高中数学人教A版（2019）选择性必修2 第五章 运用函数导函数求函数的极值（或最值）学案
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修2 第五章 运用函数导函数求函数的极值（或最值）学案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-15 13:35:31 | ||
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文档简介
运用函数导函数求函数的极值（或最值）
【考纲解读】
理解函数极值（或最值）的定义，理解并掌握函数极值（或最值）存在定理；
掌握判断函数极值（或最值）存在和求函数极值（或最值）的基本方法，能够求出给定函数的极值（或最值）。
【知识精讲】。
一、函数极值的定义：
1、函数极大值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)2、函数极小值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)>f()，则称f()是函数的一个极小值，记作。
二、函数极值存在定理：
1、函数极大值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的一个极大值；
2、函数极小值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<，则f()是函数f(x)的一个极小值。
三、运用函数导函数求函数极值的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导数（x），令导函数（x）=0，求出函数可能的极值点（注意：导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）；
3、根据函数极值存在定理，判断函数在该点的极值是否存在（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应注意对根是否在定义域内进行讨论），并确定出函数在该点是极大值还是极小值；
4、确定函数在该点存在极值的基础上，求出函数在该点的函数值就可求出函数在该点的极大值（或极小值）。
四、函数最值存在定理：
如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。
五、运用函数导函数求函数在闭区间上最值的基本方法：
1、根据运用函数导函数求函数极值的基本方法，求出函数在区间上的极值；
2、求出函数在闭区间上两个端点的函数值；
3、比较所求极值与端点函数值的大小，最大的一个函数值为函数在闭区间上的最大值，最小的一个函数值为函数在闭区间上的最小值。
【探导考点】
考点1运用函数导函数求函数的极值：热点①判断函数在某点的极值是否存在；热点②求函数的极值；热点③已知函数在某点的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2运用函数导函数求函数的最值：热点①判断函数在某区间上的最值是否存在；热点②求函数在某区间上的最大值；热点③求函数在某区间上的最小值；
考点3运用函数导函数求函数极值和最值的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题： y
设（x）是函数f(x)的导函数，函数y=（x）
的图像如图所示，则函数f(x) 的图像最有可能是（ ） 0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
3、求函数f(x)= 的极大值；
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握函数极值存在的判定方法和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值。
〔练习1〕按要求解答下列问题：
1、函数f(x)= +2的极值点的（ ）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值；
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
求函数f(x)的极值；
若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
2、求函数y= - 的值域。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
6、已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在［1，2］上的最小值。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求函数的最值（或值域）的问题，解答这类问题应该理解函数最值（或值域）的定义和函数最值存在定理，掌握求函数最值（或值域）的基本求法，注意函数极值与最值之间的关系；
（2）利用导数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（3）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（4）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值与最小值；
已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 ；
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，求a的取值范围。
『思考问题3』
（1）【典例】是已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据运用函数导函数判断函数在某点存在极值和求函数极值（或最值）的基本方法得到关于参数的方程，不等式（或不等式组），然后求解方程，不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在某点存在极值的必要条件和求函数极值（或最值）的基本方法寻求函数解析式中参数应该满足的条件；②函数f(x)在某点存在极值的必要条件是函数在该点的导数值为0，判断函数在该点是否存在极值的基本方法是函数在该点左右的导函数符号相异，函数在某点的极值就是函数在该点的函数值，函数最值是依据函数最值存在定理，在求出函数极值的基础上确定函数的最值；③根据②得到关于参数的方程，不等式（或不等式组）；④求解方程，不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
2、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。
3、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对x〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、已知函数f(x)= +a+bx+在x=1处有极值为10，求f(x)。
『思考问题4』
【典例4】是解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要是忽视函数极值点与函数导函数零点之间的关系，导致解答出现错误；
解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，为避免忽视函数极值点与函数导函数零点之间关系的雷区，需要注意函数导函数的零点只是函数极值点的必要条件，而不是充分条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= 。
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 。
【追踪考试】
若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
4、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
5、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
