高 2023 级第二学期第二次质量检测 数 g x 的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为π ，则φ =2
π π
数学试题 A．6 B．3
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分． πC．2 D．π
1. 已知集合M x∣x2 4 0 ，N {x Z∣x 3}，则M N （ ）
8. 设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2 时，
A. M B. N C. 1,1 D. 1,0,1
f (x) ax2 b f 0 f 3 9 6 f ．若 ，则 （ ）
1,2 3 tan 2 2.若角 的终边经过点 ，则 ( )
3 9 3 7 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
A 3 3 3 3 3 3． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．若正确选项有两项，则
7 7 5 5
每选对一个给 3分，若正确选项有三项，则每选对一项给 2分.选错不给分.
3.cos20 cos40 cos60 cos80 （ ） 9.下列说法正确的有（）
1 1 1 1 5
A． B． C． D． A.函数 f x = log3x在 3,4 中有零点x
8 4 16 32
π B. f x = ln 1 x
2 的单调递减区间为 0,1
4. 函数 y 3 tan 3x 4
的一个对称中心是（ ）
C.命题“ x ≥ 1 ，x2 2x + 4 > 0 ”的否定为 x < 1 ,x2 2x + 4 ≤ 0
π ,0 π , 0
π ,0 π , 0 D.“ x 1”是“ x2 4x 3 0”的必要不充分条件
A． 3
B． 6 C． 4 D． 2
10. π要得到函数 y=3cos x 的图象,只需将 y=3cos 2x 的图象上所有的点( )
5.函数 y = 10sinx 与函数 y = x 的图象的交点个数是( ) 4
π
A. 3 B. 6 C. 7 D. 9 A.横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移4个单位长度
6.函数 f x = 2 x 1 sinx 的大致图象是( ) π1+e B.横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移8个单位长度
π
A. B. C. D. C.向左平移8个单位长度,再把横坐标伸长到原来的 2 倍
π
D. 1向左平移4个单位长度,再把横坐标缩短到原来的π 27.将函数 f x = sin ωx +φ ω > 0, φ < 的图象向左平移θ个单位长度得到函2
{#{QQABDQAAogCAApBAARgCUQWQCgGQkAACACoOhBAEIAABCBFABAA=}#}
11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) A > 0, ω > 0, |φ| < π 的部分图象如图所示,则下列结论中
2 16 3 1．（15分）)已知函数 f (x) sin 2x cos2 x .
2 2
不正确的是( )
2
A.若 x∈ - π ,0 ,则函数 f(x) 1的值域为 -1, (1)求 f ( )的值及 f(x)的对称轴；
2 2 3
B.点 - π ,0 是函数 f(x)的图象的对称中心
3 (2)将 f (x)的图象向左平移 个单位得到函数 g(x)的图象，求 g(x)的单调递增区间.
6
C.函数 f(x) - π在区间 ,0 上是增函数
2 17．（15分）如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要12分钟,其中心O距离
π
D.将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后形成偶函数 地面 40.5米,半径为40米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的12
变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:
3 5 15 (1)求出你与地面的距离
y (米)与时间 t (分钟)的函数解析式.
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共计 分．
12.求函数 f(x)＝lg（2sinx-1）的定义域 ． (2)当你第 4次距离地面60.5米时,用了多长时间
1 18．（17分）已知正实数
x, y满足 x y 6．
13.已知 0, ,cos ，则 cos 2 的值是_________．
2 3 3 6 1 x2 y2（ ）求 的最小值及此时 x, y的值；
（2）求 (x 1)( y 2)的最大值及此时 x, y
14.若函数 f (x) tan x ( 0)
的值；
在（0，π）上有且仅有三个零点，则ω的取值
4
4
（3）求 x 的最小值及此时 x, y的值．
范围是________． 7 y
19．（17分）已知函数 f x sin 2x (0 π)
四、解答题：本题共 5小题，共计 77分．
(1) π
f ( ) cos(2 )sin( ) tan( ) cos( )
当 时，求函数 y f (x)的最大值，并求出取得最大值时所有 x的值；
4
15．（13分） 已知 sin
． π
2
cos 2 (2)若
f (x)为偶函数，设 g(x) f (x) f (x )，若不等式 | g (x) m | 2在 x [0,
]上恒
6 2
成立，求实数 m的取值范围；
2
（1）化简 f ( )；（2）若 为第四象限角，且 cos ，求 f ( )的值． π
3 (3)若 f (x)
,1 π π π过点 ，设 h(x) cos 2x 2asinx ，若对任意的 x1 [ , ]， x2 [0, ]，都 6 2 2 2
有 h(x1) f (x2 ) 3，求实数 a的取值范围.
{#{QQABDQAAogCAApBAARgCUQWQCgGQkAACACoOhBAEIAABCBFABAA=}#}高 2023 级第二学期第二次质量检测数学答案 由周期为12分钟可知,当 t 6时,摩天轮第1次到达最高点,
即此函数第1次取得最大值,
一、单选 1-4 DBCC 5-8 CBAD 二、多选 9 AB 10 AC 11 BCD
12.[ π + 2kπ, 5π
6 ,即 .
