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第六章 实数章末总复习十大题型
【人教版】
题型一：求一个数的平方根或算数平方根
【例题1】（八年级下·山东聊城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正数的平方根是与，则的值是 .
【变式1-2】（七年级下·山东临沂·阶段练习）81的算数平方根是 ；的平方根是 ．
【变式1-3】（七年级下·山东日照·阶段练习）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ．
【变式1-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1．
(1)求和的值．
(2)求的算术平方根．
【变式1-5】（七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
题型二：算术平方根的双重非负性
【例题2】（七年级下·湖南长沙·阶段练习）若x， y是实数，且
(1)求x， y的值；
(2)求 的值．
【变式2-1】（七年级下·山东德州·阶段练习）已知与互为相反数，求
【变式2-2】（七年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）已知的算术平方根是4，的立方根是3．求的平方根．
（2）设都是实数，且满足，求的算术平方根．
【变式2-3】（七年级下·重庆江北·阶段练习）已知实数a、b满足，c为最大的负整数．
(1)求a、b、c的值：
(2)求的平方根．
【变式2-4】（七年级下·江苏南通·阶段练习）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根．
题型三：求一个数的立方根
【例题3】（七年级下·山东日照·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．
【变式3-1】（七年级下·河南漯河·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的相反数是
C．平方根等于本身的数有和 D．的绝对值是
【变式3-2】（七年级下·山东德州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ．的算术平方根是 ，的立方根的相反数是 ．
【变式3-3】（七年级下·河南漯河·阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知的算术平方根是，的立方根是3．求的平方根．
【变式3-4】（七年级下·河南信阳·阶段练习）（1）已知的平方根是的立方根是2．求的值；
（2）若，且的平方根是它本身，求的立方根．
题型四：开平方和开立方
【例题4】（七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【变式4-1】（七年级下·江苏南通·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
【变式4-2】（七年级下·河南漯河·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【变式4-3】（七年级下·山东日照·阶段练习）解方程
(1)；
(2)
【变式4-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)
(2)．
【变式4-5】（七年级下·四川泸州·阶段练习）求下列各式中x的值
(1)
(2)
题型五：平方根和立方根的实际应用
【例题5】（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
【变式5-1】（七年级下·安徽亳州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．
(1)求该正方体铁块的棱长及表面积；
(2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式5-2】（八年级上·河北石家庄·期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．
【变式5-3】（八年级上·河南驻马店·阶段练习）球形容器又称球罐、壳体是球形，是贮存和运输各种气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分米？（注：球的体积公式是，其中是球的半径）
【变式5-4】（七年级上·浙江温州·期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长．
【变式5-5】（七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是 ．
题型六：实数的概念及分类
【例题6】（七年级上·江苏无锡·期中）下列各数0， ，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-1】（七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括正有理数、负有理数和无理数 B．无限小数是无理数，有限小数是有理数
C．有理数运算法则和运算律适合实数运算 D．有理数和无理数之间不可以大小比较
【变式6-2】（2024九年级下·广东·专题练习）下列语句正确的是（ ）
A．是有理数
B．无理数分为正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限循环小数是无理数
【变式6-3】（八年级上·山东青岛·期中）把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）．
(1)整数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
【变式6-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里．
，3.1415926，，（每两个3之间依次多1个0），0，，
有理数集合：{______________________________…}；
无理数集合：{______________________________…}；
正实数集合：{______________________________…}；
整数集合：{______________________________…}．
【变式6-5】（八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中．
(1)有理数集合：（ ……）
(2)无理数集合：（ ……）
(3)负实数集合：（ ……）
题型七：实数与数轴的关系
【例题7】（八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，数轴上表示0，1，的点分别为A，B，C，点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，则点D所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式7-2】（八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上表示，的对应点分别是A，B，若点A是线段的中点，则C点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（七年级下·安徽亳州·期中）如图，已知正方形的面积为，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点（点在点的左侧），则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】（七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和，点A是的中点，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
题型八：无理数的估算
【题型8】（2024年天津市南开区中考一模数学试题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【变式8-1】（八年级下·陕西延安·阶段练习）黄金分割数为，下列估算黄金分割正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（七年级下·河南信阳·阶段练习）大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：