7、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数求函数的极值；②运用函数导函数求函数的最值；③已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）几种类问题；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）
lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
2、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
3、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）
4、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
5、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
运用函数导函数求函数的极值（或最值）
【考纲解读】
理解函数极值（或最值）的定义，理解并掌握函数极值（或最值）存在定理；
掌握判断函数极值（或最值）存在和求函数极值（或最值）的基本方法，能够求出给定函数的极值（或最值）。
【知识精讲】。
一、函数极值的定义：
1、函数极大值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)2、函数极小值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)>f()，则称f()是函数的一个极小值，记作。
二、函数极值存在定理：
1、函数极大值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的一个极大值；
2、函数极小值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<，则f()是函数f(x)的一个极小值。
三、运用函数导函数求函数极值的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导数（x），令导函数（x）=0，求出函数可能的极值点（注意：导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）；
3、根据函数极值存在定理，判断函数在该点的极值是否存在（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应注意对根是否在定义域内进行讨论），并确定出函数在该点是极大值还是极小值；
4、确定函数在该点存在极值的基础上，求出函数在该点的函数值就可求出函数在该点的极大值（或极小值）。
四、函数最值存在定理：
如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。
五、运用函数导函数求函数在闭区间上最值的基本方法：
1、根据运用函数导函数求函数极值的基本方法，求出函数在区间上的极值；
2、求出函数在闭区间上两个端点的函数值；
3、比较所求极值与端点函数值的大小，最大的一个函数值为函数在闭区间上的最大值，最小的一个函数值为函数在闭区间上的最小值。
【探导考点】
考点1运用函数导函数求函数的极值：热点①判断函数在某点的极值是否存在；热点②求函数的极值；热点③已知函数在某点的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2运用函数导函数求函数的最值：热点①判断函数在某区间上的最值是否存在；热点②求函数在某区间上的最大值；热点③求函数在某区间上的最小值；
考点3运用函数导函数求函数极值和最值的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题： y
1、设（x）是函数f(x)的导函数，函数y=（x）
的图像如图所示，则函数f(x) 的图像最有可能是（ ） 0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数极值的定义与性质；③函数极值存在定理及运用；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数极值的性质，运用函数极值存在定理和求函数极值的基本方法，结合函数（x）的图像，确定出函数f(x) 最有可能的图像就可得出选项。
【详细解答】由函数函数（x）的图像可知，函数f(x) 在点x=0处取得极大值，在点x=2处取得极小值，函数f(x) 最有可能的图像是C中的图像，C正确，选C。
2、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】当x<-2时，(1-x)>0，函数y=(1-x) （x）>0，（x）>0，当-20，函数y=(1-x) （x）<0，（x）<0，当10，（x）<0，当x>2时，(1-x)<0，函数y=(1-x) （x）<0，（x）>0，
函数f(x)在x=-2时，取得极大值f(-2)，在x=2时，取得极小值f(2)，D正确，选D。
3、求函数f(x)= 的极大值；
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；④
函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)= 的极大值。
【详细解答】（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x=1，①当b>0时，x，（x）， x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
f(x)的变化情况如表所示， （x） - 0 + 0 -
= f(1)= = ； f(x)
②当b<0时，x，（x），f(x)的变化情况如表所示，= f(-1)
= = ；综上所述，当b>0 x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
时，=；当b<0时， （x） + 0 - 0 +
=。 f(x)
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）（x）=1-=，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，（1）==0，即a=e；（2）（x）=1-=，①当a0时，（x）>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)不存在极值；②当a>0时，令（x）=0解得：x=lna， x（-∞，lna）时，（x）<0，x（lna，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，即
= f(lna)= lna-1+1= lna，综上所述，当a0时，函数f(x)不存在极值；当a>0时，函数f(x)存在极小值lna。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)当a=2时的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）当a=2时，f(x)=x-2lnx，（x）=1-，（1）=1-2=-1，
f(1)=1-0=1，曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程为：y-1=-(x-1),即y=-x+2；（2）
（x）=1-=，①当a0时， （x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，即此时函数f(x)没有极值；②当a＞0时，令 （x）=0解得：
