2023-2024学年高二数学-第6章：计数原理章末复习-（人教A版2019选择性必修第三册）
题型一 两种计数原理综合应用
【例1】（23-24高二下·江西·开学考试）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种 B．12种 C．24种 D．72种
【答案】B
【解析】任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，
第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片，
由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）．故选：B．
【变式1-1】（23-24高二下·天津蓟州·月考）将3个不同的小球放入5个不同盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】每个不同小球都有5种不同放法，故共有种不同放法.故选：C.
【变式1-2】（23-24高二下·河北沧州·月考）为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（ ）
A．210种 B．336种 C．504种 D．672种
【答案】C
【解析】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果，
原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果，
同理插入最后一个节目有种结果，
根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种．故选：C．
【变式1-3】（2024高二下·全国·专题练习）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【答案】D
【解析】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；
第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；
第三天同上，有4种排法；
第四天同上，有4种排法；
第五天同上，有4种排法．
根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为．故选:D．
【变式1-4】（23-24高二下·吉林延边·月考）现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人.
（1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？
【答案】（1）18；（2）360；（3）119
【解析】（1）分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法；
第二类，从二组中选1人，有4种方法；
第三类，从三组中选1人，有5种方法；
第四类，从四组中选1人，有6种方法.
所以不同的选法共有种方法.
（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长，
所以不同的选法共有种方法；
（3）分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有种方法；
第二类，从一、三组中各选1人，有种方法；
第三类，从一、四组中各选1人，有种方法；
第四类，从二、三组中各选1人，有种方法；
第五类，从二、四组中各选1人，有种方法；
第六类，从三、四组中各选1人，有种方法；
所以不同的选法共有种方法.
题型二 排列数与组合数的计算
【例2】（22-23高二下·安徽滁州·月考）已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】因为，
所以，即，解得或，
因为，所以.故选：C．
【变式2-1】（23-24高二下·浙江嘉兴·月考）下列等式中错误的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】对于（1），因，而，故不能恒成立，故（1）错误；
对于（2），因，则，故（2）正确；
对于（3），因，故（3）正确；
对于（4），因，
故（4）正确.故选：A.
【变式2-2】（22-23高二下·新疆喀什·月考）（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】，，，A正确；
，B错；
，，C正确；
，，D正确．故选：ACD．
【变式2-3】（23-24高二下·山西长治·月考）（多选）若且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由组合数的性质知，故A错误；
因为，，
故，故B正确；
由，得，故C正确；
，故D错误.故选：BC.
【变式2-4】（23-24高二下·山东青岛·月考）（1）计算：；(请用数字作答)
（2）解关于正整数n的方程：
【答案】（1）448；（2）
【解析】（1）原式；
（2）由化简得
展开得，
因，故可化简得：，
解得或 (舍)，故方程的正整数解为.
题型三 排列组合之排数问题
【例3】（23-24高二下·北京·月考）由这10个数字，可以组成（ ）个没有重复数字的三位数.
A．720 B．648 C．504 D．360
【答案】B
【解析】因为百位不为0，有9个数字可选，则十位有9个数字可选，个位有8个数字可选，
所以可以组成个没有重复数字的三位数.故选：B.
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏银川·月考）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
【答案】D
【解析】比2000大，故千位为2，3，4，
若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．
根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．故选:D．
【变式3-2】（22-23高二上·四川眉山·月考）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；
数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；
数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.故选：D
【变式3-3】（23-24高二下·江苏扬州·月考）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数．
（1）组成的六位数是偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
（2）若组成的六位数各个位置上奇偶相间，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
【答案】（1）312；（2）60
【解析】（1）若个位是0，则可组成个偶数，
若个位是2或4，则个偶数，
所以不同的六位数个数为个.
（2）情况一：组成的六位数按奇偶奇偶奇偶排列有个，
情况二：组成的六位数按偶奇偶奇偶奇排列有个，
所以不同的六位数个数为个.
