2023-2024学年广西百色市德保高中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广西百色市德保高中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个科技小组中有名女同学、名男同学，现从中任选名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.下列各式化简结果正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为( )
A. B. C. D.
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，互素是指两个整数的公约数只有，例如：；与互素有、；与互素有、、、、、记为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于导数运算正确的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递增 B. 的值域是
C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数
11.已知函数，则( )
A. 存在唯一的极值点 B. 存在唯一的零点
C. 直线与的图像相切 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在时取得极大值，则 ______．
13.九章算术、数书九章、周髀算经是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有______种
14.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，若，求的最小值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，已知的外接圆半径，且．
求和的值；
求边上高的最大值．
17.本小题分
在直三棱柱中，，，为的中点，．
求的长；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
讨论在上的单调性．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为已知直线与椭圆交于，两点，且与轴，轴交于，两点．
求椭圆的标准方程；
若，求的值；
若点的坐标为，求证：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据分类加法计数原理可知，从中任选名同学参加学科竞赛，共有种选派方法．
故选：．
根据分类加法计数原理求解即可．
本题主要考查了计数原理的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，
在复平面内，对应的点的坐标是．
故选：．
利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：．
根据向量的加减法运算法则求解．
本题主要考查向量的加减法运算法则，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
，
由，得．
，可得，
所求切线的方程为，即．
故选：．
求出原函数的导函数，利用导函数值为求解值，进一步求出，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，，
因为，
所以，
所以，，．
故选：．
由已知结合同角基本关系及二倍角公式进行化简可求，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为，体对角线的端点为，，
对于选项，，，，，
所以直线的方向向量，
，显然，直线与不垂直，选项错误；
对于选项B，由选项A知，直线的方向向量，，，
则，显然，直线与不垂直，选项错误；
对于选项，由选项A知，直线的方向向量，，，
则，显然，，选项正确；
对于选项，由选项A知，直线的方向向量，，，
则，显然，直线与不垂直，选项错误．
故选：．
根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得．
本题考查线线垂直的判定，坐标法的应用，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为当且仅当时取“”，所以，
所以的取值范围为．
故选：．
由恒成立分离常数，利用基本不等式求出的取值范围．
本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为与互素的数为，，，，，，，，，，共有，所以，
则，于是，
，
由得，
则，
于是．
故选：．
根据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．
本题考查了欧拉函数定义和错位相减求和，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，，
，．
故选：．
由导数四则运算法则以及复合函数的导数即可验算．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由已知，，
对，当时，，
则不单调，故A选项不正确；
对，因为，，则的值域是，故B选项正确；
对，因为，则的图象关于点对称，故C选项正确；
对，为偶函数，故D选项正确．
故选：．
对于选项，根据三角函数相关公式对化简，根据的区间求出的区间，据此即可判断单调性，对于选项，根据表达式即可判断最大值和最小值，据此即可求出值域，对于选项，根据，据此即可判断选项，对于选项，根据偶函数定义判断即可．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以没有极值点，故A错误；
对于，因为在上单调递增，，
所以存在唯一零点，故B正确；
对于，令，则，即切点为，
所以切线方程为，即，故C正确；
对于，因为在上单调递增，，
所以，，可得，，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以．
故选：．
求出，令，根据的单调性得可判断；结合在上单调性及可判断；令求出切点坐标可得切线方程可判断；根据在上单调递增得，令，求出可判断．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与极值等知识与方法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，
因为函数在时取得极大值，
所以，
解之得，
检验：此时，
令或，
令，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
即，满足题意，
故．
故答案为：．
利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，用排除法分析：
若三人选书没有要求，则有种，
若三人选择的书完全相同，则有种，
所以三人选择的书不全相同，不同的选法有种．
故答案为：．
根据题意，用排除法分析：先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可．
本题考查排列组合的应用，注意用排除法分析，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故离心率为．
故答案为：．
根据椭圆定义求出，由余弦定理求出方程，求出离心率．
本题主要考查椭圆性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：当时，由，得；
当时，，符合上式，
综上所述，．
，
所以，
由，得，解得，
又，所以的最小值为．
【解析】利用求解即可，注意检验的情形；
采用裂项相消法求和，再解不等式即可．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，裂项相消法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：，，
即，
，
，，
，，，
由正弦理得，；
由余弦定理知，，即，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
，
，
又，．
边上高的最大值为．
【解析】由已知可得，可得，进而可求和的值；
求得的最大值，进而可求三角形面积的最大值，进而可求边上高的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，
，
即，解得，
故CC的长为；
设平面的一个法向量为，
由题意知，，
则由，
令，可得，
平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
则，，
二面角的余弦值为．
【解析】以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用，可求的长；
求得平面与平面的一个法向量可求二面角的余弦值．
本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
18.【答案】解：时，，
，故切点为，
，
，
故切线方程为，即．
，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令可得或舍，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
【解析】根据导数的几何意义，先求出切线斜率及切点坐标，进而可求切线方程；
对函数求导，对分类讨论，进而判定的正负，即可判断函数的单调性．
本题综合考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．．
19.【答案】解：因为，所以，代入得，
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为，
即，即，
以上各式联立解得，，
则椭圆方程为：；
解：直线与轴交点为，
与轴交点为，
设，，
联立，整理可得：，
，
则，
，，
由可得，即，
解得：，
由得；
证明：由知，，
所以
．
所以为定值，且定值为．
【解析】根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，，则椭圆方程可得；
联立方程组，根据根与系数的关系以及向量相等的坐标关系即可求出；
根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．
本题考查了椭圆的方程的求法，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
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