x=a， x（0，a）时，（x）<0，x（a，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即函数f(x)存在极小值f(a)=a-alna, 综上所述，当a0时，函数f(x)没有极值；当a＞0时，函数f(x)有= a-alna。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤求函数单调区间的基本方法；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组就可求出a，b，c的值；（2）运用求函数单调区间和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间与极值。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx+c，函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，（1）=3a+2b+c=0①， （-1）=3a-2b+c=0②，f(1)= a+b+c =-1③，联立①②③解得a=,b=0，c=-, a=,b=0，c=-；（2）由（1）知f(x)= -x，
（x）=-=（-1）=（x+1） x （-∞，-1）-1 （-1，1）1（1，+∞）
（x-1）,x，（x），f(x)的变化情况如表所示：（x） + - +
函数f(x)在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单 f(x)
调递增，在区间（-1，1）上单调递减；= f(1)= -=-1，= f(-1)= -
+=1。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数在某点导数的几何意义；⑧求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值；（3）利用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出点A（0,16）曲线y=f(x)的切线方程。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx-3，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3a+2b-3=0①， （-1）=3a-2b-3=0②，联立①②解得：a=1，b=0；（2）由（1）知f(x)=-3x，
（x）=3-3=3（x+1）（x-1），令（x）=0解得x=-1或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在区间（-∞，-1）， x （-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单 （x） + - +
调递减；= f(1)=1-3=-2， f(x)
= f(-1)= -1+3=2；（3）当x=0时，f(0)=0-0=0 16，点A（0,16）不在曲线y=f(x)上，设切线与曲线y=f(x)的切点为（，f()）, （）=3-3, f()=-3,曲线y=f(x)在点（，f()）处的切线方程为：y-(-3)=(3-3)(x-),y=(3-3)x-2,
点A（0，16）在切线上，16=-2，=-2，过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为：y=9x-16。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用判断函数在某点存在极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值点。
【详细解答】（1）（x）=3+2ax+b，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3+2a+b=0①， （-1）=3-2a+b=0②，联立①②解得：a=0，b=-3；（2）由（1）知f(x)=-3x，
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （x）=f(x)+2=-3x+2=（x-1）(+x-2)= (x+2)，令（x）=0解得x=-2或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示： x （-∞，-2）-2 （-2，1）1（1，+∞）
函数f(x)在点x=-2处取得极小值f(-2) ，即 （x） - + +
函数f(x)只有一个极小值点（-2，f(-2) ）。 f(x)
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握函数极值存在的判定方法和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值。
〔练习1〕按要求解答下列问题：
1、函数f(x)= +2的极值点的（ ）（答案：C）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；（答案：函数y=-2x-的极大值是1。）
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值； （答案：函数f(x)在（-∞，-），（0，）上单调递减，在（-，0），（，+∞）上单调递增；= f(-)
=f()=-+6= ，= f(0)= 0-0+6=6。）
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。（答案：（1）f(-1)是函数f(x)的极大值，f(1) 是函数f(x)的极小值；（2）过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为y=21x 16 。）
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。（答案：（1）a=e；（2）= f(lna)=lna-1+1=lna。）
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
求函数f(x)的极值；
（3）若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f()=-+-ln2=-ln2，= f(1)=- ++0=-；（3）实数c的取值范围（-∞，-ln2））
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，求出函数f(x) 在区间〔-2，2〕上的极值，同时求出f(-2)，f(2)的函数值，利用函数最值的性质和求函数最值的基本方法就可求出函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值。
【详细解答】（x）=4-4x x -2 (-2，-1) -1（-1，0）0（0，1） 1（1，2） 2
=4x(x+1)(x-1)，令 （x）=0解 （x） - + - +
得：x=-1或x=0或x=1，x， f(x) 13 4 5 4 13
（x），f(x)的变化情况如图所示：= f(-2)= f(2)=13，= f(-1)= f(1)=4。
2、求函数y= - 的值域。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质； ⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 的导数（x），运用求函数最值的基本方法，求出函数f(x)的最小值与最大值，就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】函数f(x)的定义域为［-2，+），（x）= -
==
=0在［-2，+）恒成立，函数f(x) 在区间［-2，+）上单调递增，= f(-2)=0-1=-1，无最大值，函数f(x)的值域为［-1，+）。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥求函数
极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 当a=1时的导数（2）的值，根据函数在某点导数的几何意义和求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，e）上的最小值。
【详细解答】（1）当a=1时，（x）=-+=，（2）=， f(2)
= +ln2-1=ln2- ，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为：y-( ln2- )= (x-2)，
