初中数学苏科版九年级下册7.1 正切 教案

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 春季
课题 7.1 正切
教学目标
1．借助中华优秀传统文化中的“土圭之法”情境，引导学生探索并理解正切概念，体会蕴含其中的函数思想，发展学生抽象能力、几何直观、推理能力、数据观念等核心素养； 2．通过例习题教学让学生能够运用正切的定义并结合勾股定理等知识计算某些锐角的正切值，体会转化思想，发展学生运算能力、推理能力； 3．引导学生经历观察、思考、证明等探究过程，积累研究数学概念的经验，并能够正向迁移到正弦和余弦概念的学习中，能够理解“土圭之法”中蕴含的数学原理，感悟古人智慧，激发学生的数学学习兴趣、提升学生的人文素养、增强学生的文化自信，帮助学生形成正确的价值观念.
教学重点、难点
教学重点： 1.探索并理解正切的相关概念，会计算某个锐角的正切值； 2.会推算30°，45°，60°角的正切函数值.
教学难点： 1.探索并理解直角三角形中一个锐角与其对边和邻边的比值之间存在函数关系； 2.正切函数的表示方法.
教学过程
1 情境引入 1．1 情境1：同地同表不同时问题（用“土圭之法”测定回归年）. 问题1：同学们，你知道今天的日期吗？你是怎么知道的？你知道我们的祖先是如何确定年、月、日的吗？ 师（结合学生的回答，拿出一根杆子，介绍古人的方法）：据记载，我国西周时期的先民是用一根杆子来测定一年及四季的.在阳光明媚的时候，将杆子垂直于地面放置，会看到影子.同一根杆子在一天中的阳光照射下，影子从长变短再变长.一天中正午时分的影子最短. 追问：在同一个地方，同一根杆子不同季节正午时分的影长是否变化？如果变化，是如何变化的？
师（拿出教具“圭表”）：夏季正午时分影子短、冬季正午时分影子长.从夏季到冬季，正午时分的影子由短变长.古人根据上述规律，发明这个仪器用来测定一个回归年并划分四季.这个仪器叫“圭表”，其中垂直于地平线的杆子称作“表”，与表垂直的水平板面称作“圭”.你知道古人的测量方法吗？ 师（先后出示图1和图2，结合学生回答进行适当补充完善）：在北半球，将“圭”（CM）南北方向放置，正午时分，表AC的影会落在“圭”上.观察并记录下正午时分表影最长的位置（点B），从这一天开始表影逐渐变短，再记录下正午时分表影最短的位置（点D），随后正午时分表影又逐渐变长，当正午时分表影回到最长位置（点B）时，即为一个回归年，据此便可以划分四季.这种方法被称作“土圭之法”，据史书记载，我国早在西周时期，就有数学家使用“土圭之法”测定一年四季. 师：在了解土圭之法的原理后，小明同学在苏州某地用一根200cm的杆子，测出以下3个日期正午时分的影长，如表1： 表1 日 期12月22日3月20日6月22日太阳高度角（光线与水平线的夹角）杆高（单位：cm）200200200正午影长（单位：cm）28212228
问题2：观察表1，你有哪些发现？ 追问：表中哪些量不变？哪些量变化？这些变量之间有何关系？ （用几何画板动画演示这种变化关系，加深学生直观感受.） 设计意图 借助“土圭之法”测定一年及四季，引导学生探究“同地同圭不同时”问题，初步发现直角三角形中锐角和边长之间存在变化依赖关系.此情境使用控制变量法分散难点，引导学生通过观察与数据分析发现直角三角形的一个锐角与其邻边之间存在变化依赖关系.让学生初步体会函数思想.从图1抽象得到图2，通过观察图形与表格发现规律，发展学生的抽象能力、几何直观、空间观念、数据观念等核心素养. 1．2 情境2：“同地同时不同表”问题 师：小明、小丽和小红三位同学分别使用200cm、100cm和50cm的杆子，于12月22日这天正午时分在苏州某地测得一组数据，如表2： 表2 小明小丽小红太阳高度角杆高（单位：cm）20010050正午影长（单位：cm）28214170.5
