吉林省舒兰市第一中学新课标人教A版高中数学必修一 3-1 函数与方程 导学案（无答案）

第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点 编号020
【学习目标】1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理.
【学习重点】零点的定义及意义，零点存在性定理.
【知识链接】
① 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 交点，坐标为 .
② 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 交点，坐标为 .
③ 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点.
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .
【基础知识】
1.对于函数，我们把使的实数x叫做函数的 （zero point）.
2.方程有实数根函数的图象与x轴 函数有 .
3.零点存在性定理：
如果函数在区间上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有 ，即存在，使得 ，这个c也就是方程的根. 对函数零点存在性定理的理解：
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
(2) 如果函数y＝f(x)满足：①函数在区间 [a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．
(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不 ( http: / / www.21cnjy.com )断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号，不能应用定理进行判断．
(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不 ( http: / / www.21cnjy.com )断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
（5）如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.
（6）函数f(x)的零点就是方程f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．
（7）并不是所有的函数都有 ( http: / / www.21cnjy.com )零点，即使在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不说明函数y＝f(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0,3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.
（8）函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．
4.函数零点的判断：
① 代数法：求方程的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；
③ 利用零点存在性定理.
【例题讲解】
例1求函数的零点的个数及零点所在区间.
例2.根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是 .
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
变式迁移1 函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　 　)
A．(1,2)　　　　　　　B．(2,3) C.和(3,4) D．(e，＋∞)
例3.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 008x＋log2 008x，则函数f(x)的零点的个数为(　 　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．2 006
变式迁移2 f(x)＝lnx－在x>0上共有__ __个零点．
点评　这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．
例4　若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．
变式迁移3　已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．
【达标检测】
1.函数f(x)＝x＋的零点个数为(　 　)
A．0　　 　　B．1　　 　　C．2　　　　 D．3
2..列函数中不能用二分法求零点的是(　 　)
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
3.y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　 　)
A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
4.程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根(　 　)
A．(－2，－1) B．(0,1) C．(1,2) D．(－1,0)
5.数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是(　 　)
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点 B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点 D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点　
6.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　 　)
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
7.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　 　)
A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有
8.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为(　 　)
A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 007
9.若函数y＝f(x)在区间[0,4] ( http: / / www.21cnjy.com )上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(　 　)
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
10.函数f(x)＝的零点是____ ______．
11.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有____ ____个．
12.若函数f(x)＝ax＋b (a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 .
13.方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是 ．
14.设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，求正整数k.
15.如果函数f(x)＝ax－x－a (a>0且a≠1)有两个不同的零点，求a的取值范围．
16.若函数y＝3x2－5x＋a的两个零点分别为x1，x2，且有－2【问题与收获】