即：y=x+ln2-1；（2）（x）=-+=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在区间（0，+）上单调递增，此时函数f(x)在区间（0，e）上无最值；②当a＞0时，令（x）=0得x=a，x（0，a）时，（x）＜0， x（a，+）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（0，a）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，若a＜e, = f(a)=1+lna-1=lna，若a＞e，＞f(e)= +1-1=，综上所述，当a0时，函数f(x)在区间（0，e）上无最值，当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e）上的最小值为lna，当ae时，函数f(x)在区间（0，e）上无最小值。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x）；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间〔0，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)，（x）=-1=；（2）令
（x）=0得x=1-a, ①当1-a0，即a1时，（x）＜0在区间〔0，2〕上恒成立，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递减，即= f(2)=ln(2+a)-2；②当0＜1-a2，即0＜a＜1时，x［0，1-a）时，（x）＞0， x（a，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，1-a）上单调递增，在区间（1-a，2］上单调递减， f(2)=ln(2+a)-2，f(0)=lna-0
=lna, f(2)- f(0) =ln(2+a)-2- lna=ln -2，若0＜a ＜，= f(0)= lna，若
a＜1，= f(2) =ln(2+a)-2，综上所述，当0＜a ＜时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为= lna，当a时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为=ln(2+a)-2。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【详细解答】（1）（x）=a+=，①当a0时， （x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增；②当a＜0时，令（x）=0解得：x=-或x=，若2，即a-时，（x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增， 综上所述，若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，则实数a的取值范围是［-，+）；（2）由（1）知，①当a-时，函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-;②当＜2，即a＜-时， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，函数f(x) 在区间（0，）上单调递增，在区间（，2〕上单调递减，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f()=-2， 综上所述，当a［-，+）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-，当a（-，-）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为=f()=-2。
6、已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在［1，2］上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间［1，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）（x）=-a=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立， 函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；②当a＞0时，令（x）=0解得：x=，
x（0，）时，（x）＞0， x（，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减，综上所述，当a0时，函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减；（2）①当＜1，即a＞1时，由（1）知（x）＜0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递减，= f(2)=ln2-2a；②当1＜2，即＜a1时，由（1）知， x［1，）时，（x）＞0， x（，2］时，（x）＜0， 函数f(x) 在区间［1，）上单调递增，在区间（，2］上单调递减， f(2)=ln2-2a，f(1)=ln1-a=-a，f(2)- f(1)=ln2-2a+a= ln2-a，若ln2＜a， =f(2)=ln2-2a，若ln2＞a，=f(1)=ln1-a=-a；③当2，即0＜a时，由（1）知（x）＞0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递增，
=f(1)=ln1-a=-a，综上所述，当0＜a＜ln2时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(1)=ln1-a=-a；当ln2a时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(2)=ln2-2a。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求函数的最值（或值域）的问题，解答这类问题应该理解函数最值（或值域）的定义和函数最值存在定理，掌握求函数最值（或值域）的基本求法，注意函数极值与最值之间的关系；
（2）利用导数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（3）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（4）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
1、设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值与最小值；（答案：函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值为f(1)= +2+1+1=，最小值为f(-2+ )=（7-4）（-2+）+2（7-4）-2++1=-2。）
2、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；（答案：= f(a-1+ )=2(1-)。）
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）实数a的取值范围是[0，+）；（2）①当a0时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；②当a-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；③当-1【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤运用导函数判断函数存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数极值的性质和判断函数存在极值的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=-ax+1，函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，联立①②③解得：
