高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.1.2 空间向量基本定理 同步练习（含解析）

人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.2 空间向量基本定理
一．选择题
1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则与向量相等的是（　　）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x+y+z，则x+y+z＝（　　）
A．1 B． C． D．
3．在四面体O﹣ABC中，设＝，＝，＝，＝3，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（　　）
A．++ B．++ C．++ D．++
4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且BP＝2D1P，若＝x+y+z，则x+y+z＝（　　）
A． B． C． D．1
5．已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（　　）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
③若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得；
④若，不共线，向量（λ，μ∈R且λμ≠0），则可以构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，，，则（　　）
A． B．
C． D．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，则（x，y，z）＝（　　）
A．（1，1，1） B．（1，1，0） C．（1，1，﹣1） D．（1，0，﹣1）
8．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
9．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则x+y+z＝（　　）
A． B． C．1 D．
10．已知{，，}是空间的一个基底，{+，﹣，}是空间的另一个基底，一向量在基底{，，}下的坐标为（4，2，3），则向量在基底{+，﹣，}下的坐标是（　　）
A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3）
二．填空题
11．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，用向量，，表示＝　 　．
12．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．设，则x+y+z的值为 　 　．
13．已知向量，，可作为空间的一组基底{，，}，若＝3+4+，且在基底{（+2），（+3），（+）}下满足＝x（+2）+y（+3）+z（+），则x＝　 　．
14．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝3，＝2，＝5，则向量在基底{，，}下的坐标是 　 　．
15．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设，，则＝　 　（用来表示）
三．解答题
16．定义：设{，，}是空间的一个基底，若向量＝x+y+z，则称有序实数组（x，y，z）为向量在基底{，，}下的坐标．
已知{，，}是空间的单位正交基底，{，﹣，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，﹣，}下的坐标为（1，2，3）．
（1）求向量在基底{，，}下的坐标；
（2）求向量的模．
17．对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
（1）试证：与，共面；
（2）＝，＝，＝，试用基底{，，}表示向量．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：++为定值，并求出该定值．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.1.2 空间向量基本定理
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：根据题意，＝+＝++＝+﹣＝+﹣，
故选：A．
2．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：连接AM，AN，如下图：
由于G是MN的中点，
∴＝＝，
根据题意知，
所以x+y+z＝，
故选：C．
3．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：画出图形，如图所示，
则＝+＝＝＝
＝+×＝（）
＝．
故选：A．
4．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：∵BP＝2D1P，
∴＝2，
即﹣＝2（﹣）＝2﹣2，
即3＝+2，
即，
所以，，，所以．
故选：A．
5．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用．
【解答】解：对于①，若与共线，与共线，则当时，与不共线，故①错误；
对于②，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，
∴，，非零且共面，则表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故②错误；
对于③，由空间向量基本定理可知：
若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得，故③正确；
④若，不共线，向量，
则共在，∴不可以构成空间的一个基底，故④错误．
故选：B．
6．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：∵，，
∴＝++＝+﹣+（﹣）
＝﹣++，
故选：A．
7．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，
∴＝++＝++，
∵，
∴（x，y，z）＝（1，1，1），
故选：A．
8．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．
【解答】解：对于A，若向量，，共面，
则＝，即，解得λ＝﹣1，μ＝2，
故向量，，共面，故A错误，
对于B，若向量，，共面，
则＝，λ，μ无解，
故向量，，不共面，故B正确，
对于C，若向量，，共面，
则＝，即，解得λ＝2，μ＝﹣1，
故向量，，共面，故C错误，
对于D，若向量，，共面，
则，解得λ＝μ＝1，
故向量，，共面，故D错误．
故选：B．
9．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设B＝（a，0，0），D＝（0，b，0），P＝（0，0，C），
所以M＝（a，b，c），N＝（0，b，c），
所以＝（a，b，﹣c）＝+﹣，
所以x＝，y＝，z＝﹣，
所以x+y+z＝．
故选：B．
10．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：设向量在基底，{+，﹣，}下的坐标为（x，y，z），
则＝4+2+3＝x（+）+y（﹣）+z，
整理得：4+2+3＝（x+y）+（x﹣y）+z，
∴，解得x＝3，y＝1，z＝3，
∴向量在基底{+，﹣，}下的坐标是（3，1，3）．
故选：B．
二．填空题
11．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
＝++＝．
故答案为：．
12．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，
且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，
则＝
＝
＝﹣
＝，
∵，
∴x+y+z＝＝1．
故答案为：1．
13．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：因为＝3+4+，且＝x（+2）+y（+3）+z（+）＝（x+z）+（2x+y）+（3y+z），
则，
解得x＝2，y＝0，z＝1．
故答案为：2．
14．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝3，＝2，＝5，
则＝．
故答案为：（3，2，5）．
15．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：因为M是四面体OABC的棱BC的中点，所以＝+，
因为＝，
所以＝+＝+＝+×（+）＝﹣++，
因为AP＝3PN，
所以＝＝﹣++，
所以＝+＝﹣++＝++．
故答案为：++．
三．解答题
16．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】解：向量在基底下的坐标为（1，2，3），则 ，
（1）所以向量在基底下的坐标为（6，﹣1，6），
（2）模为＝．
17．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；共线向量与共面向量．
【解答】（1）证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．
∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．
又∵PF 平面PEF，AD 平面PEF．
∴AD∥平面PEF．
同理可证，BC∥平面PEF．
∴向量与，共面；
（2）解：＝
＝＝．
18．【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【解答】证明：如图示：
连接AG并延长交BC于点H，
由题意可令{，，}为空间的一个基底，
故＝＝（+）＝+
＝+ （+）＝+（﹣）+（﹣）
＝++，
连接DM，因为点D，E，F，M共面，
故存在实数λ，μ，使得＝λ+μ，
即﹣＝λ（﹣）+μ（﹣），
故＝（1﹣λ﹣μ）+λ+μ＝（1﹣λ﹣μ）m+λn+μt，
由空间向量基本定理知＝（1﹣λ﹣μ）m，＝λn，＝μt，
故++＝4（1﹣λ﹣μ）+4λ+4μ＝4，为定值．