【变式3-4】（23-24高二下·江苏扬州·月考）用0，1，2，3，4，5这两个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算）
（1）六位数；
（2）六位奇数；
（3）能被5整除的六位数；
（4）组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？
（5）六位数中数字1，2始终相邻的数
【答案】（1）600；（2）288；（3）216；（4）315204；（5）192
【解析】（1）先排首数，有种，最后排其它有种，
根据分步计数原理得，六位数有种；
（2）先排个位数，有种，
因为0不能在首位，再排首位有4种，最后排其它有种，
根据分步计数原理得，六位奇数有个；
（3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5，
个位数是0，则有种，
个位数是5，先排首位，0不作为首位，
则有种排法，其余位置有种排法，故共有个．
（4）首位数字不能为0，首位数字为1有种，
首位数字为2，有种，
首位数字为3，万位数字上为0,1，有种，
此时所有6位数有个，
故第268个数是，第267个数是，
第266个数是，第265个数是.
（5）先将1,2捆绑看做一个元素，有种方法，再排首位，除0外均可，有种，
再排其它位有种，故共有个数.
题型四 排列组合之排队问题
【例4】（23-24高二下·湖南益阳·月考）有六个人排成一排，若要求都不与相邻，则排法总数为（ ）
A．288 B．396 C．480 D．144
【答案】A
【解析】六个人排成一排共有种排法，
其中与相邻的排法有种，与相邻的排法也有种，
都与相邻的排法有种，
所以都不与相邻的排法有种，故选：A
【变式4-1】（23-24高二下·北京延庆·月考）身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（ ）
A．、、三位同学从左到右按照由高到短的顺序站，共有120种站法
B．与同学不相邻，共有种站法
C．、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法
D．不在排头，不在排尾，共有504种站法
【答案】C
【解析】对于A,6个人的全排列共有种方法，、、全排列有种方法，
所以、、三位同学从左到右按照由高到短的排列有种方法，故A正确；
对于B，先排其余4个人，有种方法，4个人有5个空，
利用插空法将、插入5个空中，有种方法，则共有种站法，故B正确；
对于C，、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间的排法共有2种，
将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法，
则共有种方法，故C错误；
对于D，6个人全排列共有种方法，
当在排头时，共有种方法，
当在排尾时，共有种方法，
当在排头且在排尾时，共有种方法，
则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D正确，故选：C.
【变式4-2】（23-24高二下·山东枣庄·月考）（多选）从名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】直接法：人中有男生女生有：种选法，人中有男生女生有：种选法，
人中有男生女生有：种选法，所以名男生和名女生中选人参加活动，
规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为，A正确；
间接法：从名男生和名女生中选人参加活动共有：种选法，
其中不合题意的有：全是男生有种选法，全是女生有：种选法，
所以名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，
则不同的选法种数为，D正确.故选：AD
【变式4-3】（23-24高二下·山西太原·月考）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．甲不能排在两侧的排法总数为72种
B．甲、乙相邻的排法总数为12种
C．甲、乙不相邻的排法总数为72种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法总数为36种
【答案】AC
【解析】对于A，甲不能排在两侧，则甲排在中间3个位置上，然后其余4人全排列，
共有种排法，A正确；
对于B，甲、乙相邻，利用捆绑法，共有种排法，B错误
对于C，甲、乙不相邻，先排其余3人，再将，甲、乙插入其余3人排完后形成的空中，
共有种排法，C正确；
对于D，甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有种排法
甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法总数为种，D错误，故选：AC
【变式4-4】（23-24高二下·广东中山·月考）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ）
A．不同的站队方式共有种
B．若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种
C．若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种
D．甲不在两端，则不同的站队方式共有种
【答案】ACD
【解析】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确；
对于B，甲和乙相邻的站队方式有种，B错误；
对于C，甲、乙、丙站一起的不同的站队方式有种，C正确；
对于D，甲不在两端的不同的站队方式有种，D正确.故选：ACD
题型五 排列组合之种植涂色问题
【例5】（23-24高二下·福建莆田·月考）如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ）
A．48 B．72 C．84 D．108
【答案】C
【解析】若同色，则有种方法，
若不同色，则有种方法，
所以不同涂法的种数为种.故选：C.
【变式5-1】（23-24高二下·山东滨州·月考）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．48 B．56 C．72 D．256
【答案】A
【解析】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法.故选：A.