2a＜，实数a的取值范围是［2，），B正确，选B。
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数最值的性质和求函数最值的基本方法求出函数f(x)= --2x+5在区间［-1,2］的最小值，从而得到实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=3-x-2，令 x -1 (-1,- ) - (-,1) 1 (1,2) 2
EMBED Equation.DSMT4 （x）=0解得：x=- 或x=1，x， （x） + - +
（x），f(x)在区间［-1,2］上的变化 f(x) 7
情况如表所示： x∈［-1,2］时, = ，对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，实数a的取值范围是（-∞，）。
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，求a的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质； ⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）利用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1） h(x)=f(x)-g(x)= lnx-a-2x， (x)= -ax-2=，
函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间， (x)= 0，即a+2x-10有解，①当a＞0时，=4+4a=4（a+1）＞0, x∈［，+∞）时， (x)= 0，即函数h(x)在区间; ［，+∞）上单调递减 ②当a＜0时，=4+4a=4（a+1）＞0，即-1＜a＜0时，x∈（，）时， (x)= 0，即函数h(x)在区间; （，）上单调递减 ，综上所述，若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(-1，0) （0，+∞）；（2）函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减， (x)= 0，即a-在［1，4］上恒成立，设函数m（x）=-，（x）=-+=0在区间［1，4］上恒成立，函数m（x）在区间［1，4］上单调递增， x［1，4］时，= m（4）=-=-，若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，则实数a的取值范围是［-，+∞）。
『思考问题3』
（1）【典例】是已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据运用函数导函数判断函数在某点存在极值和求函数极值（或最值）的基本方法得到关于参数的方程，不等式（或不等式组），然后求解方程，不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在某点存在极值的必要条件和求函数极值（或最值）的基本方法寻求函数解析式中参数应该满足的条件；②函数f(x)在某点存在极值的必要条件是函数在该点的导数值为0，判断函数在该点是否存在极值的基本方法是函数在该点左右的导函数符号相异，函数在某点的极值就是函数在该点的函数值，函数最值是依据函数最值存在定理，在求出函数极值的基础上确定函数的最值；③根据②得到关于参数的方程，不等式（或不等式组）；④求解方程，不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。（答案：（1）a=2；（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（-∞，1]。）
3、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对x〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f(1)=- ++0=-，= f()=-+-ln2=-ln2；
（3）实数c的取值范围是（-∞，-+2ln2）。）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤运用导函数判断函数存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数极值的性质和判断函数存在极值的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=-ax+1，函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，联立①②③解得：
2a＜，实数a的取值范围是［2，），B正确，选B。
已知函数f(x)= +a+bx+在x=1处有极值为10，求f(x)。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x) 的导数（x），利用函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的方程组，求解方程组求出实数a，b的值，从而就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】（x）=3+2ax+b，函数f(x)在x=1处有极值为10，（1）=3+2a+b=0①，f(1)= 1+a+b+=10②，联立①②解得：a=4，b=-11，或a=-3，b=3，当a=-3，b=3时，f(x)= -3+3x+9，（x）=3-6x+3=3≥0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时x=1不是函数f(x)的极值点，a=4，b=-11，f(x)= +4-11x+16。
『思考问题4』
【典例4】是解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要是忽视函数极值点与函数导函数零点之间的关系，导致解答出现错误；
解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，为避免忽视函数极值点与函数导函数零点之间关系的雷区，需要注意函数导函数的零点只是函数极值点的必要条件，而不是充分条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= 。（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（-∞，）。）
【追踪考试】
1、若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）=--=，函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，方程 a-bx-2c=0在（0，+∞）有不同的两个根，= b+8ac＞0，且b/a＞0，且-2c/a＞0， b+8ac＞0，且a，b同号，a，c异号，综上所述，A错误，B，C，D正确，选BCD。
2、（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
【解析】
【考点】①函数极值定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③判断函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。（文）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。
【详细解答】（理） (x)=+2x（x+a）=（x+2）(3x+a)，函数f(x)=x在x=1处有极大值， (1)=（1+2）(3+a)=0，a=-3，若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3，D正确，选D。
（文） (x)=3+4ax+=（3x+a）(x+a)，函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值， (1)=（3+a）(1+a)=0，a=-3，或a=-1，若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3或-1，B正确，选B。