(1)的整数部分为________，小数部分可以表示为________；
(2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值．
【变式8-3】（七年级下·山东济宁·阶段练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是______，的小数部分是______．
(2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中是整数，且，求的值．
【变式8-4】（七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，由于的整数部分是1，所以我们用来表示的小数部分．
请解答下列问题：
(1)求出的整数部分和小数部分；
(2)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
题型九：实数与程序框图
【例题9】（七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（ ）
A． B．6 C．0 D．
【变式9-1】（七年级下·重庆·阶段练习）有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的时，输出的值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【变式9-2】（七年级下·山西大同·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】．（七年级上·浙江金华·阶段练习）按如图所示的程序计算，输入是（ ）时，始终无法输出．
A．无理数 B．0 C．1 D．0或1
【变式9-4】（七年级上·浙江·期中）用表示不大于x的最大整数，如，，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【变式9-5】（八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ．
题型十：实数的综合运算
【例题10】（七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【变式10-1】（七年级下·河南漯河·阶段练习）计算
(1)
(2)
【变式10-2】（七年级下·山东日照·阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【变式10-3】（七年级下·云南·期中）计算
(1)
(2)
【变式10-4】（七年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【变式10-5】（七年级下·河南信阳·阶段练习）计算：．
题型十一：实数与定义新运算
【例题11】（七年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作．
(1)根据D数的定义，填空： ， ．
(2)D数有如下运算性质：；，其中．
计算：若已知，，试求，，，的值（用a、b、c表示）．
【变式11-1】（八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
(1)请求出的值；
(2)若，求的值．
【变式11-2】（七年级下·贵州遵义·阶段练习）阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位，虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部.
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.
例如：计算.
根据上述材料，解决下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算：；
(3)计算：.
【变式11-3】（七年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由；
(3)若，，且e与d是关于的好数，求x的值．
题型十二：实数与找规律
【题型12】（七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题
阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为________
(2)猜想：第n个等式为________（n为正整数）
(3)利用上面的解法，请化简：
【变式12-1】（七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据、、的规律，直接写出的值：______；
(2)猜想____________；
(3)计算的值．
【变式12-2】（八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
……
根据以上规律，完成下列问题：
(1)写出第四个等式： ．
(2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由．
(3)计算：
【变式12-3】（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________．
(2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立．
【变式12-4】（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
按照上述规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：__________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
题型梳理
知识点1
1.平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。的平方根记为，读作“正负二次根号”，叫做被开方数。求一个数的平方根的运算叫做开平方。
2.正数的平方根有两个他们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0
3.一个数的平方根中，正的那个平方根就是这个数的算数平方根
0的算数平方根是0
知识点2
算术平方根(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即。
知识点3
立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果,那么叫做的立方根。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
知识点4
开平方步骤： 开立方步骤：
知识点5
平方根和立方根的实际应用
本题型结合生活实际情况对平方根和立方根进行考察，熟练的运用平方根和立方根的性质以及开平方和开立方运算是解题的关键。
知识点6
实数是有理数和无理数的总称。
无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
实数分类
知识点7
实数与数轴上的点一一对应关系，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
知识点8
无理数的估算主要依赖于夹逼法和比较法，特别是通过与已知的有理数进行比较来逼近无理数的真实值。例如，估算的大小，首先对进行平方得到2，由此可以确定的个位数部分为1。如果想精确到十分位，则进行下一步缩放，取1和2的中间数1.5与进行比较，接着取1和1.5的中间数1.25与进行比较，然后取1.25和1.5的中间数1.375与√2进行比较。由此可以确定的十分位数为4。
知识点9
此题型考查了实数的运算，根据运算程序列式计算，熟练的掌握开平方、开立方以及实数的综合运算是解此类题型的关键
知识点10
本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则，正确的计算，是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算．
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第六章 实数章末总复习十大题型
【人教版】
题型一：求一个数的平方根或算数平方根
【例题1】（八年级下·山东聊城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、没有意义，不可以计算，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正数的平方根是与，则的值是 .