【变式5-2】（23-24高二下·广东深圳·月考）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻
区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．108 B．96 C．84 D．48
【答案】C
【解析】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；
若选3种颜色，则①③或者②④中必有两块区域同色，
另两块区域不同色，共有种涂色方法；
若选4种颜色，共有种涂色方法；
故共有（种）涂色方法，故选：C
【变式5-3】（23-24高二下·江苏镇江·月考）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ）
A．72 B．96 C．240 D．360
【答案】B
【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类：仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，
则相当于从四种颜色中取三种颜色染三个区域有种染法；
第二类：用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，
则有3种方案不同色或不同色或不同色），
先从四种颜色中取两种染同色的两组区域有种染法，
剩余两种染在不同色区有种染法，共有种染法．
所以，由分类加法原理得总的染色种数为种．故选：B．
【变式5-4】（23-24高二下·河北邢台·月考）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
（1）要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
（2）要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
（3）要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
【答案】（1）种；（2）种；（3）种
【解析】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案．
（2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案；
第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案．
所以共有种不同的种植方案．
（3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，
则必然有2个区域种植相同颜色的花．
第一类，区域种植红色的花,4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案．
第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案．
第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，
所以不可能有2个区域种植白色的花，
故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案．
第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案．
综上，共有种不同的种植方案．
题型六 排列组合之分组分配问题
【例6】（23-24高二下·河南·月考）若将包含甲、乙在内的5名教师全部分配到两所学校支教，每校至少分配2人，则甲、乙不在同一学校的分配种数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】A
【解析】先将甲、乙分别分配给一所学校，共有种分配方式，
再从剩余三名教师中选出一人，随机分配一所学校，剩余人分配至另一所，共种，
故共有种.故选：A.
【变式6-1】（23-24高二下·河北石家庄·月考）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A．96种 B．132种 C．168种 D．204种
【答案】C
【解析】依题意其余位主播有两种情况：
①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；
②分别都是位主播去一个景点；
所以不同游玩方法（种）.故选：C
【变式6-2】（23-24高三下·重庆·月考）将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
【答案】C
【解析】第一种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种；
第二种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种.
不同的放法数为18.故选：.
【变式6-3】（23-24高二下·江苏·月考）（多选）有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C．分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
【答案】AC
【解析】选项A：先从6本书中分给甲2本有种分法，
再从其余4本书中分给乙2本有种分法，最后2本书给丙有种分法，
所以不同的分配方法有种，选项A说法正确；
选项B：先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有种分法，
再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有种，选项B说法错误；
选项C：先把6本不同的书分给甲乙两人每人各2本有种分法，
再将其余2本分给丙丁两人有种方法，
所以不同的分配方法有种，选项C说法正确；
选项D：先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有种方法，
再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有种，选项D说法错误；
故选：AC
【变式7-4】（23-24高二下·河北沧州·月考）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
【答案】（1）540种；（2）65种.
【解析】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
题型七 排列组合之定序问题
【例7】（23-24高二下·广东茂名·月考）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种
【答案】C
【解析】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法，
又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法.故选：C
【变式7-1】（23-24高二下·安徽滁州·月考）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
【答案】D
【解析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种，
然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题，
则可排成不同音序的种数为.故选：D.
【变式7-2】（23-24高二下·江苏南通·月考）“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选将“仁、义、礼”放好保持顺序不变，将“智”插空放入有4种方法，
将“信”插空放入有5种方法，共有20种方法，
将“仁义礼智信”排成一排共有种方法，
因此将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为.故选：D
【变式7-3】（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误.故选：D.
【变式7-4】（22-23高二下·山东烟台·期中）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
【答案】B
【解析】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
所以不同的上台顺序种数为.故选：B.
题型八 排列组合之最短路径问题
【例8】（23-24高二上·江西抚州·月考）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）
A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种
【答案】B
【解析】由题可知，不同的路线有种．故选：B.
【变式8-1】（23-24高二下·陕西咸阳·月考）（多选）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地.下列结论正确的有（ ）
A．不同的路径共有61条
B．不同的路径共有31条
C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经C地和D地，则不同的路径共有9条
【答案】BCD
【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，
其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，
则不同的路径共有条，故A错误、B正确；
若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；
若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D正确；故选：BCD.
【变式8-2】（22-23高二下·广西·月考）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（ ）
A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种
C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，
小明可以选择的不同路径共有种，故A正确；
对于选项B：小明与小齐相遇，则小明经过C，
小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为，
再从C到B需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为，
所以小明与小齐能相遇的不同路径共有种，B不正确；
对于选项C：小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，
则小明与小华相遇的点为正方形过点C的对角线上的四个点，
不同路径共有种，C正确；
对于选项D：小明从A到B的不同路径共有种，
小华从B到A的不同路径共有种，所以一共有400种，
则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．故选：ACD.
