高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.2.2 空间中的平面与空间向量 同步练习(4)（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册 第1章 1.2.2 空间中的平面与空间向量 同步练习(4)（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 132.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 07:23:51 | ||
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文档简介
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
一、单选题
1．若空间向量a→=（1，﹣2，1），b→=（1，0，2），则下列向量可作为向量a→，b→所在平面的一个法向量的是（ ）
A．（4，﹣1，2） B．（﹣4，﹣1，2）
C．（﹣4，1，2） D．（4，﹣1，﹣2）
2．设直线l的方向向量是 u =（﹣2，2，t），平面α的法向量 v =（6，﹣6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
3．已知平面α的法向量为n→=（2，﹣2，4），AB→=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（ ）
A．AB⊥α B．AB α
C．AB与α相交不垂直 D．AB∥α
4．已知点A（0，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量n→是（ ）
A．（1，1，1） B．（1，1，﹣1）
C．（﹣1，1，1） D．（1，﹣1，1）
5．在平面ABCD中，A（0,1,1），B（1,2,1），C（－1,0，－1），若a＝（－1，y，z），且a为平面ABC的法向量，则y2等于 （ ）
A．2 B．0 C．1 D．无意义
6．若直线l的方向向量为 b ，平面α的法向量为 n ，则可能使l∥α的是（ ）
A．b =（1，0，0）， n =（﹣2，0，0）
B．b =（1，3，5）， n =（1，0，1）
C．b =（0，2，1）， n =（﹣1，0，﹣1）
D．b =（1，﹣1，3）， n =（0，3，1）
7．如图，在三棱锥 A BCD 中， DA ， DB ， DC 两两垂直，且 DB=DC ， E 为 BC 中点，则 AE BC 等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．若直线l的方向向量为a→=（1，0，2），平面α的法向量为n→=（﹣2，0，﹣4），则（ ）
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α相交但不垂直
9．设 a =（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量， n =（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（ ）
A．l⊥α B．l∥α
C．l α或l⊥α D．l∥α或l α
10．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k=﹙）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
二、填空题
11．设平面α的一个法向量为 n1 =（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为 n2 =（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k= ．
12．若m→=λ,2,3和n→=1, 3,1分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ=
13．设平面 α 的法向量为 (1, 2,2) ，平面 β 的法向量为 (2,λ,4) ，若 α ∥ β ，则 λ 的值为
14．已知向量n→=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，点M（0，1，1）为平面内一定点，P（x，y，z）为平面内任一点，则x，y，z满足的关系是
15．已知平面α，β，且α∥β，若a→=（1，λ，2），b→=（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，则实数λ的值为
三、解答题
16．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，A A1 ＝4.
（1）证明： AC⊥BC1 ；
（2）求二面角 C1 AB C 的余弦值大小．
17．如图所示，直三棱柱ABC A′B′C′的侧棱长为4，AB ⊥ BC，且AB＝BC＝4，点D，E分别是棱AB，BC上的动点，且AD＝BE.
（1）求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D；
（2）当三棱锥B DB′E的体积取最大值时，求二面角D-B′E-A′的余弦值．
18．用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】平面的法向量
【解答】设向量a→，b→所在平面的一个法向量为n→=（x，y，z），
则，
即；
令z=2，则x=﹣4，y=﹣1，
∴n→=（﹣4，﹣1，2）．
故选：B．
2.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵直线l⊥平面α，且
直线l的方向向量是 u =（﹣2，2，t），平面α的法向量 v =（6，﹣6，12），
∴u ∥ v ，
∴ 26 = 2 6 = t12 ，
解得t=﹣4．
故选：B．
3.【考点】平面的法向量
【解答】∵=﹣6﹣2+8=0，点A不在α内，，
∴AB∥α．
故选：D．
4.【考点】平面的法向量
【解答】AB→=（1，0，1），AC→=（0，1，1）．设平面ABC的一个法向量为n→=（x，y，z）．
则，令z=1，解得x=﹣1，y=﹣1．
∴n→=（﹣1．﹣1，1）．∴﹣n→=（1，1，﹣1）．
故选：B．
5.【考点】平面的法向量
【解答】 AB ＝（1,1,0）， AC=( 1, 1, 2) ，a为平面ABC的法向量，则a AB =0，a AC =0，即 1+y=0 ， 1 y 2z=0 ，则y＝1，∴y2＝1，
故答案为：C.
