高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 160.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-15 16:48:13 | ||
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文档简介
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
一、单选题
1．已知 a =（1，1，1）， b =（0，2，﹣1）， c =m a +n b +（4，﹣4，1）．若 c 与 a 及 b 都垂直，则m，n的值分别为（ ）
A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，﹣2
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA→，DC→，DD1→所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D﹣xyz，且MN是AB1与BC1的公垂线，M在AB1上，N在BC1上，则MN→等于（ ）
A．(1,23,23) B．(23,1,13)
C．(-13,13,-13) D．(13,-13,13)
3．两平面α、β的法向量分别为 u =（3，﹣1，z）， v =（﹣2，﹣y，1），若α⊥β，则y+z的值是（ ）
A．﹣3 B．6 C．﹣6 D．﹣12
4．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．已知双曲线E的左、右焦点分别为 F1,F2 ，左、右顶点分别为 M,N ．点P在E的渐近线上， PF1 PF2=0 ， ∠MPN=π3 ，则E的离心率为（ ）
A．153 B．213 C．53 D．13
7．已知AB→=(1,5, 2)，BC→=(3,1,z)，若AB→⊥BC→，BP→=(x 1,y, 3)且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
A．337, 157,4 B．407, 157,4 C．407, 2,4 D．4,407, 15
8．已知空间向量a=(-1，1，3)，b=(2，-2，x)，若a∥b，则实数x的值是（ ）
A．43 B． 43 C．-6 D．6
9．平面向量 a 与 b 的夹角为60°， |a|=2 ， |b|=1 ，则 |a+2b| =（ ）
A．3 B．2 3 C．4 D．12
10．已知向量 π =（λ+1，1，2）， n =（λ+2，2，1），若（ π + n ）⊥（ π ﹣ n ），则λ=（ ）
A．32 B．﹣ 32 C．﹣2 D．﹣1
二、填空题
11．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1=2AB ，点 P 是线段 AC1 上一点，记 λ=APAC1 ，当 ∠BPD 为钝角时，实数 λ 的取值范围是 .
12．已知空间三点 A(0,2,3) ， B(2,5,2) ， C( 2,3,6) ，则以 AB ， AC 为邻边的平行四边形的面积为 ．
13．已知向量 a，b 满足 |a|=2 ， |b|=3 ， b (a b)=0 ，则 a 与 b 的夹角为 .
14．在 △ABC 中，| AB |=2，| BC |=1，∠ ABC =60°， 2AD = DC ，点 F 在 BD 上，且 CF ⊥ AB ， BF = xBA+yBC ，则 x+y = ．
15．已知向量a→=（1，2，﹣3）与b→=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是 ．
三、解答题
16．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x= 1+2cosφy=2sinφ （ φ 为参数）.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 P 的直角坐标为 ( 2,0) ，过 P 的直线 l 与曲线 C 相交于 M ， N 两点.
（1）若 l 的斜率为2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）求 PM PN 的值.
17．已知a→=（3，4，5），e1→=（2，﹣1，1），e2→=（1，1，﹣1），e3→=（0，3，3），求a→沿e1→，e2→，e3→的正交分解．
18．如图，在四棱锥S ABCD中，SA⊥平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上，DE=2SE．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）若正方形ABCD的边长为1，二面角E AC D的大小为45°，求四棱锥S ABCD的体积.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：由已知得 c =（m+4，m+2n﹣4，m﹣n+1），
故 a c =3m+n+1=0， b c =m+5n﹣9=0．
解得 m= 1n=2
故选A．
2.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．
∴AB1→=（0，1，1），BC1→=（﹣1，0，1）．
∵点M在AB1上，N在BC1上．
∴可设
∴=（1，λ，λ）．
=（1﹣μ，1，μ）．
∴MN→=（﹣μ，1﹣λ，μ﹣λ）．
∵
∴
∴．
故选C．
3.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵α⊥β，∴u⊥v ．
∴u v =3×（﹣2）﹣1×（﹣y）+z×1=0，
化为y+z=6．
故选B．
4.【考点】棱锥的结构特征
【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，
且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，
作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，作FE∥CD，
交BC于E，连结PE，
则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，
∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，
∴PH=EF= 23×6=4 ，HF=PE= 13×6=2 ，
∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．
故答案为：B．
5.【考点】棱柱的结构特征；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得阳马个数为16个。
故答案为：D。
6.【考点】双曲线的简单性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】不妨设 P 是渐近线在第一象限上的点，
因为 PF1 PF2=0 ，所以 ∠F1PF2=90°,|PO|=|OF2|=c ．
又 P 在渐近线 y=bax 上，所以可得 P 点的坐标是 (a,b) ，所以 PN⊥F1F2 ．
在直角三角形 PNM 中， ∠MPN=π3 ，
所以 |MN|=3|PN| ，即 2a=3b,ba=23 ．
所以 e=1+b2a2=1+43=73=213 ．
故答案为：B．
7.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.