【变式8-3】（22-23高二下·重庆沙坪坝·期中）小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，则下列说法正确的是（ ）
A．小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条
B．小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条
C．小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为
D．小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【答案】ACD
【解析】由图知，要使小兵、小明到科技博物馆的路径最短，
则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
A：小明到科技博物馆需要向上4格，向右5格，
即小明共走9步其中4步向上，最短路径条数为条，正确；
B：小兵到科技博物馆需要向上1格，向右2格，
即小兵共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为条，错误；
C：小明到的最短路径走法有条，
再从F处和小兵一起到科技博物馆的路径最短有3条，
而小明到科技博物馆共有条，
所以到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为，正确；
D：由C选项知：，事件的概率，
所以，正确.故选：ACD.
【变式8-4】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步，
其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法，
又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步，
共有种不同的走法，
所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法.
题型九 二项式定理的正用和逆用
【例9】（22-23高二下·甘肃武威·月考）若对，恒成立，其中，则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由，
得，所以，.故选：C.
【变式9-1】（23-24高二下·上海·月考）已知是正整数，化简： ．
【答案】
【解析】.
【变式9-2】（23-24高二下·重庆·月考）（ ）.
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
【答案】C
【解析】原式=.故选：C.
【变式9-3】（22-23高二下·辽宁鞍山·月考）设，，则A－B的值为（ ）
A．128 B．129 C．47 D．0
【答案】A
【解析】，故选：A
【变式9-4】（23-24高二下·福建泉州·月考）若，且，则 ．
【答案】2011
【解析】因为的展开通项公式为，
所以，则，解得.
题型十 二项展开式中的特定项
【例10】（23-24高二下·江苏·月考）展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．180 D．
【答案】A
【解析】二项式的通项公式为，
令，所以展开式中的常数项为，故选：A
【变式10-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．30 D．90
【答案】D
【解析】，
的通项公式为，
令，则，则，
令，则，则，
所以展开式中 的系数为.故选：D.
【变式10-2】（23-24高二下·山东青岛·月考）的展开式中常数项为（ ）
A． B．15 C． D．
【答案】C
【解析】对于可写成，
故其通项为：，
即,
要求展开式中的常数项，需要x的幂指数为0，即需使，即，
当时，；当时，.
故二项展开式中的常数项为：故选：C.
【变式10-3】（23-24高二下·山东烟台·月考）在的展开式中，含的项的系数为 （用数字表示）．
【答案】1330
【解析】当时，展开式的通项为，
当时，展开式含的项，
所以，在的展开式中，
含的项的系数为
.
【变式10-4】（23-24高二下·贵州六盘水·月考）已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）10；（2）180
【解析】（1）由题可得展开式的通项为，
令，则第2项的系数为，
令，则第3项的系数为，
所以第2项的系数与第3项的系数之比为，解得：.
（2）由（1）知，所以展开式的通项为，
令，解得.
【变式10-5】（23-24高二下·河南·月考）已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和.
（1）求与的值；
（2）求其展开式中所有的有理项.
【答案】（1），；（2），
【解析】（1）在二项式的展开式中，第7项为，
由题意可知，，所以.
因为各项系数之和等于其二项式系数之和，所以令得，解得.
（2）二项式的展开式的通项为，，
令，解得，
所以其展开式中所有的有理项为，.
题型十一 二项式系数与系数最值问题
【例11】（2023高二下·北京房山·期中）展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项 B．第4顶 C．第5项 D．第6项
【答案】C
【解析】由题设，展开式中二项式对应二项式系数为，
所以，二项式系数最大的项为，即：第5项.故选：C
【变式11-1】（22-23高二下·江苏徐州·期中）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ）
A．4项 B．5项 C．6项 D．3项
【答案】A
【解析】由可得，
当，,则，
其展开式的通项为，
令,得,解得；
当,,则，
其展开式的通项为，
令，得，解得.
综上所述：，
所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项.故选:A.
【变式11-2】（23-24高二下·重庆·月考）已知实数不为零，展开式中只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中项的系数为 .
【答案】30
【解析】因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，
由组合知识可知，展开式中含项为.
【变式11-3】（23-24高二下·江苏·课前预习）在的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.
【答案】（1）第6项和第7项；（2）；（3）.
【解析】（1）的展开式的通项为，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，
而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.
