3.1.2 函数的单调性 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 函数的单调性 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 07:29:25 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
课题 3.1.2 函数的单调性
教学目标
1.理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性； 2.让学生体验数学知识的发生发展过程，在体验函数单调性概念符号化的建构过程中掌握数学的认知策略； 3.培养学生分析、综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象，提升核心素养.
教学内容
教学重点： 掌握函数单调性的概念
教学难点： 利用函数单调的定义证明具体函数的单调性．
教学过程
1.情境引入: 见到大家我很高兴,先和同学们分享三段“小曲儿”： 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 1 5 3 5 1 5 3 5 来到这里我很高兴 天气变的越来越冷 添加衣服添加衣服 问题1：你能描述上述三段小曲音调的变化规律吗？ 答：分别为上升、下降、有升有降。 问题2：你能根据上述的变化规律分别给出一个函数吗？并在直角坐标系中绘制相应的函数图象． 【设计意图】：创设“音调→图象”的问题情境，让学生用简单的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做使教学过程富有情趣，激发学生的学习热情。函数图象的变化趋势有三种情况：①在整个定义域上呈上升趋势；② 在整个定义域上呈下降趋势；③定义域被划分成若干区间，在每个区间的上升（或下降）趋势是确定的，这三种情况和三段小曲相对应. 2.温故知新: 问题3：观察绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生绘制的图象定），你能指出图象变化的趋势吗 观察得到：随着 x 值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势． 问题 4：“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是如何描述的？ 例如，初中研究 时，我们知道，当 x<0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x>0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大． 回忆初中对函数单调性的描述性定义： 图象呈逐渐上升趋势 函数值 y 随 x 的增大而增大 图象呈逐渐下降趋势 函数值 y 随 x 的增大而减小 函数的这种性质称为函数的单调性． 有的同学认为图像的上升或者下降趋势通过观察即可得出，又何必用函数值y 随 x 的变化而变化呢？下面我们看这样一个函数图像 这条直线，看起来是和x轴平行的，但通过取点发现，是呈上升趋势的。显然，仅靠观察图像得出函数的单调性是不行，还需要用代数的方法加以验证。 【设计意图】：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的学习．对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点紧密衔接，符合学生的认知规律． 3.建构概念 问题 5：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 第 1 步：将两个“增大”符号化．当时, 第 2 步：再将“随”符号化． 当时, 第 3 步：再将隐含语言“任意”符号化．能否通过个别数值来说明单调性？例如，函数（x∈R），取 x＝ 1，2，3，4，…，相应地 y＝1，4，9，16，…， 能不能说函数值 y 随 x 的增大而增大？ 对区间 I 上有限个或无限个自变量满足 且 ，都不能反映“函数值 y 随 x 的增大而增大”的本质．必须强调的任意性，才能准确表述单调递增的特征． 对任意，都有 第 4 步：再将隐含语言“区间”符号化．在“任意”的同时，还有“不任意”，因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中 ∈I ． 对于区间I内的任意两个值 ，当 时，都有 定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间 IA．如果对于区间 I 内的任意两个值，当 时，都有，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间． 问题6：如何定义单调减函数呢？ 定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间 IA．如果对于区间 I 内的任意两个值，当 时，都有，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间． 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数 y=f(x)的单调区间． 【设计意图】：问题5的解决被设计成逐层递进的4步，让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密的，让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则． 问题6则要求学生结合图象和单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的． 4.呼应引入：说出学生绘制的函数的单调区间。 5.例题巩固： 例1.作函数的图象，并写出它的单调区间. 解:函数的图象如图所示,和是两个减区间 问:能否说函数在定义域上是单调减函数 为什么 引导讨论,带入特殊值举反例否定结论(如,) 【设计意图】：学生对一个概念的认识不可能一次完成，要从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延．在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样否定一个函数的单调性,帮助学生理解函数单调性的概念，加深学生对“任意”两字的理解． 例2 判断函数的单调性，并求这个函数的最值． 通过本例，学生主要学会： （1）判断函数单调性的主要方法：观察法：画出函数图象来观察；定义法：严格按照定义进行验证；分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合． （2）概括出定义证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号→结论． 练习：作函数 、的图象，写出单调区间． (如有时间可证明) 【设计意图】：单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序， 并深入理解什么是代数证明. 6.板书：
课程基本信息
课题 3.1.2 函数的单调性
教学目标
1.理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性； 2.让学生体验数学知识的发生发展过程，在体验函数单调性概念符号化的建构过程中掌握数学的认知策略； 3.培养学生分析、综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象，提升核心素养.
