苏科版数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 课件（共19张PPT）

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9.4矩形、菱形、正方形
温故知新
你还记得菱形的定义与其性质吗？
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（定义）
菱形的四条边相等，对角线互相垂直．（性质定理）
类比探究
四边形
平行四边形
一组对边平行且相等　
两组对边分别平行　
两组对边分别相等　
对角线互相平分　　
矩形
对角线相等
一个角是直角
菱形
（定义）
有三个角是直角
类比矩形的判定方法，菱形可能有哪些判定方法呢？
猜想1：
四边相等的四边形是菱形.
猜想2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（定义）
猜想
如图，已知在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
四边形ABCD是菱形吗？并说明理由.
证明：∵AB=CD，BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
四边形ABCD是菱形.
猜想1论证
几何语言：
∵在四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定方法2 四边相等的四边形是菱形.
猜想2论证
如图，已知在 ABCD中，若AC⊥BD于点O， ABCD是菱形
吗？并说明理由.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
又∵AC⊥BD，
∴AD=CD，
ABCD是菱形.
∴ ABCD是菱形.
几何语言：
∵在 ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
菱形的判定方法3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边形
平行四边形
一组对边平行且相等　
两组对边分别平行　
两组对边分别相等　
对角线互相平分　　
菱形
对角线垂直
一组邻边相等
（定义）
四边相等　　
现在你能对刚才视频的猜想进行证明了吗 你有哪些不同的证法？
∵在四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
证明方法一：
∴平行四边形ABCD是菱形.
证明方法二：
∵AB=CD，BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
∴∠1=90°，即AC⊥BD.
你还有其它不同的证法吗？
证明： 如图1，由折叠可知：
∠1=∠2，∠3=∠4，AD=CD，
∵矩形纸片，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠4，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
∴AD=BC，
证明：如图2，由折叠可知：
AO=CO, BO=DO，∠1=∠2，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
图1
图2
（视频暂停3 min）
若将视频中“矩形纸片”换成“平行四边形纸片”，结论还成立吗？
将平行四边形纸片ABCD按照如图方式进行折叠，使得点A与点C重合后再展开，折痕与AD、AC、BC分别相交于点E、点O、点F，连接AF和EC．
求证：四边形AFCE是菱形．
1
2
3
想一想
证一证
（视频暂停2 min）
证明：如图，由折叠可知：
AE=EC，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EC=FC，
1
2
3
∴AE=FC，
又∵AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形.
若将“证一证”中“平行四边形纸片”换成 “梯形纸片”，结论还成立吗？
由前面的证明可知，结论仍然成立.
想一想
挑战自我
（1）如图1，将一张矩形纸片对折剪开，得到两张长、宽一样大小的矩形纸条，你能利用它们拼出一个菱形吗？
（2）如图2，如果两张矩形的纸片长都是8，宽都是2.那么菱形ABCD的周长、面积是否存在最大值或者最小值？若存在该如何叠放，并分别求出最大值或最小值.
图1
图2
（视频暂停5min）
解：（1）能拼出菱形.
如图3所示：分别过点A、点D作
AE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵两张矩形纸片的宽度相等，
∴AE=BF，
又∵AE BC=BF CD=
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形.
图3
（2）存在菱形ABCD的周长、面积最大值与最小值.
①如图4，当∠ABC=90°时，
菱形ABCD的周长与面积同时存在最小值.
周长最小值为8，面积最小值为4.
②如图5，当BD为矩形对角线时，
菱形ABCD的周长与面积同时存在最大值.
设BC=x，在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2，
即 ，
解得 ，
∴菱形ABCD的周长最大值为17，面积最大值为 .
图4
图5
课堂小结
四边形
平行四边形
一组对边平行且相等　
两组对边分别平行　
两组对边分别相等　
对角线互相平分　　
矩形
对角线相等
一个角是直角
菱形
（定义）
有三个角是直角
一组邻边相等
（定义）
四边相等　　
对角线垂直
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