故选B
8.【考点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解答】解：由 a∥b可得 12=1 2=3x,x= 6.
故答案为：C
9.【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解答】解：由题意可得 |a+2b| = (a+2b)2
= a2+4b2+4a b = a2+4b2+4|a||b|cos60
= 22+4×12+4×2×1×12 =2 3
故选B
10.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵向量 π =（λ+1，1，2）， n =（λ+2，2，1），
（ π + n ）⊥（ π ﹣ n ），则
∴（ π + n ） （ π ﹣ n ）=（2λ+3，3，3） （﹣1，﹣1，1）=﹣2λ﹣3=0，
解得 λ= 32 ．
故选：B．
二．填空题
11.【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解答】以 D 为坐标原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 AB=1 ，则 D(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,2) ，
由 AP=λAC1 得点： P(1 λ,λ,2λ) ， ∴PD=(λ 1, λ, 2λ) ， PB=(λ,1 λ, 2λ) ， ∵∠BPD 为钝角且 PD 和 PB 不共线， ∴PD PB=6λ2 2λ<0 ，解得： 0<λ<13 ，
∴ 实数 λ 的取值范围是 (0,13) .
故答案为： (0,13) .
12.【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示
【解答】由题意可得 AB=(2,3, 1),AC=( 2,1,3) ， |AB|=4+9+1=14,|AC|=4+1+9=14 ，所以 cos∠BAC=2×( 2)+3×1+( 1)×314×14= 27 ，所以 sin∠BAC=357 ，所以以 AB ， AC 为邻边的平行四边形的面积为 S=14×14×357=65 ，
故答案是 65 .
13.【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解答】因为 b (a b)=0 ，所以 a b b2=0 ，又 |b|=3 ，
所以 a b=b2=|b|2=3 ，设 a 与 b 的夹角为 θ ，
所以 cosθ=a b|a| |b|=32×3=32 ，又 θ∈[0,π] ，
所以 θ=π6 .
故答案为： π6
14.【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】设 BF=λBD=λ(BA+13AC)=λ[BA+13(BC BA)]=2λ3BA+λ3BC ,
CF=BF BC=2λ3BA+(λ3 1)BC ,
∵CF⊥AB，
∴CF·BA=2λ3|BA|2+(λ3 1)BC·BA=2λ3×22+(λ3 1)×1×2×12=0
解得 λ=13 ，所以 BF=29BA+19BC ,∴x=29,y=19 ，所以 x+y=13 .
故答案为13
15.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵向量a→=（1，2，﹣3）与b→=（2，x，y）平行，
∴12=2x= 3y，
解得x=4，y=﹣6，
∴x+y=4﹣6=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题
16.【考点】平面向量数量积的运算；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解答】（1）解： l 的直角坐标方程为 y=2(x+2) ，即 2x y+4=0 ，
则 l 的极坐标方程为 2ρcosθ ρsinθ+4=0 .
曲线 C 的普通方程为 (x+1)2+y2=4 .
（2）解：直线 l 的参数方程为 x= 2+tcosαy=tsinα （ t 为参数， α 为 l 的倾斜角），
代入曲线 C 的普通方程，得 t2 2tcosα 3=0 .
设 M ， N 对应的参数分别为 t1 ， t2 ，所以 t1 t2= 3 ， M,N 在 P( 2,0) 的两侧.则 PM PN=|PM| |PN| cosπ= |t1t2|= 3 .
