专题10.18 二元一次方程组（全章分层练习）（提升练）（含解析）

专题10.18 二元一次方程组（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
2．若是方程的一个解，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知代数式与是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．不解方程组，下列与的解相同的方程组是（ ）
A． B． C． D．
5．方程组的解满足2x－ky＝10，则k的值为( )
A．4 B．－4 C．6 D．－6
6．关于x，y 的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
7．小明打算购买气球装扮“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图，则第三束气球的价格为(　　)
A．16 B．16 C．14 D．13
8．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．我们把不超过有理数的最大整数称为有理数的整数部分，记为，又把称为的小数部分，记为，则有＝．如：，，；又如：，，；下列说法中正确的有（ ）个．
① ；
② ；
③ 若，且，则或；
④ 方程的解是或
A．1 B．2 C．3 D．4
10．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量比为2∶5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大小两种产品多少瓶？设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．a= 时，方程组的解为．
12．已知二元一次方程2x﹣3y﹣5＝0的一组解为，则4a﹣6b+3＝ ．
13．现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．
（1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ．
14．无论k取何值时，关于x，y的方程均有解则的值为 ．
15．二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ．
16．关于，的方程，其中，是常数．若，则的值是 ．不论，取何值，该方程始终成立，则的值是 ．
17．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为 ．
18．公式可以用来求正方形网格中顶点为格点的多边形面积，其中x表示多边形内部格点数，y表示多边形边上格点数.例如：图中三角形ABC中，，，；图中三角形DEF中，，，.请借助上面提供的网格求出，时， .

三、解答题
19．解方程组：
(1)(加减法) (2)(代入法)
20．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．
21．已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
22．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
23．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
24． 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，得利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为_____元，每件乙种商品所赚利润_____元 ；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450 不优惠
超过450，但不超过600 按打九折
超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解答本题的关键．
根据题意得，二元一次方程，变形得到，利用已知条件，均为正整数，得到满足条件的解有，，，由此选出答案．
【详解】解：由已知得：
二元一次方程，
，
又，均为正整数，
，，，
二元一次方程的解的组数有组，
故选：．
2．C
【分析】把方程的解代入得，从而确定，整体代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．
3．C
【分析】根据同类项的定义列出关于、的方程组，求出、的值即可．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组及同类项的概念，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
4．A
【详解】∵在A选项中，方程可化为：；
方程可化为：；
∴A选项中的方程组和原方程组的解相同.
故选A.
5．A
【分析】先求出方程组的解，代入2x-ky=10，即可解答．
【详解】方程组的解为：，
将代入2x-ky=10得：2+2k=10，
解得：k=4．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是求出二元一次方程组的解．
6．C
【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x﹣y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．
【详解】解：由题意知：
①+②，得：2x=7
解得：x=3.5，
①﹣②，得：2y=﹣1
解得：y=﹣0.5
所以方程组的解为
故选C．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．
7．C
【分析】设一个笑脸气球x元，一个爱心气球y元，则，解方程组，求出2x+2y即可．
【详解】设一个笑脸气球x元，一个爱心气球y元，则
解得
所以2x+2y=14
所以第三束气球是14元；
故选：C
【点拨】考核知识点：二元一次方程组应用．理解题意，列出方程组，求出每个气球价格是关键．
8．D
【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．
【详解】解：将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组得，
若，则，解得，故②正确；
∵，，
∴两方程相加得，
∴，
∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵，
∴x，y都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：D
【点拨】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
9．B
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的运算，方程解，先根据新定义判断①和②，再求出或时判断③，然后将代入，得到关系式，进而得出和的取值范围，再讨论得出答案．
【详解】因为，所以①正确；
因为，所以②正确；
当时，，
当时，．
故③不正确；
因为，，
∴，
即．
因为，
所以．
当时，，即，此时；
当时，，即，此时；
当时，，即，此时；
当时，，即，此时．
所以或或或．
所以④不正确．
可知正确的有2个．
故选：B．
10．C
【分析】设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，根据大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比为2：5，每天生产这种消毒液22.5吨（22500000克）列方程组成方程组即可．
【详解】设应该分装大小瓶两种产品x瓶、y瓶，由题意得，
，
故选C.
【点拨】此题考查列二元一次方程组解决实际问题，注意题目蕴含的数量关系，正确列式解答即可．
11．1
【详解】由题意得：8a-2=6，解得：a=1.
12．13
【分析】把x与y的值代入方程求出2a﹣3b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：把代入方程得：2a﹣3b﹣5＝0，即2a﹣3b＝5，
则原式＝2（2a﹣3b）+3＝10+3＝13．
故答案为：13
【点拨】本题主要考查了二元一次方程解的概念.二元一次方程的解即能够使得方程两边相等的两个未知数的值，将方程的解代入原方程得到2a-3b=5是解答本题的关键．
13． B和C
【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得；
（2）把解代入卡片逐项验证即可．
【详解】（1）解：
得
，
把代入①得
，
解得；
（2）把代入，，，，五张卡片中，
可得，，不成立，
代入B得：，成立，
代入C得：，成立，
故答案为：B和C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组．
14．
【分析】将原方程转化为的形式，根据未知数的对应系数相等求出x，y的值，从而进行解答即可．
本题考查了二元一次方程的解．把已知方程变形为的形式是解题的难点．
【详解】解：由，得
，即．
∵无论k取何值时，关于x，y的方程均有解
∴，
解得．
∴，
∴．
故答案为：．
15．且
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
【详解】解：∵关于，的方程组无解，
，得，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
16． 3
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，涉及移项合并同类项，先得，结合，得，再代入，因为不论，取何值，该方程始终成立，即令它们前的系数为0，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴
则
∵
则
得
则
（2）∵不论，取何值，该方程始终成立，且由（1）知
∴
解得
则
故答案为：，3
17．
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
18．
【分析】根据题意，列出二元一次方程组，解方程组求得的值，代入公式即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
∴
∴当，时，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意求得的值是解题的关键．
19．(1) (2)
【详解】试题分析：根据二元一次方程组的解法—加减消元法和代入消元法求解方程组即可.
试题解析：(1)，
①×2得2x+4y=2， ③
③+②得4x=4，
解得x=1，
把x=1代入①得y=0，
所以原方程组的解为
(2)，
由②得x=-2y-2， ③
把③代入①得2（-2y-2）-3y=3，
解得y=-1，
把y=-1代入③得x=0，
所以原方程组的的解为
20．
【分析】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同解，
∴解方程组得：，
把代入得：，解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键．
21．(1)①，②
(2)或0
【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案；
（2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键．
22．(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
【点拨】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【点拨】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
24．(1)40， 30 ；
(2)购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元
(3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【分析】（1）直接由“进价=售价-利润”、“单件利润=售价-进价”计算即可得到答案；
（2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，然后结合条件列出方程组，即可得到甲、乙两种商品的数量；
（3）先设小梅购买乙种商品a件，然后根据乙种商品原来的钱进行分类讨论，再根据实际付款列出方程求得a的值，最后得到结果．
【详解】（1）由题意得，
甲种商品每件进价为60-20=40（元），
乙种商品每件的利润为80-50=30（元），
故答案为：40，30．
（2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意有

解得
40×20+10×30=1100
所以购进甲种商品40件，乙种商品10件；商场共获利1100元
（3）设打折前一次性购物总金额为a元，
若a超过450，但不超过600，则有 ，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为：（件）；
若a超过600，则有 ，解得 ，
此时购买乙种商品的数量为： （件）；
综上所述，小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品7件或8件．
【点拨】本题以销售问题为背景，考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知销售问题有关的计算公式．