2023-2024学年福建省福州市仓山区水都中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市仓山区水都中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，月日成功定点于距离地球公里的地球同步轨道．将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.如图，和相交于点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.正五边形的外角和为( )
A. B. C. D.
5.已知二次函数的图象经过，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
7.已知，，，若为整数且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，点在直线上，若，则的大小为
( )
A. B. C. D.
9.如表是某超市上半年的月营业额单位：万元．
月营业额
月数
下列结论不正确的是( )
A. 平均数是 B. 中位数 C. 众数是 D. 方差是
10.已知，，则可表示为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：____________．
12.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为______．
13.如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______填“”，“”或“”．
14.如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是______．
15.如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形若，，则阴影部分的面积为 ．
16.在平面直角坐标系中，，，是等边三角形若在的内部不含边界，则的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
解不等式组：
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
如图，直线是一次函数的图象，直线经过点，交轴于点，交轴于点．
求直线的解析式；
求与两坐标轴所围成的三角形的面积；
当 ______时，；
求原点到直线的距离．
21.本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，点、在上，于，求证：四边形是矩形．
22.本小题分
月日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取名学生的成绩，其不完整的统计表和统计图如下所示：
学生成绩分布统计表
分组 成绩分 频率
请根据以上图表信息，解答下列问题：
求与的值，并补全学生成绩频数分布直方图；
若组有名男生和名女生，现随机抽选人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．
23.本小题分
如图，是矩形的对角线．
求作，使得与相切要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，设与相切于点，，垂足为若直线与相切于点，求的值．
24.本小题分
手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事，军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线合作一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为米，此时它的水平飞行距离为米；山坡的坡度为：．
求这条抛物线的表达式；
山坡上处的水平距离为米，处有一棵树，树高米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
25.本小题分
在中，且，．
如图，若为等边三角形，，求的长；
如图，作，求证：；
如图，作，当点与点重合时，连接，请直接写出与之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法．
3.【答案】
【解析】解：和是对顶角，
，
故A正确；
B.，
，
故B错误；
C.，
故C错误；
D.，
；
故D错误；
故选：．
根据对顶角定义和三角形外角的性质逐个判断即可．
本题主要考查了对顶角的定义和三角形外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：任意多边形的外角和都是，
故正五边形的外角和的度数为．
故选：．
根据多边形的外角和等于，即可求解．
本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是．
5.【答案】
【解析】解：抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为直线，
即，
解得，
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，即，解得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程 为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【解答】
解：在一元二次方程中，
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
先写出所在的范围，再写的范围，即可得到的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案．
本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
【解答】
解：，，
，
又，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：平均数为万元，故A正确，不符合题意；
按顺序排列后第个数是，第个数是，所以中位数是万元，故B正确，不符合题意；
出现最多的是，所以众数是万元，故C错误，符合题意；
方差是万元故D正确，不符合题意；
故选：．
根据数据计算出平均数、中位数、众数和方差，可得答案．
本题考查统计的初步知识，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的计算方法是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
两边同时平方得：，
移项得：，
又，
，
，
，
故选：．
把第一个式子中的移项到等号的右侧，等式两边同时平方，经过变形为，再结合第二个式子即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，在解题过程中的整体性代入思想也很重要．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
首先将原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：直线与双曲线交于，两点，
联立方程组得：，
解得：，，
，
故答案为：．
联立方程组，可求，的值，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
△ABD
，
，
故答案为：．
分别求出的面积和的面积，即可求解．
本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点是弧的中点，
，
是的直径，
，
，，
，
，
点是弦的中点，
，，
，
．
故答案为：．
根据垂径定理得，根据圆周角定理得，根据勾股定理得，根据三角形中位线定理得，，所以，．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
如图，设交于点，连接首先证明，根据求解即可．
本题考查扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．
，，
，
，
，，
， ，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，如图所示：
且，
，
是等边三角形，
，，
在的内部不含边界，
，
解得，
故答案为：．
过点作轴于点，根据等边三角形的性质，可得，，根据在的内部不含边界，可得，即可求出的取值范围．
本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
20.【答案】
【解析】解：把，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为；
在中，令，则，
解得，
，
，
，，
，
直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为；
，
当时，；
故答案为：；
设原点到直线的距离为，
，，
，
，
，
．
故原点到直线的距离为．
把，代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；
根据解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
观察图象即可求得；
利用三角形面积公式即可求得．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．
【解析】根据菱形的性质得出，再由点是的中点，所以，，进而判断出是三角形的中位线，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定质，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22.【答案】解：人，
．
组的人数为人，
补全频数分布直方图如图所示．
设名男生分别记为，，名女生分别记为，，
画出树状图如下：
共有种等可能结果，其中抽选结果恰好是“一男一女”的结果有：，，，，，，，，共种，
抽选结果恰好是“一男一女”的概率为．
【解析】用组的人数除以频率可求得的值；用分别减去，，，组的频率可得的值；先求出组的人数，再补全频数分布直方图即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及抽选结果恰好是“一男一女”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、频数率分布表，能够理解频数率分布直方图和频数率分布表，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】解：根据题意作图如下，即为所求；
设，的半径为，
与相切于点，与相切于点，
，，
即，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
在和中，，，
，
在中，，
，
四边形是矩形，
，，
，
又，
≌，
，
，
在中，，
即，
，
即，
，
，
即的值为．
【解析】本题考查了矩形的性质，尺规作图，正方形的判定与性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义、解一元二次方程等基础知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
以为圆心长为半径画弧交与，作的垂直平分线，交与，以为圆心为半径画圆即为所求；
设，的半径为，证四边形是正方形，根据证≌，得出，，根据等量关系列出关系式求出的值即可．
24.【答案】解：由题意得：顶点，且抛物线过原点，
所以设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
山坡的坡度为：，米，
米，
当时，，
，
小刚投出的手榴弹能越过这棵树；
设直线的关系式为，把代入可得，
直线的关系式为，
如图，
设，，
，
当时，最大为，
答：飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是米．
【解析】根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；
利用坡度求出，再根据二次函数关系式求的坐标，再进行比较即可；
求出的关系式，利用，求出最大值即可．
本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，与几何中的直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半相结合，并利用勾股定理求边长，表示点的坐标；并能判断该点是否在抛物线上．
25.【答案】解：为等边三角形，
，
，
，
，
过点作于点，
为等腰直角三角形，
在等边中，，
．
证明：过点作于点，设，
，
，
，
，
，
，
平分，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
又，
，
，
为等腰直角三角形，
．
．
与之间的数量关系为．
过点作于点，过点作于点，
设，由可知，，，
，，
，
，，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
，
，
．
即与之间的数量关系为．
【解析】求出，，过点作于点，则为等腰直角三角形，求出的长，则的长可求出；
过点作于点，设，得出，，证明≌，得出，证出为等腰直角三角形，可得出则结论得证．
过点作于点，过点作于点，设，由可知，，，证出，求出则可得出答案．
本题为三角形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．
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