2.3.1 圆的标准方程 教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
课题 圆的标准方程
教学目标
1．掌握圆的标准方程的结构形式，能根据圆的标准方程得出圆心坐标、圆的半径； 2．能根据条件求出圆的标准方程； 3.感受“数”与“形”的对立和统一，渗透运动变化、相互联系和相互转化等辩证观点．
教学内容
教学重点： 1.掌握圆的标准方程，会根据条件求圆的标准方程； 2.能根据圆的标准方程得出圆心的坐标和圆的半径． 教学难点： 1. 理解点在圆上的充要条件； 2.运用解析法求解与圆有关的实际问题．
教学过程
一、创设情境，导入新课 （一）图片观察，问题思考 1． 图片观察：生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们一起来认识一下（图片赏析） 课件展示：同一硬币的正反面、摩天轮、汽车轮胎等。 2．思考：古希腊毕达哥拉斯学派认为圆是平面内最完美的曲线，通过观察这几幅图片，大家能从数学的角度说说为什么吗？ 【设计意图】同一硬币的正反面，它们的轮廓是两个圆心位置不同、半径相等的圆；摩天轮快速旋转后里面是一个个圆心相同半径不等的同心圆轮廓．暗示了确定一个圆需要两个条件：圆心的位置和半径的大小．生活中圆的图形无处不在，圆具有对称美，以图片吸引学生，把学生的目光吸引到研究圆的问题． （二）问题导入，启发探究 问题1：在平面几何中，圆是怎样定义的？ 如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？ 问题2：在平面几何中，我们学习了圆的哪些主要性质？ 追问：确定一个圆需要哪些条件？ 【设计意图】三个问题逐个呈现．圆的定义是列式推导圆方程的关键；回顾圆的几何性质为使用几何法求圆的方程作准备；确定一个圆需要明确圆心和半径，为后面推导圆的标准方程打下基础． 启发与引入：代数方法研究几何图形的性质是解析几何的核心思想．前面我们刚学习了直线方程，在平面直角坐标系中，将点与坐标一一对应，每一条直线都可以用二元一次方程表示。那么，平面直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程来表示呢？这就是本节课我们要探讨的问题．（出示学习目标） 二、尝试发现，螺旋建构 问题3：如图，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2． (1)判断点A(3，2)是否在⊙C上； (2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么 此时x，y要满足什么关系式 师生活动 根据圆的定义可知，一个点在⊙C上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径，因为|CA|＝＝2，所以点A在⊙C上． 同样，M(x，y) 在⊙C上的充要条件是|CM|＝2，由两点间距离公式 有＝2，因此x，y要满足(x－1)2＋(y－2)2＝4． 【设计意图】⊙C的圆心位置、半径大小确定了以后，探究点在⊙C上的充要条件； 从具体的点A到一般的点M，问题表现为从特殊到一般、具体到抽象，层次递进，易于学生理解． 追问：一般地，如果⊙C的圆心坐标为C(a，b)，而且半径为r(r＞0)， M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么 此时x，y要满足什么关系式 学生活动 M(x，y) 在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，由两点间距离公式有＝r，因此x，y要满足(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ① 师生提炼 上述充要条件表明，⊙C上任意一点M(x，y)满足方程①；如果平面上一点 M(x，y)满足方程①，可得|CM|＝r，则点M也在⊙C上． 因此方程①表示以C(a，b)为圆心，r为半径的圆，①式称为圆的标准方程． 为了方便起见，同直线中的情形一样，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆． 问题4：点M1(x1，y1)在⊙C(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的充要条件是什么 点M2(x2，y2)在⊙C(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的充要条件是什么 学生活动：(x1－a)2＋(y1－b)2＞r2 ；(x2－a)2＋(y2－b)2＜r2 【设计意图】数学知识的建构应是教师通过问题(问题链)组织学生进行认知的过程，应遵循在学生“最近发展区”中进行螺旋建构的原则．