3、（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③运用函数导函数求函数极值的基本方法；④参数分类讨论原则与基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论原则与基本方法和函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。（文）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】（理）(x)=lnx+1-ax，设函数g(x)=lnx+1-ax，(x)=-a，①当a≤0时，(x)=-a＞0在（0，+）上恒成立，函数g(x)=(x)在（0，+）上单调递增，(1)=0+1-a>0，存在点（0，1）使()=0，x（0，）时，(x)<0，x（，1）时，(x)>0，此时函数f(x)存在极小值点，与题意不符；②当a>0时，令(x)=-a=0，解得x=，x（0，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数g(x)=(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g()=()=-lna+1-1=-lna，若a≥1，()=-lna<0，函数g(x)=(x)<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)不存在极大值点；若00，存在点（，+）使()=ln+1-a=0，即a=，x（，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数f(x)存在极大值点，2f（）=2ln-
=ln-）>（（，+）），设函数h(x)=xlnx-x-，（x（，+）），(x)=lnx+1-1=lnx，令(x)=lnx=0解得x=1，(x)>0在（，+）上恒成立，函数h(x)在（，+）上单调递增，h()=2--=0，>，a=（x（，+）），设函数u（x）=（x（，+）），(x)==<0在（，+）上恒成立，函数u（x）在（，+）上单调递减，0，则实数a的取值范围为（0，）。
（文）(x)=-2x，令(x)=0解得：x=0或x=2，x（-，0）（2，+）时，(x)>0，x（0，2）时，(x)<0，函数f(x)在（-，0），（2，+）上单调递增，在（0，2）上单调递减，函数f(x)的最大值为f(0)=0-0+1=1。
4、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出（2）的值就可得出选项。
【详细解答】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，（x）=-， （1）
a-b=0①，f(1)= aln1+b=b=-2②，联立①②解得：a=b=-2，（2）=-=-1+=-， B正确，选B。
5、（理）已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若<，则a的取值范围是 。
（文）函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2]的最小值，最大值分别为（ ）（2022全国高考乙卷）
A - ， B - ， C - ，+2 D - ，+2
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；④函数极值存在定理及运用；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。（文）根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)的最小值，最大值，就可得出选项。
【详细解答】（理）（x）=2lna-2ex=2(lna—ex)，设函数g(x)= 2lna-2ex，（x）=2lna-2e=2(lna-e)，①当a>1时，存在R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）<0，x（，+∞）时，（x）>0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，必有>，与题意不符；②当0R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）>0，x（，+∞）时，（x）
<0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，且<，
（）>0，2 lna-2e >0，>，000且a1）的极小值点和极大值点，且<，则a的取值范围是（0，）。（文）（x）=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，令（x）=0解得：x=或x=，当x[0, )[,2]时，（x）>0，当x[ ，)时，（x）<0，函数f(x)在[0, )， [,2]上单调递增，在[ ，)上单调递减， f(0)=1+0+1=2，f()=0+(+1) 1+1=+2，f()=0+(+1) （-1）=-，f(2)=1+0+1=2，当x[0, 2]时，=-，=+2，D正确，选D。
6、已知函数f(x)= -x+1，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 函数f(x)有两个极值点 B 函数f(x)有三个零点
C 点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心 D 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；⑤判断函数在某点存在极值的基本方法；⑥函数零点定义与性质；⑦确定函数零点的基本方法；⑧中心对称图形定义与性质；⑨求曲线曲线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法得到函数f(x)有两个极值点，可以判断A的正确与错误；求出函数f(x)的极大值和极小值，得到函数f(x)只有一个零点，可以判断B的正确与错误；由f(x)+ f(-x)=2，得到点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心，可以判断C的正确与错误；利用求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线y=f(x)在点（1，1）处的切线方程，可以判断D的正确与错误，从而得到所有正确的选项，就可得出选项。
【详细解答】（x）=3-1 x (-∞,- ) -(-，) （，+∞）
=3（x+）（x-），令 （x） + 0 - 0 +
（x）=0解得：x=-或x=，f(x)
x，（x），f(x)的变换情况如表所示，函数f(x)有两个极值点，A正确； f(-)=-+
+1=+1>0，f()=-+1=-+1>0，函数f(x)只有一个零点，B错误；
f(x)+ f(-x)= -x+1-+x+1=2，点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心，C正确；
（1）=3-1=2，f(1)=1-1+1=1，曲线y=f(x)在点（1，1）处的切线方程为：y-1=2(x-1)，
即y=2x-1，D错误，综上所述，AC正确，选AC。
7、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
【解析】
【考点】①函数单调性定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数h(x)= + lnx+x（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设M（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数M（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。（文）