（3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，
而第6项的系数为负，第7项的系数为正，
所以系数最大的项为第7项.
【变式11-4】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知是正整数，的展开式中的系数为17.
（1）当展开式中的系数最小时，求出此时的系数；
（2）已知的展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.
【答案】（1）140；（2）582
【解析】（1）根据二项式定理知，的展开式通项为，
根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为
，
故当或时，的系数的最小值为64，
此时，的系数为.
（2）由（1）知，则，
二项式展开式的通项为，
所以可得，再根据，即，求得，
此时，所以.
题型十二 利用赋值法解决系数和问题
【例12】（23-24高二下·福建莆田·月考）已知，则的值是 .
【答案】
【解析】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得.
【变式12-1】（23-24高二下·河北邯郸·月考）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】，故A错误；
在中，令，可得 ①，故B正确；
在中，令，可得 ②，
由，可得，故C正确；
令，得，可得，故D正确．故选：BCD．
【变式12-2】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）若，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，令，可得，
又，所以，故B正确；
对于C，因为，
展开式的通项公式为，所以，
所以，
令，则，
故，故C错误；
对于D，因为
，
所以，
令，可得，故D正确.故选：ABD
【变式12-3】（23-24高二下·北京怀柔·月考）设，，已知
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）-2；（2）-2；（3）128.
【解析】（1）根据二项式定理可得，，解得；
（2）由（1）知，，令得
再令得
所以；
（3）在式子中，
令可得
【变式12-4】（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）729
【解析】（1）令得，再将改为，
则
再令，得，
所以；
（2）设，
则
.
题型十三 二项式定理的应用
【例13】（23-24高二下·广西桂林·月考）被5除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，
而是整数，能被5整除，
所以被5除所得的余数为4.故选：D
【变式13-1】（22-23高二下·江苏泰州·月考）若是9的倍数，则自然数n为（ ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【解析】因为
，
又是9的倍数，
∴为偶数，即为奇数．故选：C.
【变式13-2】（22-23高二下·福建泉州·期中）今天是星期四，经过天后是星期（ ）
A．二 B．三 C．四 D．五
【答案】B
【解析】因为
因为前展开式中的前2023项都包含有7的倍数，
所以最后除以7的余数取决于最后一项即除以7的余数，为6，
所以应该是星期三，故选：B.
【变式13-3】（23-24高二下·福建莆田·月考）能被9整除的正整数的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
因为，所以S能被9整除的正整数a的最小值是，得.
【变式14-4】（22-23高二下·湖北黄冈·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ）
A．26 B．31 C．32 D．37
【答案】D
【解析】因为，
而，
因此除以的余数为除以的余数2，
而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，
37除以7的余数为2，即D满足.故选：D
题型十四 “杨辉三角”的简单应用
【例14】（23-24高二下·重庆·月考）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（ ）
A．136 B．153 C．190 D．210
【答案】C
【解析】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数，
所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数，
所以，，所以.故C正确.故选：C.
【变式14-1】（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…，记此数列的前n项之和为，则的值为（ ）．
A．452 B．848 C．984 D．1003
【答案】C
【解析】设数列为，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项，当为偶数时，
易知，且，所以，所以偶数项之和为，
当为奇数时，，，，，…，
所以，则，
所以前32项里面奇数项和为：，
又由组合数性质，
所以，
所以.故选：C.
【变式14-2】（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式：
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：
第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数．则关于的多项式的展开式中，项的系数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据广义杨辉三角的定义：
；
故；
关于的多项式的展开式中项的系数为
.故选：．
【变式14-3】（23-24高二下·贵州六盘水·月考）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表（第行从左至右每个数分别为），数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．第2024行的第1014个数最大
C．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
【答案】AD
【解析】A选项，，故A正确；
B选项，由图可知：第行有个数字，
如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；
如果是偶数，则第个数字最大，故第2024行的第1013个数最大，故B错误；
C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，
其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；
D选项，依题意：第34行第14个数字是，
第34行第15个数字是，所以，故D正确.故选：AD.