17.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解：因为a→=（3，4，5），e1→=（2，﹣1，1），e2→=（1，1，﹣1），e3→=（0，3，3），
设a→=αe1→+βe2→+λe3→，即（3，4，5）=（2α+β，﹣α+β+3λ，α﹣β+3λ），
所以2α+β=3 α+β+3λ=4α β+3λ=5，解此方程组得α=76β=23λ=32，
所以a→沿e1→，e2→，e3→的正交分解为a→=76e1→+23e2→+32e3→
18.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法
【解答】（1）证明：在四棱锥S ABCD中，四边形ABCD是正方形，则CD⊥AD，
又SA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，即CD⊥SA，而AD∩SA=A，AD,SA 平面SAD，
于是得CD⊥平面SAD，又AE 平面SAD，
所以CD⊥AE．
（2）解：在平面SAD内过点E作EN//SA交AD于点N，如图，而SA⊥平面ABCD，则EN⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，则EN⊥AC，过点N作MN⊥AC，垂足为点M，连接EM，
因EN∩MN=N，EN,MN 平面EMN，因此AC⊥平面EMN，又EM 平面EMN，则AC⊥EM，
EM 平面EAC，MN 平面ACD，平面EAC∩平面ACD=AC，则∠EMN是二面角E AC D的平面角，即∠EMN=45°，
而DE=2SE，而EN//SA，则AN=13AD=13，又∠NAM=45 ，则有MN=22AN=26，
由EN⊥平面ABCD，MN 平面ABCD得EN⊥MN，于是得EN=MN=26，
而SA=32EN=32×26=24，正方形ABCD的面积为1，因此，四棱锥S ABCD的体积为VS ABCD=13×1×24=212，
所以四棱锥S ABCD的体积是212.
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
一、单选题
1．已知 a =（1，1，1）， b =（0，2，﹣1）， c =m a +n b +（4，﹣4，1）．若 c 与 a 及 b 都垂直，则m，n的值分别为（ ）
A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，﹣2
2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，DA→，DC→，DD1→所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D﹣xyz，且MN是AB1与BC1的公垂线，M在AB1上，N在BC1上，则MN→等于（ ）
A．(1,23,23) B．(23,1,13)
C．(-13,13,-13) D．(13,-13,13)
3．两平面α、β的法向量分别为 u =（3，﹣1，z）， v =（﹣2，﹣y，1），若α⊥β，则y+z的值是（ ）
A．﹣3 B．6 C．﹣6 D．﹣12
4．三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
5．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．已知双曲线E的左、右焦点分别为 F1,F2 ，左、右顶点分别为 M,N ．点P在E的渐近线上， PF1 PF2=0 ， ∠MPN=π3 ，则E的离心率为（ ）
A．153 B．213 C．53 D．13
7．已知AB→=(1,5, 2)，BC→=(3,1,z)，若AB→⊥BC→，BP→=(x 1,y, 3)且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
A．337, 157,4 B．407, 157,4 C．407, 2,4 D．4,407, 15
8．已知空间向量a=(-1，1，3)，b=(2，-2，x)，若a∥b，则实数x的值是（ ）
A．43 B． 43 C．-6 D．6
9．平面向量 a 与 b 的夹角为60°， |a|=2 ， |b|=1 ，则 |a+2b| =（ ）
A．3 B．2 3 C．4 D．12
10．已知向量 π =（λ+1，1，2）， n =（λ+2，2，1），若（ π + n ）⊥（ π ﹣ n ），则λ=（ ）
A．32 B．﹣ 32 C．﹣2 D．﹣1
二、填空题
11．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1=2AB ，点 P 是线段 AC1 上一点，记 λ=APAC1 ，当 ∠BPD 为钝角时，实数 λ 的取值范围是 .
12．已知空间三点 A(0,2,3) ， B(2,5,2) ， C( 2,3,6) ，则以 AB ， AC 为邻边的平行四边形的面积为 ．
13．已知向量 a，b 满足 |a|=2 ， |b|=3 ， b (a b)=0 ，则 a 与 b 的夹角为 .
