2023-2024学年安徽省合肥七中高二（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥七中高二（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
2.函数，的最大值为( )
A. B. C. D.
3.若关于的方程有且只有个实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知在处有极值，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为
( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，是自然对数的底数，若，，，则有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( )
A.
B. 函数在上递增，在上递减
C. 函数的极值点为，
D. 函数的极大值为
11.已知函数，，( )
A. 若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，
B. 当且时，函数在上单调递增
C. 当时，若函数有三个零点，则
D. 当时，若存在唯一的整数，使得，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个三层书架，分别放置语文书本，数学书本，英语书本，从中取出一本，则不同的取法______种． 以数字作答
13.若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是______．
14.已知对，不等式恒成立，则实数的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
已知，，，，，这六个数字．
可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
可以组成多少个数字不重复的小于的自然数？
可以组成多少个数字不重复的大于且小于的四位数？
17.本小题分
为了积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学大学毕业后决定利用所学专业知识进行自主创业经过市场调查，生产某种小型电子产品需投入固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，万元；当年产量不小于万件时，万元已知每件产品售价为元，假若该产品当年全部售完．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式；注：年利润年销售收入固定成本流动成本
当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？结果保留一位小数，取
18.本小题分
已知函数
Ⅰ设是的极值点，求，并讨论的单调性；
Ⅱ当时，证明．
19.本小题分
已知函数，，
讨论函数的单调性；
若，对任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，．
故选：．
先对求导数，再求可解决此题．
本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
令得或
当时，或；当时，
当时；当时，；当时，
所以函数的最大值为
故选：．
求出函数的导函数，令导数为求出根，判断根左右两边导函数的符号，求出函数的极值及端点值，在其中选出最大值．
利用导数求函数的最值时，求出函数的极值及端点值，选出最值即可．
3.【答案】
【解析】解：由题意，可得，设．
当时，，为増函数；
当时，，为减函数且．
所以有最大值，简图如下，
由图可知，时符合题意．
故选：．
分离参数，可得，利用导数求解的单调性，结合图象可求实数的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数在上单调递减，
在上恒成立，
即在上恒成立，
而在上单调递增，故，
．
故选：．
利用函数单调性和导数之间的关系转化为恒成立，利用参数分离法进行求解即可．
本题主要考查函数单调性和导数的关系，利用参数分离法是解决本题的关键，比较基础．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，
函数在处有极值，
且，
，或，，
，时恒成立，此时函数无极值点，
，，
．
故选：．
先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可．
本题考查导数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了区域涂色、种植花草作物这一类题目．解决此题的关键是分类要全要细．
每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，、不同色；、同色两大类．
【解答】
解：分两种情况：、不同色，先涂有种，有种，有种，、有种，有种；
、同色，先涂有种，有种，、各有种，有种．
共有种，
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键，属于中档题．
令，对函数求导判断出单调性，利用的单调性解出不等式即可．
【解答】
解：令，则，
所以在上单调递增，
因为，所以不等式，
可变形得，即，所以，
解得，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
设，，则，
由得，，
当得，
当得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，
又，，，在上单调递减，
，
故选：．
由，，得，，，，构造函数，，求导得出函数单调性，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了基本初等函数、复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于中档题．
根据基本初等函数、复合函数的求导公式求导即可．
【解答】
解：，，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题．
根据导数与函数单调性的关系及所给图象可得的单调性，判断函数的极值即可．
【解答】
解：由导数与函数单调性的关系知，当时递增，时递减，
结合所给图象知，时，，
在上单调递增，
时，，
在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值；
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：选项，，
则，，则，，故A错误；
选项，当时，，
，
因为，则，
或在上单调递增，
则在上单调递增，故B正确；
选项，当时，令，
注意到当时，，则，
则函数有三个零点，相当于直线与函数的图象有三个交点．
令，其中，

或，则在，上单调递增，
或或或，
则在，，，上单调递减，
又，，，，
则可得大致图象如下，
则由图可得，当时，直线与函数图象有三个交点，
即此时函数有三个零点，故C正确；
选项，由题可得，，