【答案】
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴，
解得：，
∴这个数为，
∴，
故答案为：．
【变式1-2】（七年级下·山东临沂·阶段练习）81的算数平方根是 ；的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：依题意，81的算数平方根是；
∵
则的平方根是
故答案为：，
【变式1-3】（七年级下·山东日照·阶段练习）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ．
【答案】
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得：，，
则，
故的平方根为：．
故答案为：．
【变式1-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1．
(1)求和的值．
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，(2)6
【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的算术平方根是1
∴
∴；
（2）由（1）得，，
∴，
∴的算术平方根为6．
【变式1-5】（七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【答案】(1)；(2)25
【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3，
∴，
即，
∴；
（2）根据题意得：，
即：，
∴，
∴，
∴这个正数为．
题型二：算术平方根的双重非负性
【例题2】（七年级下·湖南长沙·阶段练习）若x， y是实数，且
(1)求x， y的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)，(2)5
【详解】（1）解：∵
∴，，
∴，
∴，则
（2）∵，
∴
【变式2-1】（七年级下·山东德州·阶段练习）已知与互为相反数，求
【答案】
【详解】解：∵与互为相反数,
∴.
∴，,
∴，,
∴.
【变式2-2】（七年级下·湖北孝感·阶段练习）（1）已知的算术平方根是4，的立方根是3．求的平方根．
（2）设都是实数，且满足，求的算术平方根．
【答案】（1）；（2）2
【详解】（1）∵的算术平方根是4，的立方根是3，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根；
（2）∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴的算术平方根为2．
【变式2-3】（七年级下·重庆江北·阶段练习）已知实数a、b满足，c为最大的负整数．
(1)求a、b、c的值：
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）解：由题意得，，
又∵，
∴，
解得：，，
∵c为最大的负整数，
∴．
（2）将，，代入得，
，
所以的平方根为．
【变式2-4】（七年级下·江苏南通·阶段练习）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根．
【答案】2
【详解】解：∵正数a的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵与相等，
∴，
∴，
∴，
∵4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
题型三：求一个数的立方根
【例题3】（七年级下·山东日照·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．
【答案】
【详解】解：∵是的算术平方根，
∴
∵是的立方根，
∴
由①②得：
∴
∴的平方根为
【变式3-1】（七年级下·河南漯河·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的相反数是
C．平方根等于本身的数有和 D．的绝对值是
【答案】B
【详解】解：A．的立方根是，故此选项不符合题意；
B．的相反数是，故此选项符合题意；
C．平方根等于本身的数只有，故此选项不符合题意；
D．的绝对值是，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式3-2】（七年级下·山东德州·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ．的算术平方根是 ，的立方根的相反数是 ．
【答案】 / / 2
【详解】解：的相反数是，绝对值是．
，4的算术平方根是2，
，8的立方根是2 ，2的相反数是，
故答案为： ，，2，．
【变式3-3】（七年级下·河南漯河·阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知的算术平方根是，的立方根是3．求的平方根．
【答案】（1）4；（2）
【详解】（1）∵
∴，
∴，
∴
∴
∴；
（2）∵的算术平方根是的立方根是3
∴，
∴，
∴．
∴的平方根是．
【变式3-4】（七年级下·河南信阳·阶段练习）（1）已知的平方根是的立方根是2．求的值；
（2）若，且的平方根是它本身，求的立方根．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）根据题意，可得，
解得；
（2）根据题意，可得，
解得，，
所以，
所以的立方根．
题型四：开平方和开立方
【例题4】（七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】（七年级下·江苏南通·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）解：
所以或．
（2）解：
．
【变式4-2】（七年级下·河南漯河·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式4-3】（七年级下·山东日照·阶段练习）解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：
解得：，
（2）解：
【变式4-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）求下列各式中x的值：
(1)
(2)．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：
（2）解：
解得：，
【变式4-5】（七年级下·四川泸州·阶段练习）求下列各式中x的值
(1)
(2)
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）
（2）
或
题型五：平方根和立方根的实际应用
【例题5】（七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27．
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
【答案】(1)3．(2)正方形的面积是5，边长为．
【详解】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）∵魔方的棱长为3，
∴阴影面积为：，
设正方形的边长为y，则，
解得，（舍去），
故正方形的面积是5，边长为．
【变式5-1】（七年级下·安徽亳州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．
(1)求该正方体铁块的棱长及表面积；