教学内容
教学重点： 掌握函数单调性的概念
教学难点： 利用函数单调的定义证明具体函数的单调性．
教学过程
1.情境引入: 见到大家我很高兴,先和同学们分享三段“小曲儿”： 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 1 5 3 5 1 5 3 5 来到这里我很高兴 天气变的越来越冷 添加衣服添加衣服 问题1：你能描述上述三段小曲音调的变化规律吗？ 答：分别为上升、下降、有升有降。 问题2：你能根据上述的变化规律分别给出一个函数吗？并在直角坐标系中绘制相应的函数图象． 【设计意图】：创设“音调→图象”的问题情境，让学生用简单的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做使教学过程富有情趣，激发学生的学习热情。函数图象的变化趋势有三种情况：①在整个定义域上呈上升趋势；② 在整个定义域上呈下降趋势；③定义域被划分成若干区间，在每个区间的上升（或下降）趋势是确定的，这三种情况和三段小曲相对应. 2.温故知新: 问题3：观察绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生绘制的图象定），你能指出图象变化的趋势吗 观察得到：随着 x 值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势． 问题 4：“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是如何描述的？ 例如，初中研究 时，我们知道，当 x<0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x>0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大． 回忆初中对函数单调性的描述性定义： 图象呈逐渐上升趋势 函数值 y 随 x 的增大而增大 图象呈逐渐下降趋势 函数值 y 随 x 的增大而减小 函数的这种性质称为函数的单调性． 有的同学认为图像的上升或者下降趋势通过观察即可得出，又何必用函数值y 随 x 的变化而变化呢？下面我们看这样一个函数图像 这条直线，看起来是和x轴平行的，但通过取点发现，是呈上升趋势的。显然，仅靠观察图像得出函数的单调性是不行，还需要用代数的方法加以验证。 【设计意图】：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的学习．对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点紧密衔接，符合学生的认知规律． 3.建构概念 问题 5：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？ 第 1 步：将两个“增大”符号化．当时, 第 2 步：再将“随”符号化． 当时, 第 3 步：再将隐含语言“任意”符号化．能否通过个别数值来说明单调性？例如，函数（x∈R），取 x＝ 1，2，3，4，…，相应地 y＝1，4，9，16，…， 能不能说函数值 y 随 x 的增大而增大？ 对区间 I 上有限个或无限个自变量满足 且 ，都不能反映“函数值 y 随 x 的增大而增大”的本质．必须强调的任意性，才能准确表述单调递增的特征． 对任意，都有 第 4 步：再将隐含语言“区间”符号化．在“任意”的同时，还有“不任意”，因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中 ∈I ． 对于区间I内的任意两个值 ，当 时，都有 定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间 IA．如果对于区间 I 内的任意两个值，当 时，都有，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间． 问题6：如何定义单调减函数呢？ 定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间 IA．如果对于区间 I 内的任意两个值，当 时，都有，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间． 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数 y=f(x)的单调区间． 【设计意图】：问题5的解决被设计成逐层递进的4步，让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密的，让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则． 问题6则要求学生结合图象和单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的． 4.呼应引入：说出学生绘制的函数的单调区间。 5.例题巩固： 例1.作函数的图象，并写出它的单调区间. 解:函数的图象如图所示,和是两个减区间 问:能否说函数在定义域上是单调减函数 为什么 引导讨论,带入特殊值举反例否定结论(如,) 【设计意图】：学生对一个概念的认识不可能一次完成，要从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延．在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样否定一个函数的单调性,帮助学生理解函数单调性的概念，加深学生对“任意”两字的理解． 例2 判断函数的单调性，并求这个函数的最值． 通过本例，学生主要学会： （1）判断函数单调性的主要方法：观察法：画出函数图象来观察；定义法：严格按照定义进行验证；分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合． （2）概括出定义证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号→结论． 练习：作函数 、的图象，写出单调区间． (如有时间可证明) 【设计意图】：单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序， 并深入理解什么是代数证明. 6.板书：