1E= （﹣2，2 3 ，﹣3）， AC1= （-4，0，6），
设异面直线 A1E 与 AC1 所成角所成角为θ，
则cosθ =|A1E AC1||A1E| |AC1|=10202=1313 ．
∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为 1313 ．
故答案为：A．
9.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】∵ AB=BC=2,AC=22,
∴ AB⊥BC ，
以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴ B(0,0,0)，C(2,0,0),A(0,2,0),M(1，1，0),Q(0,1,0) ，
设 P(0，0，2x) ，则 N(0，0，x) ，
∵ MN=3 ，
∴ 1+1+x2=3 ，解得 x=1
∴ PQ=(0,1， 2),MN=( 1， 1,1)
∴ |cosPQ，MN|=|PQ MN||PQ| |MN|=35×3=155 ，
∴异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为 155
故答案为：B
10.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以D为坐标原点，以 DA、DC、DD1 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。
设N( 32 ,0,0) B(3,3,0) M(0,3,1) B1 (3,3,3)
BM =( 3,0,1) ， B1N =( 32, 3, 3) .
cos=B1N ·BM |B1N ||BM |=1030
故答案为：D
二．填空题
11.【考点】直线的方向向量
【解答】由题知， BA=(2m2+m 1,m2 2m 3) ，设直线的方向向量为 a=(1,1) ，则 BA=λa ，
即 (2m2+m 1,m2 2m 3)=λ(1,1) ，得 2m2+m 1=m2 2m 3 ，解得 m= 1 或 2 ，
当 m= 1 时， A(3, 2),B(3, 2) ，显然不满足题意，排除，当 m= 2 时， A(6,1),B(1, 4) ，符合题意.
故答案为：-2
12.【考点】直线的方向向量
【解答】直线 2x y+1=0 的斜率为2，故与其垂直的直线的斜率为 12 ，故直线 2x y+1=0 的一个法向量为（2，-1）.
故答案为：（2，-1）.
13.【考点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】以 D 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系
设正方体棱长为 2 ，则 C(0,2,0) ， M(2,0,1) ， D1(0,0,2) ， N(2,2,1)
∴CM=(2, 2,1) ， D1N=(2,2, 1)
∴|cos|=|CM D1N|CM| |D1N||=|4 4 1|3×3=19
即异面直线 CM 与 D1N 所成角的余弦值为 19
故答案为： 19
14.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】解： ∵ 四棱锥 P ABCD 中，所有棱长均为2，O是底面正方形 ABCD 中心， E 为 PC 中点，
∴AC⊥BD ， PO⊥ 平面 ABCD ，
∴ 以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 O(0,0,0) ， C( 2,0,0) ， P(0,0,2) ， E( 22,0,22) ， D(0, 2,0) ，
∴OE=( 22,0,22) ， PD=(0, 2, 2) ，
设直线 OE 与直线 PD 所成角为 θ ，
则 cosθ=|OE·PD||OE|·|PD|=11×4=12 ，
∴ 直线 OE 与直线 PD 所成角的余弦值为 12 ．
故答案为： 12 ．
15.【考点】直线的方向向量
【解答】因为直线 l 过点 A(1,0),B(2,3) ，且 AB=(1,3) ，
所以直线 l 的一个法向量为 n=( 3,1) ，
所以该直线的点法向式方程为-3(x-1)+y=0.
故答案为：-3(x-1)+y=0.
三．解答题
16.【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系
【解答】1）证明：如图，以 A 为坐标原点， AD,AB,AP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,12) ．
所以 AP=(0,0,1),DC=(0,1,0) ，
所以 AP DC=0 ，所以 AP⊥DC ．
由题设知， AD⊥DC ，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，
由此得 DC⊥ 平面 PAD ．
又 DC 平面 PCD ，故平面 PAD⊥ 平面 PCD ．
（2）解：因为 AC=(1,1,0) ， PB=(0,2, 1) ，
故 |AC|=2 ， |PB|=5 ， AC PB=2 ，
所以 cos AC,PB =AC PB|AC||PB|=105 ．
即 AC 与 PB 夹角的余弦值为 105 ．
17.【考点】直线与平面平行的判定；空间向量运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】1）证明： O(12,12,1),C1(0,1,1) ，故 CO=(12,12,1),DC1=(0,1,1) ，
设平面 ODC1 的一个法向量为 n=(x,y,z) ，
由 n DO=0n DC1=0 得 12x+12y+z=0y+z=0 ，
令 y=1 ，则 z= 1,x=1 ，所以 n=(1,1, 1) .
又 B1C=( 1,0, 1) ，从而 n B1C=0 .
∵B1C 平面 ODC1 ，所以 B1C// 平面 ODC1 ；
（2）设 B1C DO 分别为直线 B1C 与 OD 的方向向量．
则由 B1C=( 1,0, 1) ， DO=(12,12,1) ，得 cos B1C,DO = 1×12 12 32= 32 .
所以两异面直线 B1C 与 OD 的夹角 θ 的余弦值为 cosθ=32 ．
18.【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解答】I）证明：∵长方形 ABCD 中， AB=4,AD=2 ，M 为 CD 的中点， AM=BM=22 ，故 AM⊥BM平面ADM⊥平面ABCM平面ADM平面ABCM=AMBM 平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD 平面ADM∴AD⊥BM .（II）建立如图所示的 O xyz 直角坐标系，则 A(1,0,0),B( 1,2,0),D(0,0,1),M( 1,0,0)平面 AMD 的一个法向量 n=(0,1,0) ，设 DE=λDBME=MD+λDB=(1 λ,2λ,1 λ)AM=( 2,0,0) ，设平面AME的一个法向量为 m=(x,y,z),{2x=02λy+(1 λ)z=0 取 y=1 ，得 x=0,y=1,z=2λ1 λ, 得 m=(0,1,2λ1 λ) ，而 n=(0,1,0)则 cos m,n =m n|m| |n|=11+(2λ1 λ)2=12 ，得 1+(2λ1 λ)2=2 ，解得 λ=13因为 |BD|=6 ，故 |DE|=63