三、填空 + 2kπ], k ∈ Z 13. 4 2 14. 11,15
6 6 9 4 4
6
四、解答 所求的函数关系式为 y 40.5 40cos t(t 0) .6
15.解：（1）由三角函数诱导公式可知： (2)设转第1圈时,第 t0 分钟时距地面60.5米,
f ( ) cos ( sin ) tan ( cos ) tan cos sin ． 由60.5 40.5 40cos t ,
cos ( sin ) 6 0
cos t 1得 , t 2 t 4 或 ,
2 sin 2 7 1 f ( ) 7 6
0 2 6 0 3 6 0 3
（ ）由题意， ，可得 ．
9 3 3 解得 t0 4或 t0 8 , t 8时,第2次距地面 60.5米,
16.(1) 3由函数 f (x) sin 2x cos2 x 1 3 sin 2x 1 cos 2x sin(2x )， 故第 4次距离地面60.5米时,用了12 8 20 (分钟).
2 2 2 2 6
2
18. 2 2 2 2（1）由基本不等式有 x y x y 2xy 36 2 x y ，
则 f (2 ) sin(2 2 7 1 ) sin sin ，
3 3 6 6 6 2
所以 x2 y2 18，等号成立当且仅当 x y 3 0满足题意；
2x
min
令 k ,k Z k ，解得 x ,k Z ，
6 2 3 2
k x 1 y 2
2
9
x ,k Z （2）由基本不等式推论有 (x 1)(y 2) ，等号成立当且仅当即函数的对称轴的方程为
3 2 2 4
5 7 9
(2)由(1)可知函数 f (x) sin(2x 6 )的图象向左平移 个单位得到函数 g(x)的图 x , y ，所以 (x 1)( y 2)的最大值是 ；6 2 2 4
象，
x 4 4 4（3）一方面 6 y 7 y 1，另一方面 x 6 y 0，
可得 g(x) sin[2(x ) ] sin(2x ) 7 y 7 y 7 y的图象，
6 6 6
7 y 0
令 2k 2x 所以 ， 2k ,k Z ，解得 k x k ,k Z ，
2 6 2 3 6
4
所以函数的单调递增区间为[ k , k ],k Z . 从而7 y 1 2 4 1 3，等号成立当且仅当 x 1, y 5，
3 6 7 y
17.(1)由已知可设 y 40.5 40cos t, t 0 ,
{#{QQABDQAAogCAApBAARgCUQWQCgGQkAACACoOhBAEIAABCBFABAA=}#}
x 4 所以 f x = sin 2x +
π
，
所以 的最小值是 3. 6
7 y
x ∈ [0, π ], 2x + π ∈ [ π , 7π又因为 2 所以 2 ],
π π 2 6 6 619.（1）当φ = 时，f x = sin 2x + ,
4 4
所以 f x2 = sin 2x +
π ∈ 12 , 1 ，
π 6 2
所以当 2x + = 2kπ + π , k ∈ Z，即 x = kπ + π , k ∈ Z 时，所以 f x max=1,此时 x =
4 2 8
又因为对任意的x1 ∈ [
π , π ] π，x ∈ [0, ]，都有 (x ) < f(x ) + 3 成立，
π 2 2
2 2 1 2
kπ + , k ∈ Z；
8
1 5
所以 (x1)max < f(x2)min + 3， (x1)max < + 3 =2 2
（2）因为 f x = sin 2x + φ (0 < φ < π) π为偶函数，所以φ = ,
2 (x) = cos2x + 2asinx == sin2x + 2asinx + 1 = a2 + 1 sinx a 2
所以 f x = cos2x,
因为x ∈ [ π , π1 ]，所以 sinx1 ∈ [ 1,1]，2 2
所以 g(x) = f(x) f(x + π ) = cos2x cos2 x + π
6 6 设 t = sinx1 ∈ [ 1,1],
2 2
= cos2x 1 cos2x 3 1 3 π
则有 g t = a + 1 t a 图像是开口向下，对称轴为 t = a 的抛物线，
sin2x = cos2x+ sin2x=sin 2x + ，
2 2 2 2 6 当 a ≥ 1时，g t 在 t ∈ [ 1,1]上单调递增，所以 g t max = g 1 = 2a,
又因为|g(x) m| < 2 在 x ∈ [0, π ]上恒成立，
2 所以 2a <
5 5
，解得 a <
2 4
即﹣2 < g x m < 2 π在 x ∈ [0, ] 5上恒成立，
2 所以 1 ≤ a < ；4
m 2 < g < 2 + m π 当
a ≤ 1时， g t 在 t ∈ [ 1,1]上单调递减，
所以 x 在 x ∈ [0, ]上恒成立，
2 所以 g t max = g 1 = 2a,
所以 m 2 < g x min ，且 g x max < 2 + m 在 x ∈ [0,
π ]上恒成立，
2 所以 2a <
5
，解得 a > 5
2 4
x ∈ [0, π因为 ]，所以 2x + π ∈ [ π , 7π ]，所以 g x = sin 2x + π ∈ 1，1 ， ∴ m 5所以 < a ≤ 1;
2 6 6 6 6 2 4
1 当 1 < a < 1 时，g t 22 < ,m + 2 > 1， max
= g a = a + 1,
2
所以a2 + 1 < 5 6，解得 < a < 6所以 1 < a < 1,
2 2 2
解得﹣1 < m < 3
2 5
综上所述： < a < 5 5 5所以实数 a 的取值范围为 ,
3 4 4 4 4
所以 m 的取值范围为 1, ;
2
3 f(x) π , 1 π（ ）因为 过点 ，所以 1 = sin + φ (0 < φ < π), φ = π
6 3 6
{#{QQABDQAAogCAApBAARgCUQWQCgGQkAACACoOhBAEIAABCBFABAA=}#}