6.【考点】平面的法向量
【解答】解：若l∥α，则 b n =0，
而A中 b n =﹣2，不满足条件；
B中 b n =1+5=6，不满足条件；
C中 b n =﹣1，不满足条件；
D中 b n =﹣3+3=0，满足条件．
故选：D．
7.【考点】用向量证明垂直
【解答】由题 DA , DB , DC 两两垂直,故以 D 为原点建立如图空间直角坐标系.设 DB=DC=2a ,
DA=b 则 AE BC=(a,a， b) ( 2a,2a,0)= 2a2+2a2+0=0 .
故答案为：D
8.【考点】平面的法向量
【解答】∵a→=（1，0，2），n→=（﹣2，0，4），
∴n→=﹣2a→，
∴a→∥n→，
因此l⊥α．
故选：B．
9.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵n a =3﹣4+1=0，
∴ ．
∴l∥α或l α，
故选：D．
10.【考点】平面的法向量
【解答】设平面α的法向量a→=（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量b→=（﹣1，2，k）．
∵α∥β，
∴a→∥b→，
∴ 实数λ使得a→=λb→．
∴，得k=1．
故选：C．
二．填空题
11.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵α∥β，∴n1 ∥ n2 ，
∴存在实数λ使得 n1=λn2 ．
∴1= 2λ2= 4λ 2=λk ，解得k=4．
故答案为：4．
12.【考点】平面的法向量
【解答】∵α⊥β，
∴，
∴=λ﹣6+3=0，
解得λ=3．
故答案为：3．
13.【考点】平面的法向量；用向量证明平行
【解答】设平面 α 的法向量 m=(1, 2,2) ，平面 β 的法向量 n=(2,λ,4) ，
因为 α ∥ β ，所以 m∥n ，所以存在实数 k ，使得 m=kn ，
所以有 1=2k 2=kλ2=4k ，解得 λ= 4 ，
故答案为 4 .
14.【考点】平面的法向量
【解答】MP→=（x，y﹣1，z﹣1），
∵向量n→=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，
∴n→·MP→=﹣x+3（y﹣1）+（z﹣1）=0，
化为x﹣3y﹣z+4=0．
故答案为：x﹣3y﹣z+4=0．
15.【考点】平面的法向量
【解答】∵α∥β，a→=（1，λ，2），b→=（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，
∴a→∥b→，
∴存在实数k使得a→=Kb→，
∴，解得K=-13，λ=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题
16.【考点】用向量证明垂直；二面角的平面角及求法
【解答】（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
∵AC =（﹣3，0，0）， BC1 =（0，﹣4，4），
∴AC BC1 =0，
AC⊥BC1
（2）解：平面ABC的一个法向量为 m =（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为 n =（x，y，z），
AC1 =（﹣3，0，4）， AB =（﹣3，4，0），
由 n AC1=0n AB=0 得： 3x+4z=0 3x+4y=0
令x=4，则z=3，y=3则 n =（4，3，3）．
Cos＜ m ， n ＞= 334 = 33434 ．
即二面角 C1 AB C的余弦值为 33434 .
17．【考点】用向量证明垂直；二面角的平面角及求法
【解答】（1）根据题意，以B为原点，以BC，BA，BB′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，0，0)，A(0，4，0)，A′(0，4，4)，C(4，0，0)，C′(4，0，4)，B′(0，0，4)．
证明：设D(0，a，0) (0≤a≤4) ，则E(4－a，0，0)，
得(4，0，－4)， C′D ＝(－4，a，－4)，
故 C′D ＝0，有 C′D ，即总有B′C⊥C′D.