根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数g(x)= + lnx+x在（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设h（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数h（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（理）设<，对任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，对任意， （0，2]，且<，都有f()+ g()+>f()+ g()+成立，函数h(x)= f(x)+ g(x)+x= + lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数M（x）=，（x）=
==，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数M（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= M（）==，若对任意， （0，2]，且，都有 >-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。（文）设<，对任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，对任意， （0，2]，且<，都有f()+>f()+成立，函数g(x)= f(x)-+x= + lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数h（x）=，（x）=
=，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数h（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= h（）==，若对任意， （0， 2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。
8、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②对数定义与性质；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，
+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
9、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=2x-1-2lnx，（x）=2-=，令（x）=0解得x=1，当x[，1）时，（x）<0，当x,（1，+）时，（x）>0，
= f(1)=2-1-0=1；②当0上恒成立，函数f(x)在（0，）上单调递减，> f()=1-1+2ln2=2ln2>1, 综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
10、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高
三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，得到f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数，利用函数导函数确定函数极值的基本方法求出函数g(x)的极值，作出函数g(x)的大致图像，由函数图像求出函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点时，实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，（x）=-3+6x=-3x(x-2)，令（x）=0解得：x=0或x=2，当x（-，0）（2，+）时，（x）＜0，当x（0，2）时，（x）＞0，函数g(x)在（-，0），（2，+）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
= g(0)=-0+0=0，= g(2)=-8+12=4，作出函数 y y=a
g(x)的大致图像如图所示，函数f(x)= -3+a有 g(x)= -+3且仅有一个零点，直线y=a与函数g(x)的图 0 1 2
像有且仅有一个交点，由图知实数a的取值范围是（-，0）（4，+），A正确，选A。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数求函数的极值；②运用函数导函数求函数的最值；③已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）几种类问题；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）
lnt的最小值为（ ）（答案：C）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）（答案：C）
A B C - D -
2、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）（答案：C）
A B C D
3、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）（答案：函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值为-。）
4、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：A）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
5、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）（答案：C）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A -1 B - C - D -
【考纲解读】
理解函数极值（或最值）的定义，理解并掌握函数极值（或最值）存在定理；
掌握判断函数极值（或最值）存在和求函数极值（或最值）的基本方法，能够求出给定函数的极值（或最值）。
【知识精讲】。
一、函数极值的定义：
1、函数极大值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)
二、函数极值存在定理：
1、函数极大值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的一个极大值；
2、函数极小值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<，则f()是函数f(x)的一个极小值。
三、运用函数导函数求函数极值的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导数（x），令导函数（x）=0，求出函数可能的极值点（注意：导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）；
3、根据函数极值存在定理，判断函数在该点的极值是否存在（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应注意对根是否在定义域内进行讨论），并确定出函数在该点是极大值还是极小值；
4、确定函数在该点存在极值的基础上，求出函数在该点的函数值就可求出函数在该点的极大值（或极小值）。
四、函数最值存在定理：
如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。
五、运用函数导函数求函数在闭区间上最值的基本方法：
1、根据运用函数导函数求函数极值的基本方法，求出函数在区间上的极值；
2、求出函数在闭区间上两个端点的函数值；
3、比较所求极值与端点函数值的大小，最大的一个函数值为函数在闭区间上的最大值，最小的一个函数值为函数在闭区间上的最小值。
【探导考点】
考点1运用函数导函数求函数的极值：热点①判断函数在某点的极值是否存在；热点②求函数的极值；热点③已知函数在某点的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2运用函数导函数求函数的最值：热点①判断函数在某区间上的最值是否存在；热点②求函数在某区间上的最大值；热点③求函数在某区间上的最小值；
