2.3.1 圆的标准方程 课件（共31张PPT）2023-2024学年人教A版（2019）选择性必修第一册

(共31张PPT)
圆的标准方程
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就一起来认识一下！
新课引入
完美曲线
01
02
古希腊毕达哥拉斯学派认为圆是平面图形中最美的图形，通过观察这几幅图片，大家能从数学的角度说说为什么吗？
圆 满
问题1 在平面几何中，圆是怎样定义的？
如何用集合语言描述以点C为圆心，r为半径的圆？
M＝{P｜PC＝ r}
P
C
r
平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
课堂探究
问题2 在平面几何中，我们学习了圆的哪些主要性质？
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线．
　 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心．
……
(2) 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3) 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
(4) 从圆外一点作圆的两条切线，切线的长相等.
课堂探究
追问：确定一个圆需要哪些条件？
一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了．
课堂探究
用代数的方法研究几何图形的性质
在平面内 在平面直角坐标系中
点 (x，y)
几何 代数
直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
圆
课堂探究
学习目标：
理解点在圆上的充要条件；
(2) 根据圆的标准方程，写出圆心，半径；
(3) 会利用条件求圆的标准方程．
圆的标准方程
问题3 如图，设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1，2)，半径为2．
(1) 判断点A(3，2)是否在⊙C上；
(2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么 此时x，y要满足什么关系式
尝试发现
尝试发现
追问：一般地，如果⊙C的圆心坐标为C(a，b)，而且半径为r(r＞0)，M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？
M(x，y) 在⊙C上的充要条件是|CM|＝r，
因此x，y要满足(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ①
尝试发现
(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ①
上述充要条件表明，⊙C上任意一点M(x，y)满足方程①；
如果平面上一点M(x，y)满足方程①，可得|CM|＝r，
则点M也在⊙C上．
因此方程①表示以C(a，b)为圆心，r为半径的圆，
①式称为圆的标准方程．
为了方便，我们称圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2时，
指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆．
尝试发现
问题4 点M1(x1，y1)在⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的充要条件是什么？
(x1－a)2＋(y1－b)2＞r2
(x2－a)2＋(y2－b)2＜r2
追问：点M2(x2，y2)在⊙C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的充要条件是什么？
尝试发现
问题5 圆的标准方程形式上有什么特点？
圆的标准方程是二元二次方程，无xy项，方程左边是x，y与实数差的平方和；方程的右边是某个非零实数的平方．
含a，b，r三个参数，须有三个独立的条件才能确定一个圆．
若圆心在原点，半径为1，即x2＋y2＝1称为单位圆．
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
尝试发现
(x－1)2＋y2＝4 (y≥0)
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
(1)圆心在点C(－2，1)，且过点A(2，－2)；
(3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)．
数学运用
(1)圆心在点C(－2，1)，且过点A(2，－2)；
几何角度：
圆心C(－2，1)
r=|AC|
圆的标准方程
代数角度：
(x＋2)2+(y－1)2＝r2
代入A点坐标，可得r＝5
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
代数角度：
设圆方程为(x－a)2+(y－b)2＝5
代入A点，B点坐标，求出a，b
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
几何角度：
弦AB中垂线x＝1经过圆心，设圆心C(1，b)
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
数学运用
代数角度：
设圆方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
(3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)．
(3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)．
待定系数法
数学运用
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
几何角度：
圆心
在l上
在弦AB中垂线上
数学运用
(3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)．
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
数学运用
(3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)．
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
几何法
数学运用
(3)圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，且过两点A(6，0)，B(1，5)．
例2 根据下列条件，求圆的标准方程．
例3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．
数学运用
x
A
B
y
O
C
D
A
B
例3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．
思考：本题不用解析法怎么解决？
x
y
O
C
D
|OC|.|OD|=|OB|2
△BOC∽△DOB
问题6 求满足下列条件的圆的标准方程：
1.已知A(0，－5)，B(0，－1)，以线段AB为直径的圆；
2.圆过点(0，1)和(0，3)，半径等于1．
课堂检测
问题7 这节课我们学习了什么？请大家总结一下：
知识：①圆的标准方程的推导；
② 判断点与圆的位置关系；
③求圆的标准方程；
(2)方法：求圆的标准方程的两种常用方法：①待定系数法；②几何法；
(3) 思想：数形结合思想．
小结提升
课本第101页练习A第3，5题；练习B第2，3题；
将圆的标准方程展开，我们将会得到什么样的方程？是否所有的这种形式的方程都可以表示成圆的方程？
课后作业