问题3：观察表2，你有哪些发现？ 追问：哪些量不变？哪些量变化？这些变量之间有何关系？ （用几何画板动画演示这种变化关系，加深学生直观感受.） 设计意图 本情境中角不变，角的对边和邻边的长度变化，引导学生通过表格发现当两个锐角不变时，其对边和邻边的比值也不变，进而得出当直角三角形的一个锐角确定时，其对边和邻边的比值也随之唯一确定.让学生进一步体会函数思想.发展学生的运算能力和数据观念. 问题4：你能证明自己的发现吗？ 如图3，锐角A的大小确定，BC⊥AC，B1C1⊥AC1，B2C2⊥AC2，垂足分别为C、C1、C2.请证明上述发现. 设计意图 观察-思考-发现-证明是研究数学问题的基本流程.让学生用相似三角形的相关知识证明“角定比定”的结论，在加深理解函数关系的同时，也为归纳概括正切的概念奠定理论基础.发展学生的推理能力. 1．3 情境3：“同地不同时不同表”问题 师：小明、小丽和小红三位同学分别使用200cm、100cm和50cm的杆子，在苏州某地测出以下3个日期正午时分的影长，如表3： 表3 日 期12月22日3月20日6月22日太阳高度角杆高（单位：cm）20010050正午影长（单位：cm）282617
问题5：观察表3，你有哪些发现？ 追问：表中哪些量不变？哪些量变化？这些变量之间有何关系？ 小结：综上可知，当直角三角形中一个锐角确定时，它的对边和邻边的比值随之唯一确定；当直角三角形中一个锐角变化时，它的对边和邻边的比值随之变化. 设计意图：让学生在发现当直角三角形的一个锐角变化时，其对边和邻边的比值也随之变化让学生经历观察、思考、猜想、证明的过程，发现直角三角形一个锐角与其对边和邻边的比值之间存在函数关系.发展运算能力和数据观念. 2 归纳、理解概念 2．1 总结概念 如图4，在Rt△ABC中，若∠C=90°.我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即. 设计意图 本环节属于正切概念的归纳、概括以及符号化.在充分探索的基础上，引导学生发现一种新的数学概念并引入新的符号加以表示，发展学生符号意识和模型观念. 2．2 理解概念 练习1：下列说法正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则BC＝3，AC＝4 B．在△ABC中，若BC＝3，AC＝4，则tanA＝ C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC和AC都扩大10倍，则tanA也扩大10倍 D．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA tanB＝1 设计意图 本题用于帮助学生理解概念，其中A选项和C选项帮助学生理解正切值是一个比值；B选项旨在提醒学生计算一般锐角的正切值，需要在直角三角形中. 2．3 史海拾贝 播放正切历史微视频，学生观看视频了解正切的发展历史.视频中介绍正切起源于阿拉伯人的纵影，后来发展到单位圆中圆心角上的切线段，再到直角三角中直角边之比的定义，同时介绍我国唐朝天文学家一行制作的世界上第一个正切函数表. 设计意图 让学生了解正切概念的发展历史，加深对正切的理解，了解我国古人对正切函数的研究成果，增强文化自信，发展应用意识. 2．4 典例精析 例1 图5是我国唐代天文学家一行制作的正切表（部分），你能根据正切的定义制作自己的正切表吗？请你尝试计算45度角的正切值. 解：画Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝45°，如图6所示， 所以∠B＝∠A＝45°，所以AC＝BC，所以tan45°＝. 追问：将你的结果与一行正切表中45度角的正切值对照，你有何发现？ 预设：（生：一行表中45度正切值不是1.师：一行表中的角度是古度，1古度约为0.9856度.） 设计意图 借助一行的正切表重构特殊角的正切值的计算过程，加深对正切概念理解，同时让学生将自己计算的45度角的正切值与一行的值相对照，发现一行的“错误”，制造认知冲突，活跃课堂气氛，然后教师再解释其中的原由，打消学生心中的疑虑，提升学生的文化素养. 例2 计算30°，60°角的正切值. 解：画Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，如图7所示， 设BC＝k，则AB＝2 k，在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得 ， 所以. 同理可求. （2）填表： α30°45°60°tanα
