2023-2024学年江苏省南京市玄武外国语学九年级（下）段测数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市玄武外国语学九年级（下）段测数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，是负数的是( )
A. B. C. D.
2.已知，计算所得结果是( )
A. B. C. D.
3.若，其中、为两个连续的整数，则的值为( )
A. B. C. D.
4.关于的方程，有下列四个命题：
甲：是该方程的根
乙：该方程两根之和为
丙：是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.如图，正方形的边长为，，分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图象经过点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.年，南京全力推动经济回稳向好，全年经济总量约亿元，继续保持全国前十位置用科学记数法表示是______．
8.分解因式的结果是______．
9.如图，给出下列四个条件，，，，，从中任选三个条件能使≌的共有______组
10.如图，在的内接五边形中，，则 ______
11.一条上山直道的坡度为：，沿这条直道上山，每前进米所上升的高度为______米
12.已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______。
13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥母线的长为______．
14.如图，在的内接五边形中，，则______
15.如图，，，，且点是线段上一动点，过点作的垂线，交射线于点，则的长的最大值是 ．
16.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点连接、若，，，则______结果保留根号．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组，并写出它的正整数解．
19.本小题分
如图，是的边的中点，，，与相交于点求证：≌．
20.本小题分
为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地户居民六月份的用电量单位：进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
组别 用电量分组 频数
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
该地这户居民六月份的用电量的中位数落在第______组内；
估计该地万户居民六月份的用电量低于的大约有多少户．
21.本小题分
如图，是的中线，是锐角，，，．
求的长．
求的值．
22.本小题分
定义：若实数，满足，，且，则称点为“线点”例如，点和是“线点”已知：在直角坐标系中，点．
和两点中，点______是“线点”；
若点是“线点”，用含的代数式表示，并求的取值范围；
若点是“线点”，直线分别交轴、轴于点，，当时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了有理数的乘方，正数与负数，相反数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
各项利用绝对值的代数意义，乘方的意义，相反数的性质结合负数的定义判断即可．
【解答】
解：、，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选D．
2.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
先把、的值代入得到原式，利于绝对值的意义和乘方的意义得到原式，然后进行乘方运算、有理数减法运算即可．
本题考查了有理数的乘方：个有理数相乘，记作．
3.【答案】
【解析】解：，
，即．
，．
．
故选：．
依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得、的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
解得，则，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
两根之和不为，而，与两根异号矛盾，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令，则，与题意不符，
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
，与题意不符；
故选：．
因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐判断即可．
本题考查了命题真假的判断，一元二次方程根的情况的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
∽，
，
．
正方形的边长为，
点，点，直线的解析式为，
设直线的解析式为，
点在直线上，
，解得：，
故直线的解析式为．
联立得：，
解得：，
点的坐标为．
将点代入中，得：
，解得：．
故选：．
由可得出∽，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出，结合正方形的边长为可得出点、点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式，联立直线与直线的函数解析式即可得出点的坐标，利用待定系数法即可求出值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
根据函数图象的开口大小，与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【解答】
解：设，，
由图象知，，，，，，，，
，，，
，，
函数的图象开口向上，对称轴也在轴的右侧，开口比函数、的开口都小，与轴的交点在轴的负半轴上，
只有选项A符合题意，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
8.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：第组，，，满足，能证明≌．
第组，，满足，能证明≌．
第组，，满足，能证明≌．
所以有组能证明≌．
故答案为：．
要使≌的条件必须满足、、、，可据此进行判断．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，
五边形是的内接五边形，
四边形是的内接四边形，
，
，
．
故答案为：．
连接，先根据圆内接四边形对角互补可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，然后求解即可．
本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，作出辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设上升的高度为米，
上山直道的坡度为：，
水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：，舍去，
故答案为：．
设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出以及的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出，之间关系是解题关键．
【解答】
解：点在直线上，
，
点在双曲线上，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则利用弧长公式得到，然后解方程即．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】
【解析】解：连接，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
．
故答案为．
连接，如图，先利用圆的内接四边形的性质得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
设，则，根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的性质得到，求得，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：设，则，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，，
故BF的长的最大值是，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将转化为，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽，这也是本题的难点所在．
先连接，，，构造直角三角形以及相似三角形，根据∽，可得到，设，则，，中，根据勾股定理可得方程，求得的长以及的长，即可得到所求的比值．
【解答】
解：连接，，，
由旋转可得，，，，
，
∽，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，则，，
中，，
，
解得，舍去，
，
中，，
，
故答案为．
17.【答案】解：原式
．
【解析】直接根据分式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则成为解答本题的关键．
18.【答案】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为，
则它的正整数解为，．
【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】【分析】
依据四边形是平行四边形，即可得出，依据，即可得出，，即可判定≌．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
【证明】
，，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，
，
，，
≌．
【解析】依据四边形是平行四边形，即可得出，依据，即可得出，，即可判定≌．
20.【答案】解：
户，
答：估计该地万户居民六月份的用电量低于的大约有户．
【解析】解：有个数据，
六月份的用电量的中位数应该是第个和第个数的平均数，
该地这户居民六月份的用电量的中位数落在第组内；
故答案为：；
见答案．
本题考查了中位数，用样本估计总体，频数率分布表，正确的理解题意是解题的关键．
根据中位数的定义即可得到结论；
根据题意列式计算即可得到结论．
21.【答案】解：作于，设，
在中，，
，
，
，解得，
，，
在中，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
答：的度数为，的值为；
为中线，
，
，
，
即的值为．
【解析】作于，设，利用的正切可得到，则根据勾股定理得到，所以，解得，于是得到，，接着利用得到，则，最后计算得到的长；
利用为中线得到，则，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
22.【答案】解：；
点为“线点”，
则，，
，，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线分别交轴，轴于点、，
，
是等腰直角三角形，
，
或，
，，
、两点关于对称，
若时，如图所示：
作轴于，轴于，作直线．
、两点关于对称，，
是等腰直角三角形，
，
，
在上截取，则，
，
，，
，
由知，，
解得：，，
由知：，，
，解得：，
若时，如图所示，
作轴于，轴于，作直线．
、两点关于对称，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在上截取，则，
，
，，
，
由知，，
解得，，
由知：，，
，解得：，
综上所述，的值为：或．
【解析】【分析】
本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．
若，满足，且，为常数，则称点为“线点”，由新定义即可得出结论；
由新定义得出，，得出，，分解因式得出，得出，，由完全平方公式得出，得出，即可得出结果；
证出是等腰直角三角形，求出或，得出、两点关于对称，再分两种情况讨论，求出的值即可．
【解答】
解：当点，若，满足，且，为常数，则称点为“线点”，
又，则，，，
点不是线点；
，则，，，
点是线点，
故答案为：；
见答案；
见答案．
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