“圆的标准方程”初步认知过程经历了类比、抽象等思维活动，在此过程中教师“提问”、“示范”、“小结”等活动是暴露教师思维的体现，也是引导学生进行思维的“节点”． 通过系列活动，层次铺垫，探究点在圆上、点在圆外、点在圆内的充要条件，这也便于学生的理解和接受． 问题5：圆的标准方程形式上有什么特点 (学生讨论交流，教师适时点拨) 是二元二次方程，无xy项；左边是x，y与实数差的平方和；方程的右边是某个非零实数的平方，也就是一定为正数； 含a，b，r三个参数，必须有三个独立的条件才可以确定一个圆． 若圆心在原点，半径为1，即x2＋y2＝1称为单位圆． 【设计意图】适宜地对已有知识进行阶段性小结，不仅让学生加深对圆的标准方程的理解，促进学生反思意识的形成，而且一定程度上促进学生的审美情趣． 三、数学运用，夯实理解 例1 说出下列方程所表示的图形的特征： (1)(x－a)2＋y2＝4； (2)x2＋y2＝16(y≥0)； (3)(x－2)2＋(y－1)2＝1(x≥2)； (4)y＝． 【设计意图】在数学应用的环节，教师应充分发挥“引导者”、“组织者”的角色，为了将学生学习“圆的标准方程”认知过程中的难点和细节点拨到位，设置了这一题组，将学生运用知识时可能会产生的错误暴露出来并及时纠正到位，让学生在例题应用过程中加深知识的理性认知，最终达到对知识的透彻理解，而诸如数形结合、运动变化等思想也能渐渗渐透． 例2 根据下列条件，求圆的标准方程； (1)圆心在点C(－2，1)，且过点A(2，－2)； (2)过点A(0，1)和点B(2，1)，半径为； (3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)． 分析：分别从代数角度、几何角度． (3)①代数角度： 设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得， 解得 ， ②几何角度：如图 线段AB的垂直平分线m经过圆心，圆心又在直线l：2x－7y＋8＝0上， 所以圆心是直线m和直线l的交点． 【设计意图】三个问题从易到难，具有层次性．都可以从代数角度、几何角度分析解决，体现了数形结合思想．可让学生总结出圆的标准方程的两种求法——待定系数法和几何法．要求学生在解题过程中能择优应用，进一步培养学生一题多解的发散思维能力和数形结合的思想． 例3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径． 分析：运用解析法，首先考虑如何建立平面直角坐标系．(以方程简单为准) 解：如图，其中AB表示跨度，O为AB重点，OC为拱高，以O为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有B(，0)，C(0，b)．设圆心坐标为(0，t)，半径为为r，因为B，C都在圆上， 所以由此可得r＝． 思考：本题不用解析法怎么解决 【设计意图】将实际问题进行数学抽象，培养学生的数学建模能力和运用知识解决实际问题的能力；运用代数和几何两种方法解决问题，进一步体会代数形式和几何性质的相互转化． 四、反馈训练，形成方法 问题6：求满足下列条件的圆的方程： 1．已知A(0，－5)，B(0，－1)，以线段AB为直径的圆； 2．圆过点(0，1)和(0，3)，半径等于1． (学生独立完成，暴露出问题，教师及时纠正) 【设计意图】设计两个小题作为巩固性训练，使学生掌握求不同条件下的圆的方程的求法，要求学生限时、独立完成，让学生体验解决数学问题的乐趣、成功的喜悦，从而增强学好数学的信心． 五、课堂小结 问题7：这节课我们学习了什么 请大家总结一下： 学生：思考交流，小组展示． 教师：及时补充．体现三个方面： (1)知识：①理解圆的标准方程的推导过程；②会求圆的标准方程． (2)方法：求圆的方程的两种方法：①待定系数法；②几何法． (3)思想： 数形结合思想． 【设计意图】在这个环节里，先由同学们组内交流、小组展示，使学生在互相交流中获得更多的学习经验，同时培养学生的团队合作精神、口头表达能力、归纳概括能力．最后由老师作全面总结，这样，学生对本节课的知识掌握的才更加系统牢固． 六、布置作业 作业1、课本第101页练习A第3，5、练习B第2，3； 作业2、思考题：将圆的标准方程展开，我们将会得到什么样的方程 是否所有的这种形式的方程都可以表示圆的方程 【设计意图】设计两个作业作为本节课的巩固和延伸，完成作业一 ，达到巩固本节知识的效果；完成作业二，为下节课学习圆的一般方程做好预习工作，从而起到温故知新的作用．