(2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】(1)棱长为厘米，表面积为平方厘米(2)5厘米
【详解】（1）解：由题意可知，该正方体铁块的棱长为（厘米）；
该正方体铁块的表面积为（平方厘米）；
（2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为x厘米．
由题意，得，
解得（负值已舍去）．
答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米．
【变式5-2】（八年级上·河北石家庄·期末）请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1），
大正方体木块的棱长
（2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得：
解得：，
截得的每个小正方体木块的棱长．
【变式5-3】（八年级上·河南驻马店·阶段练习）球形容器又称球罐、壳体是球形，是贮存和运输各种气体、液体的一种有效、经济的压力容器．现某公司要生产一种容积为升的球形容器存放某种特殊气体，则这种球形的内半径是多少分米？（注：球的体积公式是，其中是球的半径）
【答案】3分米．
【详解】解：注：1升=1立方分米，
设这种球形的内半径是R分米，
则，由题意得：
，
，
；
答：这种球形的内半径是3分米．
【变式5-4】（七年级上·浙江温州·期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块．
(1)求出这个铁块的棱长．
(2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长．
【答案】(1)厘米；(2)厘米．
【详解】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米），
答：这个铁块的棱长为厘米；
（2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米，
∴，，
解得：，
答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米．
【变式5-5】（七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是 ．
【答案】2
【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
截去的每个小正方体的棱长是，
故答案为：．
题型六：实数的概念及分类
【例题6】（七年级上·江苏无锡·期中）下列各数0， ，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
，（相邻两个1之间的0的个数逐次增加）是无理数，
所以有理数有4个．
故选：B．
【变式6-1】（七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．实数包括正有理数、负有理数和无理数 B．无限小数是无理数，有限小数是有理数
C．有理数运算法则和运算律适合实数运算 D．有理数和无理数之间不可以大小比较
【答案】C
【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，故原说法错误，不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意；
C、有理数运算法则和运算律适合实数运算，故原说法正确，符合题意；
D、有理数和无理数之间可以大小比较，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式6-2】（2024九年级下·广东·专题练习）下列语句正确的是（ ）
A．是有理数
B．无理数分为正无理数、零、负无理数
C．无限小数不能化成分数
D．无限循环小数是无理数
【答案】A
【详解】解：A、是有理数，故A符合题意；
B、无理数分为正无理数和负无理数，故B不符合题意；
C、无限不循环小数不能化成分数，故C不符合题意；
D、无限循环小数是有理数，故D不符合题意；
故选：A．
【变式6-3】（八年级上·山东青岛·期中）把下列各数填入相应的集合内：
0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）．
(1)整数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}．
【答案】(1)0，，
(2)，，3.1011
(3)，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）
【详解】（1）解：是分数，是整数，是整数．
故整数集合{ 0，，,...}；
（2）解：分数集合{，，3.1011,...}；
（3）解：无理数集合{，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）,...}．
【变式6-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）将下列各数填在相应的集合里．
，3.1415926，，（每两个3之间依次多1个0），0，，
有理数集合：{______________________________…}；
无理数集合：{______________________________…}；
正实数集合：{______________________________…}；
整数集合：{______________________________…}．
【答案】见解析
【详解】
有理数集合：{，3.1415926，，0，，…}．
无理数集合：{π， ，（每两个3之间依次多1个0）…}．
正实数集合：{，π，3.1415926，（每两个3之间依次多1个0），，，…}．
整数集合：{，0，…}．
【变式6-5】（八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中．
(1)有理数集合：（ ……）
(2)无理数集合：（ ……）
(3)负实数集合：（ ……）
【答案】(1)①③④⑤⑥
(2)②⑦⑧⑨
(3)②⑤⑦⑧
【详解】（1）解：，，
有理数集合：①③④⑤⑥，
故答案为： ①③④⑤⑥；
（2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨，
故答案为：②⑦⑧⑨；
（3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧，
故答案为：②⑤⑦⑧．
题型七：实数与数轴的关系
【例题7】（八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，数轴上表示0，1，的点分别为A，B，C，点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，则点D所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，
∴
∴
∴点D所表示的数为．
故选：C．
【变式7-1】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴圆的周长，
∵该圆可向右滚动一周，也可向左滚动一周，
∴点表示的数是或
故选：D
【变式7-2】（八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在数轴上表示，的对应点分别是A，B，若点A是线段的中点，则C点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设表示的数是，
是中点，
，
．
故选：A．
