第18章《平行四边形》单元测试（含答案）

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第18章 《平行四边形》单元测试
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（每题3分，共30分）
1．在平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠B的度数是 （　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于 （　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2题图 3题图 4题图
3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为 （　　）
A． B．2 C．2 D．4
4.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC的长是 （　　）
A. 3cm B. 12cm C. 18cm D. 9cm
5.如图，E ，F分别是□ABCD的两对边的中点，则图中平行四边形的个数是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.下列说法中，不正确是（　　）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为 （　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
7题图 8题图 9题图 10题图
8．如图，在 ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下结论中不正确的是 （　　）
A．△CDF≌△EBC B．∠ECF＝60°
C．△ECF是等边三角形 D．CG⊥AE
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝ （　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB； ②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题（每题3分，共30分）
11、已知Rt△ABC的周长是4+4，斜边上的中线长是2，则S△ABC=　 　
12、如图, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .
12题图 13题图 14题图
13、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2（填“＞”或“＜”或“＝”）.　
14. 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
15，如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=________度．
　 15题图 17题图 18题图
16，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.　　
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为　 　．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD＝CA，CF平分∠ACB，AE＝EB，求证：EF＝BD．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．
（1）求∠B的度数：
（2）求证：BC＝3CE．
21. 如图，在平行四边形中，为边上一点，且．
（1）求证：．
（2）若平分，，求的度数．
22. 如图，在平行四边形中，，分别平分和，交于点，，，相交于点．
（1）试说明：；
（2）判断线段与的大小关系，并予以说明．
23．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，点D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG，
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形ABCD的边长为，∠BAG＝75°，求线段BG的长．
参考答案与解析
一、选择题(每题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B B D D D D A
二、填空题(每题3分,共24分)
11、4 12、30° 13、S1 ＝ S2
14．4﹣2或3.
14.
15. 67.5．
16. 9；
17．【分析】由三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质求出DF、EF、DE的长，即可得出答案．
【解答】解：∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，
∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，
∴DF＝AC＝6，EF＝BC＝4，DE＝AB＝6，
∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝6+4+6＝16；
故答案为：16．
【点评】此题考查的直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形中位线的性质，熟记以上性质是解题的关键．
18．【分析】由AD∥BC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9﹣3t＝5﹣t，解方程即可，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t﹣9＝5﹣t，解方程即可．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝9，
∵AD∥BC，
∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，
则得：9﹣3t＝5﹣t，
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，
则得：3t﹣9＝5﹣t，
解得：t＝3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2秒或3.5秒．
三、解答题(满分46分,19题6分，20、21、22、23、24题每题8分)
19．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F是AD中点，再根据三角形的中位线定理可得EF＝BD．
【解答】证明：∵CD＝CA，CF平分∠ACB，
∴F是AD中点，
∵AE＝EB，
∴E是AB中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
20．【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AE⊥CD，
∴∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠ECF＝∠CAF，
∵∠EAD＝∠DCB，
∴∠CAD＝2∠DCB，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠B+∠CAB＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝BE，CE＝AE，
∴BC＝3CE．
21.（1）四边形为平行四边形，
．
．
．
．
．
（2），
．
为等边三角形．
．
．
，
．
22.解：（1）方法一：如图①
在ABCD中，
，分别平分和
，
即
．
方法二：如图②，延长，相交于点
在ABCD中，
平分
平分
即．
（2）方法一：线段与是相等关系，即
在ABCD中，
又平分
同理可得，
又在ABCD中，
即．
方法二：如右图，延长，相交于点，延长，相交于点
在ABCD中，
平分
同理可得，
在ABCD中，
又在中，
，
，
．
23．【解答】解：（1）过点P作PF⊥CD于点F，如图：
由题意得BP＝t，AP＝10﹣t，PF＝4，EF＝7﹣t．
当t＝1时，△PAE不是直角三角形，理由如下：
当t＝1时，
PE2＝PF2+EF2＝42+（7﹣t）2＝16+36＝52，AP2＝（10﹣t）2＝81，
∵在长方形ABCD中，AB＝10，CE＝7，
∴DC＝AB＝10，
∴DE＝DC﹣CE＝10﹣7＝3，
又AD＝4，
∴AE2＝32+42＝25，
∵81≠52+25，
∴AP2≠PE2+EA2，
∴△PAE不是直角三角形；
（2）存在这样的t，使EA平分∠PED，理由如下：
若EA平分∠PED，则∠AED＝∠PEA，
∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝PA＝10﹣t，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
又∵在长方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形PADF为长方形，
∴PF＝AD＝4，
在Rt△PEF中，EP2＝EF2+PF2，
∴（10﹣t）2＝42+（7﹣t）2，
解得：t＝．
24．【解答】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2；
（2）过点A作AH⊥BG于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠BAG＝75°，
∴∠AGB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAG＝60°，
∴∠GAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝，
∴AH2＝BH2＝＝3，
∴AH＝BH＝，
在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°，
∴AG＝2HG，
∵AG2＝HG2+AH2，
∴（2HG）2＝HG2+（）2，
解得：HG＝1，
∴BG＝BH+HG＝+1．
5题图
图①
图②