2.2 等差数列的前n项和公式 教案（表格式）

教学设计
课程基本信息
课题 等差数列的前n项和公式（1）
教学目标
掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功。
教学内容
教学重点： 掌握等差数列前n项和公式。
教学难点： 获得等差数列前n项和公式推导的思路。
教学过程
一：创设问题情境 问题1：故事引入，据说200多年前，高斯的算数老师让学生们计算当其他学生还在忙于把这100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出正确答案。他发现第1项1和倒数第一项100加在一起，与第二项2和倒数第二项99加在一起，和都是101，第三项与倒数第3项的和，直到中间两项，第50项和倒数第50项的和都是101。于是他改变运算顺序，让和为101的数凑对儿两两求和，就得到50个101相加，用101乘50迅速计算出结果5050。这种两两配对的方法就是首尾配对法。 现在，从数列角度解释这种方法。 这里利用了等差数列的性质，下标和相同的两项，和相等，将不同数的求和问题转化为相同数求和问题，从而简化运算。 问题2：你能用高斯的方法求吗？ 法1： 我们将首项和末项凑成一对。第二项和倒数第二项凑成一对儿，发现和都是102。那101项凑成多少对儿呢？由于项数101是奇数，只能凑成50对，还会剩余一项单独计算。第50对儿是50加上52。还剩下的一项是51。因此等于50个102相加，再加上51。即5151。 思考：还有其他方法吗？ 法2： 法3： 可能同学们还会想出其他方法，大多都利用了等差数列的性质，下标和相等的两项和相等。使不同数的求和转化成相同数的求和，用乘法运算代替加法运算，提高运算效率。 问题3：计算需要对项数的奇偶进行分类讨论.当为偶数时， 当奇数时，为偶数， 细心的同学可能发现，当为奇数时，我们得到的结论与为偶数时，得到的结论是一致的。 对任意正整数，都有 为什么对项数的奇偶进行讨论，最终得到的表达式是一致的？其中有什么内在的规律 思考：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ 如果将结论中的公式，左右两边同时乘以2，得到2倍的1到的和等于倍的。这就是说两个相加等于个相加。如何将两组的和，凑成个的和呢？可以让第一个中的每一项与第二个中的每一项配对儿。1配上，2配上，以此类推，到配1。 为了更好的表示这种对应关系，我们将第二个倒序排列，将上下两项对应相加。每一组的和都是，从而得到个，即2等于倍的。这样， 就等于二分之倍的。这种方法如何巧妙的避免了分类讨论呢？将两个相加，其中一个从1一直加到，另一个倒序排列，从加到1。这样对应项的和均为。无论是奇数还是偶数，都可以将个不同数的求和转化成相同数的求和。这种方法称为倒序求和法。 数形结合：从几何上体会这种方法，要计算这堆钢管儿的总数，已知第一层有一根钢管儿，第二层有两根，以此，每一层都比上一层多一根，到第层有个。那么这一堆钢管儿的总数： 我们可以想象将另一堆完全相同的钢管整体倒置，与原来的一堆拼接在一起。那么每一层的钢管儿就都一样多，是。一共有层。那么这两堆钢管儿的总数2就等于倍的。因此，一堆钢管的总数，从1加到n就等于二分之倍的。 二：公式推导 问题4：倒序求和的方法能否用于求一般的等差数列的前项和？ 思考：如果不利用公式一的结论，你还有其他方法得到公式二吗？ 三：公式运用 四：典例分析 这五个量中已知其中任意三个，可求出另外两个。 可能有些同学会提出等差数列的通项公式，也是涉及这几个量的关系。三个公式是不是可以求解三个未知量呢？其实公式二可以由公式一将通项公式代入整理得到。所以这三个方程并不相互独立的，其中任意两个相互独立。我们可根据具体条件合理选用。 分析：转化为首项和公差的二元一次方程组求解。 反思感悟：这个小题，我们通过首项和公差找到了问题和条件之间的联系。实际上，首项和公差是确定一个等差数列的基本量。等差数列的任意一个条件都可以转化为首项和公差的关系。同时，只要求得首项和公差，等差数列的任意问题都可以用他们进行表示，从而得解。因此，首项和公差是解决等差数列问题的关键。 要求出这两个量，就需要两个相互独立的方程。而这两个方程需要通过两个相互独立的条件得到。可见，只要给出两个相互独立的条件，等差数列就完全确定。这种通过转化为首项和公差两个基本量来求解等差数列问题的方法具有一般性，我们称之为基本量法。 五：课堂小结 本节课我们从高斯首尾配对的方法出发，经历了分类讨论的过程，最终发现了倒序求和，推导出了等差数列的前项和公式。 然后借助等差数列的通项公式，用两种方法将等差数列的前项和。用首项和公差表示，得到了公式二。等差数列的任意条件和问题都可以转化为和的关系，从而求解。这就是基本量法，体现了转化与化归的思想。 这三个公式涉及了等差数列中五个重要的相关量。通过两个相互独立的公式，已知其中任意三个量可求其余两个量。这体现了方程的思想。 六：课后作业 七：教学反思 1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如:等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出;而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从习题中进行归纳总结得到的。这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。 2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3、在教学中，鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，渗透了数形结合的数学思想。 总之，教师要树立正确的教材观，尊重教材但不惟教材，基于教材又能再生教材以促进学生主动学习和谐发展。