14．在 △ABC 中，| AB |=2，| BC |=1，∠ ABC =60°， 2AD = DC ，点 F 在 BD 上，且 CF ⊥ AB ， BF = xBA+yBC ，则 x+y = ．
15．已知向量a→=（1，2，﹣3）与b→=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是 ．
三、解答题
16．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x= 1+2cosφy=2sinφ （ φ 为参数）.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 P 的直角坐标为 ( 2,0) ，过 P 的直线 l 与曲线 C 相交于 M ， N 两点.
（1）若 l 的斜率为2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）求 PM PN 的值.
17．已知a→=（3，4，5），e1→=（2，﹣1，1），e2→=（1，1，﹣1），e3→=（0，3，3），求a→沿e1→，e2→，e3→的正交分解．
18．如图，在四棱锥S ABCD中，SA⊥平面ABCD中，四边形ABCD是正方形，点E在棱SD上，DE=2SE．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）若正方形ABCD的边长为1，二面角E AC D的大小为45°，求四棱锥S ABCD的体积.
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：由已知得 c =（m+4，m+2n﹣4，m﹣n+1），
故 a c =3m+n+1=0， b c =m+5n﹣9=0．
解得 m= 1n=2
故选A．
2.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．
∴AB1→=（0，1，1），BC1→=（﹣1，0，1）．
∵点M在AB1上，N在BC1上．
∴可设
∴=（1，λ，λ）．
=（1﹣μ，1，μ）．
∴MN→=（﹣μ，1﹣λ，μ﹣λ）．
∵
∴
∴．
故选C．
3.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵α⊥β，∴u⊥v ．
∴u v =3×（﹣2）﹣1×（﹣y）+z×1=0，
化为y+z=6．
故选B．
4.【考点】棱锥的结构特征
【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，
且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，
作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，作FE∥CD，
交BC于E，连结PE，
则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，
∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，
∴PH=EF= 23×6=4 ，HF=PE= 13×6=2 ，
∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．
故答案为：B．
5.【考点】棱柱的结构特征；向量语言表述线面的垂直、平行关系
【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得阳马个数为16个。
故答案为：D。
6.【考点】双曲线的简单性质；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】不妨设 P 是渐近线在第一象限上的点，
因为 PF1 PF2=0 ，所以 ∠F1PF2=90°,|PO|=|OF2|=c ．
又 P 在渐近线 y=bax 上，所以可得 P 点的坐标是 (a,b) ，所以 PN⊥F1F2 ．
在直角三角形 PNM 中， ∠MPN=π3 ，
所以 |MN|=3|PN| ，即 2a=3b,ba=23 ．
所以 e=1+b2a2=1+43=73=213 ．
故答案为：B．
7.【考点】空间向量运算的坐标表示
【解答】由，可得到，从而，那么.由得到,所以.解得.
故选B
8.【考点】共线向量与共面向量；空间向量运算的坐标表示
【解答】解：由 a∥b可得 12=1 2=3x,x= 6.
故答案为：C
9.【考点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角
【解答】解：由题意可得 |a+2b| = (a+2b)2
= a2+4b2+4a b = a2+4b2+4|a||b|cos60
= 22+4×12+4×2×1×12 =2 3
故选B
10.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵向量 π =（λ+1，1，2）， n =（λ+2，2，1），
（ π + n ）⊥（ π ﹣ n ），则
∴（ π + n ） （ π ﹣ n ）=（2λ+3，3，3） （﹣1，﹣1，1）=﹣2λ﹣3=0，
解得 λ= 32 ．
故选：B．
二．填空题
11.【考点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示
【解答】以 D 为坐标原点， DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 AB=1 ，则 D(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(1,1,0) ， C1(0,1,2) ，
由 AP=λAC1 得点： P(1 λ,λ,2λ) ， ∴PD=(λ 1, λ, 2λ) ， PB=(λ,1 λ, 2λ) ， ∵∠BPD 为钝角且 PD 和 PB 不共线， ∴PD PB=6λ2 2λ<0 ，解得： 0<λ<13 ，
∴ 实数 λ 的取值范围是 (0,13) .