（2）VB DB′E=VB′ DBE=13×12×a(4 a)×4=23a(4 a)≤23(a+4 a2)2=83
当且仅当a＝2时，取等号，此时D (0，2，0)，E(2，0，0)
则 B′E=(2,0, 4),DE=(2, 2,0) ,设面DB′E的法向量为 n ,
由 B′E·n=0DE·n=0 可取 n=（2，2，1）
同理可得面A′B′E的一个法向量 m=（2，0，1）
由 cos n，m =（2，2，1）·（2，0，1）3×5=53
易得二面角D-B′E-A′的余弦值为 53 。
18.【考点】平面的法向量
【解答】解:已知：a∩b=P，a α，b α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．证明：设n→为平面β的法向量，∵a∥β，b∥β．∴n→⊥a，n→⊥b，又a∩b=P，a α，b α，∴n→⊥α，∴α∥β．
1.2.2 空间中的平面与空间向量
一、单选题
1．若空间向量a→=（1，﹣2，1），b→=（1，0，2），则下列向量可作为向量a→，b→所在平面的一个法向量的是（ ）
A．（4，﹣1，2） B．（﹣4，﹣1，2）
C．（﹣4，1，2） D．（4，﹣1，﹣2）
2．设直线l的方向向量是 u =（﹣2，2，t），平面α的法向量 v =（6，﹣6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
3．已知平面α的法向量为n→=（2，﹣2，4），AB→=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（ ）
A．AB⊥α B．AB α
C．AB与α相交不垂直 D．AB∥α
4．已知点A（0，0，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量n→是（ ）
A．（1，1，1） B．（1，1，﹣1）
C．（﹣1，1，1） D．（1，﹣1，1）
5．在平面ABCD中，A（0,1,1），B（1,2,1），C（－1,0，－1），若a＝（－1，y，z），且a为平面ABC的法向量，则y2等于 （ ）
A．2 B．0 C．1 D．无意义
6．若直线l的方向向量为 b ，平面α的法向量为 n ，则可能使l∥α的是（ ）
A．b =（1，0，0）， n =（﹣2，0，0）
B．b =（1，3，5）， n =（1，0，1）
C．b =（0，2，1）， n =（﹣1，0，﹣1）
D．b =（1，﹣1，3）， n =（0，3，1）
7．如图，在三棱锥 A BCD 中， DA ， DB ， DC 两两垂直，且 DB=DC ， E 为 BC 中点，则 AE BC 等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．若直线l的方向向量为a→=（1，0，2），平面α的法向量为n→=（﹣2，0，﹣4），则（ ）
A．l∥α B．l⊥α
C．l α D．l与α相交但不垂直
9．设 a =（3，﹣2，﹣1）是直线l的方向向量， n =（1，2，﹣1）是平面α的法向量，则（ ）
A．l⊥α B．l∥α
C．l α或l⊥α D．l∥α或l α
10．已知平面α的法向量为（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量为（﹣1，2，k），若α∥β，则k=﹙）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
二、填空题
11．设平面α的一个法向量为 n1 =（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为 n2 =（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k= ．
12．若m→=λ,2,3和n→=1, 3,1分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ=
13．设平面 α 的法向量为 (1, 2,2) ，平面 β 的法向量为 (2,λ,4) ，若 α ∥ β ，则 λ 的值为
14．已知向量n→=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，点M（0，1，1）为平面内一定点，P（x，y，z）为平面内任一点，则x，y，z满足的关系是
15．已知平面α，β，且α∥β，若a→=（1，λ，2），b→=（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，则实数λ的值为
三、解答题
16．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，A A1 ＝4.
（1）证明： AC⊥BC1 ；
（2）求二面角 C1 AB C 的余弦值大小．
17．如图所示，直三棱柱ABC A′B′C′的侧棱长为4，AB ⊥ BC，且AB＝BC＝4，点D，E分别是棱AB，BC上的动点，且AD＝BE.
（1）求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D；
（2）当三棱锥B DB′E的体积取最大值时，求二面角D-B′E-A′的余弦值．
18．用向量方法证明定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行．
人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册
1.2.2 空间中的平面与空间向量
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】平面的法向量
【解答】设向量a→，b→所在平面的一个法向量为n→=（x，y，z），
则，
即；
令z=2，则x=﹣4，y=﹣1，
∴n→=（﹣4，﹣1，2）．
故选：B．
2.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵直线l⊥平面α，且
直线l的方向向量是 u =（﹣2，2，t），平面α的法向量 v =（6，﹣6，12），
∴u ∥ v ，
∴ 26 = 2 6 = t12 ，
解得t=﹣4．
故选：B．
3.【考点】平面的法向量
【解答】∵=﹣6﹣2+8=0，点A不在α内，，
∴AB∥α．
故选：D．
4.【考点】平面的法向量
【解答】AB→=（1，0，1），AC→=（0，1，1）．设平面ABC的一个法向量为n→=（x，y，z）．
则，令z=1，解得x=﹣1，y=﹣1．
∴n→=（﹣1．﹣1，1）．∴﹣n→=（1，1，﹣1）．
故选：B．
5.【考点】平面的法向量
【解答】 AB ＝（1,1,0）， AC=( 1, 1, 2) ，a为平面ABC的法向量，则a AB =0，a AC =0，即 1+y=0 ， 1 y 2z=0 ，则y＝1，∴y2＝1，
故答案为：C.