【变式14-4】（23-24高二上·陕西西安·月考）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．第20行中，第10个数最大
D．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由“杨辉三角”的规律可得A正确；
对于B选项，由二项式系数的性质知，B正确；
第20行的数是，最大的是第11个数，C错误；
第15行中，第7个数与第8个数分别是和，，D正确.故选：ABD.2023-2024学年高二数学-第6章：计数原理章末复习-（人教A版2019选择性必修第三册）
题型一 两种计数原理综合应用
【例1】（23-24高二下·江西·开学考试）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ）
A．9种 B．12种 C．24种 D．72种
【变式1-1】（23-24高二下·天津蓟州·月考）将3个不同的小球放入5个不同盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·河北沧州·月考）为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加
到节目单中，则不同的安排方式共有（ ）
A．210种 B．336种 C．504种 D．672种
【变式1-3】（2024高二下·全国·专题练习）5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【变式1-4】（23-24高二下·吉林延边·月考）现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人.
（1）选1人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每组选1名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？
题型二 排列数与组合数的计算
【例2】（22-23高二下·安徽滁州·月考）已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2-1】（23-24高二下·浙江嘉兴·月考）下列等式中错误的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】（22-23高二下·新疆喀什·月考）（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·山西长治·月考）（多选）若且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】（23-24高二下·山东青岛·月考）（1）计算：；(请用数字作答)
（2）解关于正整数n的方程：
题型三 排列组合之排数问题
【例3】（23-24高二下·北京·月考）由这10个数字，可以组成（ ）个没有重复数字的三位数.
A．720 B．648 C．504 D．360
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏银川·月考）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
【变式3-2】（22-23高二上·四川眉山·月考）从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高二下·江苏扬州·月考）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数．
（1）组成的六位数是偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
（2）若组成的六位数各个位置上奇偶相间，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
【变式3-4】（23-24高二下·江苏扬州·月考）用0，1，2，3，4，5这两个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算）
（1）六位数；
（2）六位奇数；
（3）能被5整除的六位数；
（4）组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？
（5）六位数中数字1，2始终相邻的数
题型四 排列组合之排队问题
【例4】（23-24高二下·湖南益阳·月考）有六个人排成一排，若要求都不与相邻，则排法总数为（ ）
A．288 B．396 C．480 D．144
【变式4-1】（23-24高二下·北京延庆·月考）身高各不同的六位同学、、、、、站成一排照相，说法不正确的是（ ）
A．、、三位同学从左到右按照由高到短的顺序站，共有120种站法
B．与同学不相邻，共有种站法
C．、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法
D．不在排头，不在排尾，共有504种站法
【变式4-2】（23-24高二下·山东枣庄·月考）（多选）从名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（23-24高二下·山西太原·月考）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．甲不能排在两侧的排法总数为72种
B．甲、乙相邻的排法总数为12种
C．甲、乙不相邻的排法总数为72种
D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法总数为36种
【变式4-4】（23-24高二下·广东中山·月考）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ）
A．不同的站队方式共有种
B．若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种
C．若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种
D．甲不在两端，则不同的站队方式共有种
题型五 排列组合之种植涂色问题
【例5】（23-24高二下·福建莆田·月考）如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ）
A．48 B．72 C．84 D．108
【变式5-1】（23-24高二下·山东滨州·月考）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．48 B．56 C．72 D．256
【变式5-2】（23-24高二下·广东深圳·月考）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．108 B．96 C．84 D．48
【变式5-3】（23-24高二下·江苏镇江·月考）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ）
A．72 B．96 C．240 D．360
【变式5-4】（23-24高二下·河北邢台·月考）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
（1）要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
（2）要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
（3）要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
题型六 排列组合之分组分配问题
【例6】（23-24高二下·河南·月考）若将包含甲、乙在内的5名教师全部分配到两所学校支教，每校至少分配2人，则甲、乙不在同一学校的分配种数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【变式6-1】（23-24高二下·河北石家庄·月考）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城
市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A．96种 B．132种 C．168种 D．204种
【变式6-2】（23-24高三下·重庆·月考）将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
【变式6-3】（23-24高二下·江苏·月考）（多选）有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C．分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
【变式7-4】（23-24高二下·河北沧州·月考）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
（1）求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
（2）若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
题型七 排列组合之定序问题
【例7】（23-24高二下·广东茂名·月考）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种
