2023-2024学年陕西省西安市铁一中高二（下）月考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市铁一中高二（下）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
2.若对，恒成立，其中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.若函数在上存在极值，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在某项建造任务中，需名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少人，至多人，则不同的安排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数则关于它该函数性质的说法中，正确的是( )
A. 最小正周期为
B. 将其图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称
C. 对称中心为
D. 上单调递减
7.已知正方形的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边和上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.下列说法正确的是( )
A. 线性回归模型是一次函数
B. 在线性回归模型中，因变量是由自变量唯一确定的
C. 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适
D. 用来刻画回归方程，越小，拟合的效果越好
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量，非零常数，，下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
10.对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A. 若，则，的夹角是钝角
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
11.在等差数列中，，，且，为数列的前项和，则( )
A. 公差 B.
C. D. 使的的最小值为
12.甲袋中有个红球，个白球和个黑球；乙袋中有个红球，个白球和个黑球先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件，，是两两互斥的事件 B. 事件与事件为相互独立事件
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量，，若，则 ______．
14.双曲线与椭圆的焦点相同，则实数 ______．
15.已知函数为减函数，则的取值范围是______．
16.已知函数是上的增函数当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，．
任取一个零件，计算它是次品的概率；
如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率．
18.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
已知，，求数列的前项和．
19.本小题分
“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性 女性 合计
爱好
不爱好
合计
已知在这人中随机抽取人抽到爱好运动的员工的概率是．
参考公式：，．
附表：
请将上面的列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
若从这人中的女性员工中随机抽取人参加一活动，记爱好运动的人数为，求的分布列、数学期望．
20.本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点．．
求证：；
当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
21.本小题分
已知双曲线的离心率为，、分别为左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，的面积为．
求双曲线的方程；
若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知．
当时，求的极值点个数；
当时，，求的取值范围；
求证：，其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，由，得，，
．
故选：．
由题意，利用等比数列的定义、性质、前项和公式，计算求得要求式子的值．
本题主要考查等比数列的定义、性质、前项和公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对，恒成立，其中，，
令，可得，，
再令，可得，，
则．
故选：．
在所给的等式中，分别令、，求得、的值，可得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
，解得：．
故选：．
根据正态分布曲线性质知，由对称性可构造方程求得结果．
本题主要考查正态分布曲线，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
函数在上存在极值，
函数在上不是单调函数，
可得有两个不等的根，
即，
解得，或，
正整数的最小值为．
故选：．
求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于求出实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查化归与转化思想，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：方案一：每个舱各安排人，共有种不同的方案；
方案二：分别安排人，人，人，共有种不同的方案，
所以共有种不同的安排方案．
故选：．
安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排人，第二类，分别安排人，人，人，结合分堆分配问题解决方法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数
，
周期为：，所以不正确；
将其图象向右平移个单位，所得函数，则图象关于轴对称，所以B正确；
令，，解得，对称中心为，所以不正确；
当时，，函数先减后增，所以不正确；
故选：．
化简函数的解析式，求出函数的周期怕啥；利用函数的平移变换求解函数的解析式判断；利用函数的对称中心判断，函数的单调性判断；
本题考查三角函数的图象变换，三角函数的化简求值，函数的单调性对称轴以及函数的周期的求法，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：不妨设椭圆方程为，
当时，，
可得，
四边形为正方形，
故，即，
所以，
所以，解得，因为，
所以，负值舍．
故选：．
根据椭圆的性质得到，进而求解结论．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．不正确，
根据线性回归方程做出的的值是一个预报值，不是由唯一确定，故B不正确；
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
用相关指数可以刻画回归的效果，的值越大说明模型的拟合效果越好，故D不正确．
故选：．