即存在唯一整数，使得的图象在下方，
则，，
得在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，过定点，
可在同一坐标系下做出与图象，
又设过点切线方程的切点为，
则切线方程为：，因其过，
则，解得或，
又注意到，结合两函数图象，可知或．
当时，如图，需满足，解得，
当时，如图，需满足，解得，
综上所述，，故D正确．
故选：．
选项，由导数几何意义结合题意可知，，即可判断正误；
选项，利用导数得到的单调区间，即可判断正误；
选项，有三个零点等价于直线与函数图象有个交点，利用导数判断单调性，极值情况，即可判断正误；
选项，存在唯一整数，使图象在直线下方，利用导数研究的单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合，图象可确定及相关不等式，即可判断选项正误．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知选择拿语文书：有种不同的拿法，
数学书有种不同的拿法，
英语书有种不同的拿法，
则从中取出一本，则不同的取法共有种；
故答案为：．
根据题意，分种情况讨论：选择拿语文书：有种不同的拿法，数学书有种不同的拿法，英语书有种不同的拿法，然后把这三种情况的数量加在一起即可
本题考查加法原理的应用，注意按取出书的类型不同分类讨论．
13.【答案】或
【解析】解：由题设，令切线方程为，而，
若切点为，则且，
所以，故有两个不相等的实根，
则，可得或．
故答案为：或．
令切线方程为、切点为，并对曲线求导，由且得到有两个不相等的实根，即可求范围．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知对，不等式恒成立，
此时，
即，
不妨设，函数定义域为，
此时需满足，使得恒成立，
因为，
所以函数在定义域上恒成立，
则，使得恒成立，
即，使得恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
此时，
则实数的最小值为．
故答案为：．
由题意，将问题转化成不等式在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，将问题转化成，使得恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
15.【答案】解：函数定义域为．
且
，
曲线在点处的切线斜率，
又，则切点为，
所求切线方程为即．
，又，
由，得或，
当和时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增．
由的单调性知：，
．
【解析】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，极值的求法，是中档题．
求出函数的定义域，函数的导数，求解切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．
求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的极值即可．
16.【答案】解：分步：
先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有种选法；
再选百位数字有种选法；
十位数字也有种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有个；
分类：
一位数，共有个；
两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个；
三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个；
因此，比小的自然数共有个；
分类：
千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个；
千位数字为，百位数字为，，，之一时，共有个；
千位数字为，百位数字是，十位数字为，之一时，共有个；
也满足条件；
故所求四位数共有个．
【解析】根据分步乘法计数原理求解；
根据分类加法计数原理求解；
根据分类加法计数原理求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：产品售价为元，则万件产品销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，
；
当时，，
当时，的最大值为万元，
当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取最大值，万元，
当时，取最大值万元，
即当年产量约为万件时，该产品所获年利润最大，最大利润为万元．
【解析】根据利润是商品销售收入减去固定成本和每生产万件，需另投入流动成本求解；
根据利用分段函数的性质，分别求得每一段的最大值，从中取最大的则为利润的最大值求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
18.【答案】Ⅰ解：，是的极值点，
，解得，经检验，满足题意，
所以函数，其定义域为，
，
设，，
则，所以在上为增函数，
又，所以当时，，即；当时，，．
所以在上为减函数，在上为增函数；
Ⅱ证明：当，时，，
故要证当时，，只需证明当时．
当时，函数在上为增函数，且，．
故在上有唯一实数根，且．
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，．
故．
综上，当时，．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数根据极值或极值点求参，利用导数证明不等式，考查了利用导数证明不等式，是较难题．
Ⅰ求出原函数的导函数，因为是函数的极值点，由极值点处的导数等于求出的值，注意检验；代入函数解析式后再由导函数大于和小于求出原函数的单调性；
Ⅱ要证当时，，只需证明当时，利用导数，即可得证．
19.【答案】解：因为，
所以，令，则两根分别为，，
当时，在上恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，得或，令，得，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，令，得或时，令，得，所以单调递增区间为，，单调递减区间为；
综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；
由知，若，则，
所以，
所以在区间上单调递增，
又，
所以对任意，恒成立，
等价于对任意，恒成立，
即有对任意，恒成立，
令，
则在上单调递减，
则在上恒成立，
又，且，
所以在上恒成立，
即，
令，
则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
解得．
所以实数的取值范围：．
【解析】先求导函数得，分类讨论的值，判断函数单调性即可；
结合知，对，恒成立，构造函数，知在上恒成立，分离参数求解即可．
本题考查了导数的综合运用、转化思想及分类讨论思想，属于难题．
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