6.【考点】平面的法向量
【解答】解：若l∥α，则 b n =0，
而A中 b n =﹣2，不满足条件；
B中 b n =1+5=6，不满足条件；
C中 b n =﹣1，不满足条件；
D中 b n =﹣3+3=0，满足条件．
故选：D．
7.【考点】用向量证明垂直
【解答】由题 DA , DB , DC 两两垂直,故以 D 为原点建立如图空间直角坐标系.设 DB=DC=2a ,
DA=b 则 AE BC=(a,a， b) ( 2a,2a,0)= 2a2+2a2+0=0 .
故答案为：D
8.【考点】平面的法向量
【解答】∵a→=（1，0，2），n→=（﹣2，0，4），
∴n→=﹣2a→，
∴a→∥n→，
因此l⊥α．
故选：B．
9.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵n a =3﹣4+1=0，
∴ ．
∴l∥α或l α，
故选：D．
10.【考点】平面的法向量
【解答】设平面α的法向量a→=（2，﹣4，﹣2），平面β的法向量b→=（﹣1，2，k）．
∵α∥β，
∴a→∥b→，
∴ 实数λ使得a→=λb→．
∴，得k=1．
故选：C．
二．填空题
11.【考点】平面的法向量
【解答】解：∵α∥β，∴n1 ∥ n2 ，
∴存在实数λ使得 n1=λn2 ．
∴1= 2λ2= 4λ 2=λk ，解得k=4．
故答案为：4．
12.【考点】平面的法向量
【解答】∵α⊥β，
∴，
∴=λ﹣6+3=0，
解得λ=3．
故答案为：3．
13.【考点】平面的法向量；用向量证明平行
【解答】设平面 α 的法向量 m=(1, 2,2) ，平面 β 的法向量 n=(2,λ,4) ，
因为 α ∥ β ，所以 m∥n ，所以存在实数 k ，使得 m=kn ，
所以有 1=2k 2=kλ2=4k ，解得 λ= 4 ，
故答案为 4 .
14.【考点】平面的法向量
【解答】MP→=（x，y﹣1，z﹣1），
∵向量n→=（﹣1，3，1）为平面α的法向量，
∴n→·MP→=﹣x+3（y﹣1）+（z﹣1）=0，
化为x﹣3y﹣z+4=0．
故答案为：x﹣3y﹣z+4=0．
15.【考点】平面的法向量
【解答】∵α∥β，a→=（1，λ，2），b→=（﹣3，6，﹣6）分别是两个平面α，β的法向量，
∴a→∥b→，
∴存在实数k使得a→=Kb→，
∴，解得K=-13，λ=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题
16.【考点】用向量证明垂直；二面角的平面角及求法
【解答】（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
∵AC =（﹣3，0，0）， BC1 =（0，﹣4，4），
∴AC BC1 =0，
AC⊥BC1
（2）解：平面ABC的一个法向量为 m =（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为 n =（x，y，z），
AC1 =（﹣3，0，4）， AB =（﹣3，4，0），
由 n AC1=0n AB=0 得： 3x+4z=0 3x+4y=0
令x=4，则z=3，y=3则 n =（4，3，3）．
Cos＜ m ， n ＞= 334 = 33434 ．
即二面角 C1 AB C的余弦值为 33434 .
17．【考点】用向量证明垂直；二面角的平面角及求法
【解答】（1）根据题意，以B为原点，以BC，BA，BB′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，0，0)，A(0，4，0)，A′(0，4，4)，C(4，0，0)，C′(4，0，4)，B′(0，0，4)．
证明：设D(0，a，0) (0≤a≤4) ，则E(4－a，0，0)，
得(4，0，－4)， C′D ＝(－4，a，－4)，
故 C′D ＝0，有 C′D ，即总有B′C⊥C′D.
（2）VB DB′E=VB′ DBE=13×12×a(4 a)×4=23a(4 a)≤23(a+4 a2)2=83
当且仅当a＝2时，取等号，此时D (0，2，0)，E(2，0，0)
则 B′E=(2,0, 4),DE=(2, 2,0) ,设面DB′E的法向量为 n ,
由 B′E·n=0DE·n=0 可取 n=（2，2，1）
同理可得面A′B′E的一个法向量 m=（2，0，1）
由 cos n，m =（2，2，1）·（2，0，1）3×5=53
易得二面角D-B′E-A′的余弦值为 53 。
18.【考点】平面的法向量
【解答】解:已知：a∩b=P，a α，b α，a∥β，b∥β．求证：α∥β．证明：设n→为平面β的法向量，∵a∥β，b∥β．∴n→⊥a，n→⊥b，又a∩b=P，a α，b α，∴n→⊥α，∴α∥β．