由条件利用残差、相关指数的意义、线性回归模型的意义即可作出判断．
本题考查回归分析，本题解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，本题是一个中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，，故C错误；D正确．
故选：．
根据已知条件，结合期望与方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查期望与方差的线性公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若，则，的夹角满足，
所以是钝角或，所以选项A错误；
对于，因为，所以，选项B正确；
对于，根据向量的数量积定义知，时，不一定成立，选项C错误；
对于，因为，所以向量、、不共面，
，，可以作为空间中的一组基底，选项D正确．
故选：．
根据题意，对选项中的命题进行分析与判断，即可得出正确的答案．
本题考查了空间向量的有关概念和运算律，也考查了分析与判断能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的定义，性质及求和公式的应用，属于中档题．
结合等差数列的定义可判断选项A，结合已知项的符号可判断选项B；结合等差数列的求和公式及性质可判断选项C，．
【解答】
解：因为等差数列中，，，
所以，A错误；
因为，
所以，即，B错误；
，C正确；
，
故的的最小值为，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确，
，，
因为，故事件与事件不是相互独立，故B错误，
，故C正确，
，故D正确．
故选：．
根据互斥事件和相互独立事件即可判断、，由概率计算值即可判断、．
本题考查互斥事件、相互独立事件、概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
因为，
所以，即，
解得，所以，
所以．
故答案为：．
由平面向量的坐标运算计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由椭圆的标准方程可知：该椭圆的焦距为，
所以该椭圆的焦点坐标为，，
由．
故答案为：．
根据椭圆的焦点坐标，结合双曲线的性质进行求解即可．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了双曲线的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为函数为减函数，
所以递减，递减，且，
所以，解得，
故答案为：
由题意可知，递减，递减，且，由此可得关于的不等式组，解出即可．
本题考查函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由得．
是上的增函数，在上恒成立，即在上恒成立．设，，，即不等式在上恒成立．
设，，
因为，所以函数在上单调递增，
因此．
，，即．
又，故的最大值为．
故得，．
将函数的图象向上平移个长度单位，所得图象相应的函数解析式为，．
由于，所以为奇函数，故的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数的图象关于点成中心对称．
这表明存在点，使得过点的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故答案为：．
先求出的最大值为，可得，，利用函数的图象关于点成中心对称，即可求出点的坐标．
本题考查导数知识的运用，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】解：记事件为任取一个零件，计算它是次品，
；
如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率，
，
，
同理得，，．
【解析】根据相互独立事件的概率公式计算即可；
分别计算第台车床的次品率，再根据条件概率公式计算即可．
本题考查相互独立事件的概率公式以及条件概率，是基础题．
18.【答案】解：，
当时，，
当时，，
由得，
当时，满足，
数列的通项公式为；
由得，，，
，
，
，
故数列的前项和为．
【解析】根据数列的递推式，当时，求出，当时，，作差即可得出答案；
由得，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得，爱好运动的员工共有人，由表中男爱好运动的员工为人，可得女爱好运动的员工有人，
故可得如下列联表：
男性 女性 合计
爱好
不爱好
合计
零假设为：爱好运动与否与性别没有关系，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受，即认为爱好运动与否与性别没有关系．
的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
的数学期望为：
．
【解析】根据题意完成列联表，求得，与观测值表进行比较，即可得出结论；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
20.【答案】证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，，
，即．
解：由知：平面，
平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
，
，
，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．
【解析】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
连接，易知，，由，再利用勾股定理求得和的长，从而证明，然后以为原点建立空间直角坐标系，证得，即可；
易知平面的一个法向量为，求得平面的法向量，再由空间向量的数量积可得，从而知当时，得解．
21.【答案】解：如图，其中，，
双曲线的离心率为，
则，，由题知，
所以，
则，解得，
所以双曲线的方程为．
设，，
联立，消去并整理可得，，
所以，则，
且，
所以，
设，，
由，得，同理，，
所以，
所以，，
因为
所以的取值范围是．
【解析】根据已知可得，结合过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，的面积为，可得的值，即可得双曲线方程；
根据直线与双曲线相交，联立直线与双曲线，即可得交点坐标关系以及的取值范围，由，分别求得与的表达式，可得与的关系式，即可得实数的取值范围．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，
所以，，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
因为，，，
所以存在，使，
所以，时，；时，；时，，
所以和是的极值点，
所以有两个极值点．
，，
设，则单调递增，
又，
所以当时，，在上单调递增，
所以，即，在上单调递增，
所以，符合题意，
当吋，令，解得，
当时，，在上单调递减，，
在上单调递减，
所以时，，不符合题意，
所以的取值范围是
由可知时，，，即，
所以，，
所以．
【解析】当时，，求导分析的单调性，的零点，进而可得的极值点．
，，设，分两种情况：当时，当吋，的最小值，即可得出的取值范围．
由可知时，即，由放缩法得，则，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，极值点，解题中需要理清思路，属于中档题．
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