设计意图 第（1）问与教材中的例1类似，需要先使用勾股定理计算出一条直角边后再求解，发展学生综合运用知识的能力；第（2）问是在第（1）问的基础上，将3个特殊角的正切值制成表格，让学生经历造表的过程，体会古人的艰辛与智慧. 2．5 课堂练习 1）求图中各直角三角形锐角的正切值. 2）观察每个直角三角形两个锐角的正切值，它们之间有何数量关系？并说明理由. 设计意图 帮助学生巩固理解正切的概念，培养综合能力. 2．6 小结与思考 在引导学生回顾本课所学知识、技能、方法的同时，要引导学生体会“土圭之法”中蕴含的古人智慧以及数学的应用性、简洁性、工具性等. 设计意图 帮助学生回顾与梳理本课所学知识的同时体会古人的智慧以及数学的应用价值. 3 布置作业 3.1 习题7.1第1，2两题. 3.2 尝试运用本课学习思路和方法自学正弦、余弦. 3.3 以小组为单位制作圭表，测量并记录一段时间内的表影，对收集到的数据加以研究分析，撰写一份研究报告. 设计意图 第1题巩固所学知识与技能，第2题培养学生迁移能力，第3题培养学生综合实践能力，理解“土圭之法”的数学原理，提升学生的数学应用意识与创新意识，培养探究精神与合作意识.
总体设计理念
1 将中华优秀传统文化有效融入教学活动 《标准》要求我们关注数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化.如何将这一要求落到实处？这是摆在每一位数学教师面前的一个大问题.想要有效地解决这一问题，就需要我们对此进行深入思考与不断实践.本课挖掘出“土圭之法”和一行正切表这两个中华优秀传统文化素材，对其进行深入而又精细地加工与设计后融入到正切概念的教学过程之中.我们借助“土圭之法”设计3个递进式的真实情境，促进学生通过观察、猜测、直观想象等方式发现并提出问题，进而通过计算、推理、数据分析等方式分析并解决问题.结合一行的正切表引导学生求30°，45°，60°角的正切函数值.整个设计自然流畅，充分激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，促使学习在理解和掌握“双基”的同时体会数学思想方法，获得数学基本活动经验，培养学生良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观念，增强学生文化自信和爱国情怀. 2 让发展学生数学核心素养真正落地生根 《标准》指出应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养.真正落实好这一要求，不能仅仅停留在宏观口号层面.学生的数学学习主阵地是课堂.这就需要我们认真分析并研究每一节课，寻找出这节课的教学内容中所蕴含的可以帮助学生形成和发展核心素养的载体，对这些载体进行有效开发与利用，设计相应的情境，让学生通过主动探索、合作交流解决情境中的问题，在此过程中不断形成和发展核心素养.首先，我们需要找到本节课中蕴含的可以帮助学生形成和发展核心素养的载体，主要有某个生活情境蕴含直角三角形这一数学模型以及这一模型中所蕴含的边角关系.然后，我们需要对上述载体进行有效开发.首先，提出古人如何划定一年四季，确定日期的问题，然后介绍 “土圭之法”，让学生观察这一真实情境，在此基础上让学生从中抽象出直角三角形这一数学模型，进而分析和研究这一模型，探索并证明直角三角形的边角关系，获取正切概念，运用正切概念解决一些求值问题.这样的活动过程促使学生的抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、数据观念、模型观念等核心素养得到真正落地生根、不断生长与发展.