故答案为： (0,13) .
12.【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示
【解答】由题意可得 AB=(2,3, 1),AC=( 2,1,3) ， |AB|=4+9+1=14,|AC|=4+1+9=14 ，所以 cos∠BAC=2×( 2)+3×1+( 1)×314×14= 27 ，所以 sin∠BAC=357 ，所以以 AB ， AC 为邻边的平行四边形的面积为 S=14×14×357=65 ，
故答案是 65 .
13.【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解答】因为 b (a b)=0 ，所以 a b b2=0 ，又 |b|=3 ，
所以 a b=b2=|b|2=3 ，设 a 与 b 的夹角为 θ ，
所以 cosθ=a b|a| |b|=32×3=32 ，又 θ∈[0,π] ，
所以 θ=π6 .
故答案为： π6
14.【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】设 BF=λBD=λ(BA+13AC)=λ[BA+13(BC BA)]=2λ3BA+λ3BC ,
CF=BF BC=2λ3BA+(λ3 1)BC ,
∵CF⊥AB，
∴CF·BA=2λ3|BA|2+(λ3 1)BC·BA=2λ3×22+(λ3 1)×1×2×12=0
解得 λ=13 ，所以 BF=29BA+19BC ,∴x=29,y=19 ，所以 x+y=13 .
故答案为13
15.【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解答】解：∵向量a→=（1，2，﹣3）与b→=（2，x，y）平行，
∴12=2x= 3y，
解得x=4，y=﹣6，
∴x+y=4﹣6=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题
16.【考点】平面向量数量积的运算；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解答】（1）解： l 的直角坐标方程为 y=2(x+2) ，即 2x y+4=0 ，
则 l 的极坐标方程为 2ρcosθ ρsinθ+4=0 .
曲线 C 的普通方程为 (x+1)2+y2=4 .
（2）解：直线 l 的参数方程为 x= 2+tcosαy=tsinα （ t 为参数， α 为 l 的倾斜角），
代入曲线 C 的普通方程，得 t2 2tcosα 3=0 .
设 M ， N 对应的参数分别为 t1 ， t2 ，所以 t1 t2= 3 ， M,N 在 P( 2,0) 的两侧.则 PM PN=|PM| |PN| cosπ= |t1t2|= 3 .
17.【考点】空间向量的正交分解及其坐标表示
【解答】解：因为a→=（3，4，5），e1→=（2，﹣1，1），e2→=（1，1，﹣1），e3→=（0，3，3），
设a→=αe1→+βe2→+λe3→，即（3，4，5）=（2α+β，﹣α+β+3λ，α﹣β+3λ），
所以2α+β=3 α+β+3λ=4α β+3λ=5，解此方程组得α=76β=23λ=32，
所以a→沿e1→，e2→，e3→的正交分解为a→=76e1→+23e2→+32e3→
18.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法
【解答】（1）证明：在四棱锥S ABCD中，四边形ABCD是正方形，则CD⊥AD，
又SA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，即CD⊥SA，而AD∩SA=A，AD,SA 平面SAD，
于是得CD⊥平面SAD，又AE 平面SAD，
所以CD⊥AE．
（2）解：在平面SAD内过点E作EN//SA交AD于点N，如图，而SA⊥平面ABCD，则EN⊥平面ABCD，
AC 平面ABCD，则EN⊥AC，过点N作MN⊥AC，垂足为点M，连接EM，
因EN∩MN=N，EN,MN 平面EMN，因此AC⊥平面EMN，又EM 平面EMN，则AC⊥EM，
EM 平面EAC，MN 平面ACD，平面EAC∩平面ACD=AC，则∠EMN是二面角E AC D的平面角，即∠EMN=45°，
而DE=2SE，而EN//SA，则AN=13AD=13，又∠NAM=45 ，则有MN=22AN=26，
由EN⊥平面ABCD，MN 平面ABCD得EN⊥MN，于是得EN=MN=26，
而SA=32EN=32×26=24，正方形ABCD的面积为1，因此，四棱锥S ABCD的体积为VS ABCD=13×1×24=212，
所以四棱锥S ABCD的体积是212.