【变式7-3】（七年级下·安徽亳州·期中）如图，已知正方形的面积为，顶点A在数轴上，且表示的数为．现以为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点（点在点的左侧），则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正方形的面积为，且，
∴，
∵点表示的数是，且点在点的左侧，
∴点表示的数为．
故选：B．
【变式7-4】（七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设点表示的数是，
在数轴上数表示2，的对应点分别是C、B，
、之间的距离是，
点C是的中点，
，
点表示的数是2，点表示的数是，
，
解得：．
故选：C．
【变式7-5】（七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和，点A是的中点，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为和，
∴
∵点A是的中点，
∴
∵点在的左边
∴
∴则点C所表示的数为
故选：A
题型八：无理数的估算
【题型8】（2024年天津市南开区中考一模数学试题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【详解】解：∵，则，
∴，
故选：B．
【变式8-1】（八年级下·陕西延安·阶段练习）黄金分割数为，下列估算黄金分割正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式8-2】（七年级下·河南信阳·阶段练习）大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：
(1)的整数部分为________，小数部分可以表示为________；
(2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解： ，即
的整数部分为2．小数部分为．
（2）解： ，即；
，；
的整数部分为8，小数部分；
的整数部分为1，小数部分；
．
【变式8-3】（七年级下·山东济宁·阶段练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是______，的小数部分是______．
(2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)11
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，
（2）∵，a是的整数部分，
∴，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴，，
∴．
【变式8-4】（七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，由于的整数部分是1，所以我们用来表示的小数部分．
请解答下列问题：
(1)求出的整数部分和小数部分；
(2)已知，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)整数部分是的小数部分是(2)
【详解】（1）解： ，
，
的整数部分是的小数部分是；
（2）解：，
，
的整数部分是12，
的小数部分是，
即，
，
则的相反数是．
题型九：实数与程序框图
【例题9】（七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（ ）
A． B．6 C．0 D．
【答案】B
【详解】解：∵
∴
∴
则不满足
∴把代入，得
故选：B
【变式9-1】（七年级下·重庆·阶段练习）有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的时，输出的值是（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：当输入的时，
第一次计算，，为有理数，
第二次计算，为有理数，
第三次计算，为无理数，
∴,
故选：B．
【变式9-2】（七年级下·山西大同·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵25的算术平方根为，5是有理数，
∴取5的平方根，是无理数．
∴输出y值是．
故选：A．
【变式9-3】．（七年级上·浙江金华·阶段练习）按如图所示的程序计算，输入是（ ）时，始终无法输出．
A．无理数 B．0 C．1 D．0或1
【答案】D
【详解】解：当时，因为0的算术平方根为0，0的立方根为0，所以输入是0时，始终无法输出；
当时，因为1的算术平方根为1，1的立方根为1，所以输入是1时，始终无法输出；
故选：D．
【变式9-4】（七年级上·浙江·期中）用表示不大于x的最大整数，如，，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：由题意可得，，
∴，
故选：B．
【变式9-5】（八年级下·山东潍坊·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是 ．
【答案】
【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数，
再取5的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是．
故答案为：．
题型十：实数的综合运算
【例题10】（七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【变式10-1】（七年级下·河南漯河·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式10-2】（七年级下·山东日照·阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式10-3】（七年级下·云南·期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式10-4】（七年级下·福建龙岩·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
【变式10-5】（七年级下·河南信阳·阶段练习）计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
题型十一：实数与定义新运算
【例题11】（七年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作．
(1)根据D数的定义，填空： ， ．
(2)D数有如下运算性质：；，其中．
计算：若已知，，试求，，，的值（用a、b、c表示）．
【答案】(1)1；4(2)；；；
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：1；4；
（2）解：∵，，
∴；
；
；
．
【变式11-1】（八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
(1)请求出的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
【变式11-2】（七年级下·贵州遵义·阶段练习）阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位，虚数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为（，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部.