【变式7-1】（23-24高二下·安徽滁州·月考）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
【变式7-2】（23-24高二下·江苏南通·月考）“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排，其中“仁、义、礼”保持顺序不变的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【变式7-4】（22-23高二下·山东烟台·期中）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
题型八 排列组合之最短路径问题
【例8】（23-24高二上·江西抚州·月考）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）
A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种
【变式8-1】（23-24高二下·陕西咸阳·月考）（多选）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网.甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地.下列结论正确的有（ ）
A．不同的路径共有61条
B．不同的路径共有31条
C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经C地和D地，则不同的路径共有9条
【变式8-2】（22-23高二下·广西·月考）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（ ）
A．小明可以选择的不同路径共有20种 B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种
C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种 D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为
【变式8-3】（22-23高二下·重庆沙坪坝·期中）小明与小兵两位同学计划去科技博物馆参加活动．小明在如图的街道E处，小兵在如图的街道F处，科技博物馆位于如图的G处，则下列说法正确的是（ ）
A．小明到科技博物馆选择的最短路径条数为126条
B．小兵到科技博物馆选择的最短路径条数为4条
C．小明到科技博物馆在选择的最短路径中，与到F处和小兵会合一起到科技博物馆的概率为
D．小明与小兵到科技博物馆在选择的最短路径中，两人约定在科技博物馆门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：从F到科技博物馆两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【变式8-4】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）
题型九 二项式定理的正用和逆用
【例9】（22-23高二下·甘肃武威·月考）若对，恒成立，其中，则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【变式9-1】（23-24高二下·上海·月考）已知是正整数，化简： ．
【变式9-2】（23-24高二下·重庆·月考）（ ）.
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
【变式9-3】（22-23高二下·辽宁鞍山·月考）设，，则A－B的值为（ ）
A．128 B．129 C．47 D．0
【变式9-4】（23-24高二下·福建泉州·月考）若，且，则
．
题型十 二项展开式中的特定项
【例10】（23-24高二下·江苏·月考）展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．180 D．
【变式10-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．30 D．90
【变式10-2】（23-24高二下·山东青岛·月考）的展开式中常数项为（ ）
A． B．15 C． D．
【变式10-3】（23-24高二下·山东烟台·月考）在的展开式中，含的项的系数为 （用数字表示）．
【变式10-4】（23-24高二下·贵州六盘水·月考）已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
【变式10-5】（23-24高二下·河南·月考）已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和.
（1）求与的值；
（2）求其展开式中所有的有理项.
题型十一 二项式系数与系数最值问题
【例11】（2023高二下·北京房山·期中）展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项 B．第4顶 C．第5项 D．第6项
【变式11-1】（22-23高二下·江苏徐州·期中）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ）
A．4项 B．5项 C．6项 D．3项
【变式11-2】（23-24高二下·重庆·月考）已知实数不为零，展开式中只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中项的系数为 .
【变式11-3】（23-24高二下·江苏·课前预习）在的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.
【变式11-4】（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知是正整数，的展开式中的系数为17.
（1）当展开式中的系数最小时，求出此时的系数；
（2）已知的展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.
题型十二 利用赋值法解决系数和问题
【例12】（23-24高二下·福建莆田·月考）已知，则的值是 .
【变式12-1】（23-24高二下·河北邯郸·月考）（多选）已知
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-2】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）若，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-3】（23-24高二下·北京怀柔·月考）设，，已知
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【变式12-4】（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知
（1）求的值；
（2）求的值．
题型十三 二项式定理的应用
【例13】（23-24高二下·广西桂林·月考）被5除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式13-1】（22-23高二下·江苏泰州·月考）若是9的倍数，则自然数n为（ ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
【变式13-2】（22-23高二下·福建泉州·期中）今天是星期四，经过天后是星期（ ）
A．二 B．三 C．四 D．五
【变式13-3】（23-24高二下·福建莆田·月考）能被9整除的正整数的最小值为 .
【变式14-4】（22-23高二下·湖北黄冈·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ）
A．26 B．31 C．32 D．37
题型十四 “杨辉三角”的简单应用
【例14】（23-24高二下·重庆·月考）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（ ）
A．136 B．153 C．190 D．210
【变式14-1】（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：…，记此数列的前n项之和为，则的值为（ ）．
A．452 B．848 C．984 D．1003
【变式14-2】（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式：
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数．则关于的多项式的展开式中，项的系数（ ）
A． B．
C． D．
【变式14-3】（23-24高二下·贵州六盘水·月考）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表（第行从左至右每个数分别为），数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．第2024行的第1014个数最大
C．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
【变式14-4】（23-24高二上·陕西西安·月考）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．第20行中，第10个数最大
D．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9
