高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.2.5 空间中的距离 同步练习（含解析）

人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.5 空间中的距离
一．选择题
1．已知空间向量＝（2，3，6），＝（3，﹣4，1），则＜，＞＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知空间向量＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣1，1），则|+|＝（　　）
A．3 B． C． D．
3．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，，点E、F满足，，则＝（　　）
A． B． C．2 D．
4．已知，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，则＝（　　）
A．5 B． C． D．
6．已知动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设＝λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（，1）
7．在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（　　）
A． B． C． D．
8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC＝，，则|B1E|＝（　　）
A．25 B．5 C．14 D．
9．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120°，则λ的值为（　　）
A．± B． C．﹣ D．±
10．已知向量＝（1，2，0），＝（0，2，1），，的夹角为θ，则sinθ＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．已知P，A，B，C四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2，则t＝　 　．
12．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，则对角线BD1的长为 　 　．
13．已知空间向量分别是OA，OB的方向向量，则＝　 　；向量与的夹角为　 　．
14．若，，则的值为 　 　．
15．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝﹣+，则||的值为 　 　．
三．解答题
16．已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求：
（1），，；
（2）+与+所成角的余弦值．
17．已知＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），
（1）求|2|；
（2）若k与2的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．
（1）求cos＜，＞的值；
（2）求证：A1B⊥C1M．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.5 空间中的距离
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数量积运算．
【解答】解：∵空间向量＝（2，3，6），＝（3，﹣4，1），
∴cos＜＞＝＝0，则＜，＞＝．
故选：A．
2．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：∵空间向量＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣1，1），
∴＝（2，﹣2，1），
|+|＝＝3．
故选：A．
3．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：＝++＝+（﹣）﹣＝+﹣，
∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1所有棱长均为2，，
点E、F满足，，
∴＝+++ ﹣ ﹣
＝1+1+1+×2×2×﹣2×1×﹣2×1×＝2，
∴＝，
故选：D．
4．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：，，且，
可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，
向量与的夹角为θ，cosθ＝＝﹣，θ∈[0，π]，
所以θ＝．
故选：A．
5．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（3，4，5）在坐标平面Oxy，Oxz内的射影分别为点B，C，
则B（3，4，0），C（3，0，5），
∴＝（0，﹣4，5），
∴||＝＝．
故选：C．
6．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）
∴＝（1，1，﹣1），∴设＝（λ，λ，﹣λ），
∴＝＝（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），
＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1），
由图知∠APC不是平角，∴∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，
∴＜0，
∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，
解得＜λ＜1，
∴λ的取值范围是（，1）．
故选：C．
7．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'（﹣1，﹣2，﹣3），
点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'（1，﹣1，﹣2），
所以|B'C'|＝＝．
故选：B．
8．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，其中AB＝BC＝BB1＝1，
∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC＝，，
∴＝＝
＝+2（）
＝，
∴＝（）2＝4+9++2|2| |3|cos60°+2|| ||cos60°+2|3| ||cos60°
＝4+9+1+6+2+3
＝25，
∴|B1E|＝||＝＝5．
故选：B．
9．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：因为+λ＝（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）＝（1，﹣λ，λ），
所以＝，
＝，
（+λ） ＝2λ，
所以cos 120°＝＝﹣，
所以λ＜0，
且4λ＝﹣，
解得：λ＝﹣．
故选：C．
10．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：∵向量＝（1，2，0），＝（0，2，1），，的夹角为θ，
∴cosθ＝＝＝，
∴sinθ＝＝＝．
故选：A．
二．填空题
11．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：＝﹣＝，＝﹣＝2，＝﹣＝2，
∵P，A，B，C四点共面，∴存在m，n∈R使得＝m+n，
∴＝m（2）+n[2]＝（2m+2n）+n+（mt+nt﹣n），
∴，解得m＝﹣，n＝1，t＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：如图，＝，
∴2＝（）2
＝+2|| || cos60°+2|| ||cos120°+2|| || cos120°
＝1+1+1+1﹣1﹣1
＝2，
∴对角线BD1的长为．
故答案为：．
13．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【解答】解：根据题意，空间向量，
则+＝（3，0，3），则|+|＝＝3，
＝2×1+（﹣1）×1+1×2＝3，||＝＝，||＝＝，
则cos＜，＞＝＝，
又由0°≤＜，＞≤180°，则＜，＞＝60°，
故答案为：3，60°．
14．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：∵，，
∴，
∴＝．
故答案为：5．
15．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：分别取BC，BA，AD，BD的中点E，F，G，O，连接EF、FG、EG、AO、CO，
则AO⊥BD，CO⊥BD，EF∥AC，GF∥BD，
∵边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，
∴BD＝＝，AC＝＝＝1，
∴EF＝AC＝，
∵AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，∵AC 平面AOC，
∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴，
＝﹣+＝++＝+＝，
∴||＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题
16．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【解答】解：（1）∵，
∴，
解得x＝2，y＝﹣4，
故＝（2，4，1），＝（﹣2，﹣4，﹣1），
又因为，所以＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，
故＝（3，﹣2，2）；
（2）由（1）可得＝（5，2，3），＝（1，﹣6，1），
设向量与所成的角为θ，
则cosθ＝＝．
17．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：（1）＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），
∴＝（3，2，﹣2），
∴|2|＝＝；
（2）k＝（k﹣1，k，2），2＝（3，2，﹣2），
∴（k） （2）＝3k﹣3+2k﹣4＝5k﹣7，
∵k与2的夹角为钝角，
∴（k） （2）＝5k﹣7＜0，且k≠﹣2，
解得k＜，且k≠﹣2，
∴实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．
18．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【解答】解：（1）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
＝（1，﹣1，2），＝（0，1，2），
∴cos＜，＞＝＝＝．
证明：（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C1（0，0，2），M（），
＝（﹣1，1，﹣2），＝（，0），
＝0，
∴A1B⊥C1M．