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.
例如：计算.
根据上述材料，解决下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算：；
(3)计算：.
【答案】(1)；1(2)(3)
【详解】（1）解：原式，原式；
故答案为：；1；
（2）原式；
（3）原式．
【变式11-3】（七年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由；
(3)若，，且e与d是关于的好数，求x的值．
【答案】(1)；(2)与是关于的好数，理由见解析；(3)．
【详解】（1）解：∵5与a是关于2的好数，
．
（2）解：
，
∴与是关于的好数．
（3）解：∵，，且e与d是关于的好数，
整理得：，
解得：．
题型十二：实数与找规律
【题型12】（七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题
阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为________
(2)猜想：第n个等式为________（n为正整数）
(3)利用上面的解法，请化简：
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：第1个等式为：；
第2个等式为：；
第3个等式为：；
…
第4个等式为：．
故答案为：．
（2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）；
故答案为：．
（3）解：
．
【变式12-1】（七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据、、的规律，直接写出的值：______；
(2)猜想____________；
(3)计算的值．
【答案】(1)(2)，(3)
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：，；
（3）解：
．
【变式12-2】（八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
……
根据以上规律，完成下列问题：
(1)写出第四个等式： ．
(2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由．
(3)计算：
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
∴第4个等式为：，
故答案为：；
（2）解：∵第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
……
∴第n个等式为：，
故答案为：；
（3）解：
．
【变式12-3】（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________．
(2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立．
【答案】(1)(2)，证明见详解
【详解】（1）解：依题意，第4个等式；
（2）解：由第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：
第4个等式：
……
第个等式：
证明如下：
等式左边为
等式右边为
左边等于右边，即
【变式12-4】（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
按照上述规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：__________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2)，见解析
【详解】（1）解：；
（2）第个等式是．
左边右边，
猜想成立．
题型梳理
知识点1
1.平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。的平方根记为，读作“正负二次根号”，叫做被开方数。求一个数的平方根的运算叫做开平方。
2.正数的平方根有两个他们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0
3.一个数的平方根中，正的那个平方根就是这个数的算数平方根
0的算数平方根是0
知识点2
算术平方根(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即。
知识点3
立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果,那么叫做的立方根。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
知识点4
开平方步骤： 开立方步骤：
知识点5
平方根和立方根的实际应用
本题型结合生活实际情况对平方根和立方根进行考察，熟练的运用平方根和立方根的性质以及开平方和开立方运算是解题的关键。
知识点6
实数是有理数和无理数的总称。
无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
实数分类
知识点7
实数与数轴上的点一一对应关系，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
知识点8
无理数的估算主要依赖于夹逼法和比较法，特别是通过与已知的有理数进行比较来逼近无理数的真实值。例如，估算的大小，首先对进行平方得到2，由此可以确定的个位数部分为1。如果想精确到十分位，则进行下一步缩放，取1和2的中间数1.5与进行比较，接着取1和1.5的中间数1.25与进行比较，然后取1.25和1.5的中间数1.375与√2进行比较。由此可以确定的十分位数为4。
知识点9
此题型考查了实数的运算，根据运算程序列式计算，熟练的掌握开平方、开立方以及实数的综合运算是解此类题型的关键
知识点10
本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的运算法则，正确的计算，是解题的关键．先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算．
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