考点3运用函数导函数求函数极值和最值的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题： y
设（x）是函数f(x)的导函数，函数y=（x）
的图像如图所示，则函数f(x) 的图像最有可能是（ ） 0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
3、求函数f(x)= 的极大值；
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握函数极值存在的判定方法和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值。
〔练习1〕按要求解答下列问题：
1、函数f(x)= +2的极值点的（ ）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值；
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
求函数f(x)的极值；
若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
2、求函数y= - 的值域。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
6、已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在［1，2］上的最小值。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求函数的最值（或值域）的问题，解答这类问题应该理解函数最值（或值域）的定义和函数最值存在定理，掌握求函数最值（或值域）的基本求法，注意函数极值与最值之间的关系；
（2）利用导数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（3）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（4）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值与最小值；
已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 ；
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，求a的取值范围。
『思考问题3』
（1）【典例】是已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据运用函数导函数判断函数在某点存在极值和求函数极值（或最值）的基本方法得到关于参数的方程，不等式（或不等式组），然后求解方程，不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在某点存在极值的必要条件和求函数极值（或最值）的基本方法寻求函数解析式中参数应该满足的条件；②函数f(x)在某点存在极值的必要条件是函数在该点的导数值为0，判断函数在该点是否存在极值的基本方法是函数在该点左右的导函数符号相异，函数在某点的极值就是函数在该点的函数值，函数最值是依据函数最值存在定理，在求出函数极值的基础上确定函数的最值；③根据②得到关于参数的方程，不等式（或不等式组）；④求解方程，不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；
2、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。
3、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对x〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
2、已知函数f(x)= +a+bx+在x=1处有极值为10，求f(x)。
『思考问题4』
【典例4】是解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要是忽视函数极值点与函数导函数零点之间的关系，导致解答出现错误；
解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，为避免忽视函数极值点与函数导函数零点之间关系的雷区，需要注意函数导函数的零点只是函数极值点的必要条件，而不是充分条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= 。
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 。
【追踪考试】
若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
4、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
5、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
7、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数求函数的极值；②运用函数导函数求函数的最值；③已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）几种类问题；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）
lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
2、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
3、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）
4、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
5、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
运用函数导函数求函数的极值（或最值）
【考纲解读】
理解函数极值（或最值）的定义，理解并掌握函数极值（或最值）存在定理；
掌握判断函数极值（或最值）存在和求函数极值（或最值）的基本方法，能够求出给定函数的极值（或最值）。
【知识精讲】。
一、函数极值的定义：
1、函数极大值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)
二、函数极值存在定理：
1、函数极大值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的一个极大值；
2、函数极小值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<，则f()是函数f(x)的一个极小值。
三、运用函数导函数求函数极值的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导数（x），令导函数（x）=0，求出函数可能的极值点（注意：导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）；
3、根据函数极值存在定理，判断函数在该点的极值是否存在（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应注意对根是否在定义域内进行讨论），并确定出函数在该点是极大值还是极小值；
4、确定函数在该点存在极值的基础上，求出函数在该点的函数值就可求出函数在该点的极大值（或极小值）。
四、函数最值存在定理：
如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。
五、运用函数导函数求函数在闭区间上最值的基本方法：
1、根据运用函数导函数求函数极值的基本方法，求出函数在区间上的极值；
2、求出函数在闭区间上两个端点的函数值；
3、比较所求极值与端点函数值的大小，最大的一个函数值为函数在闭区间上的最大值，最小的一个函数值为函数在闭区间上的最小值。
【探导考点】
考点1运用函数导函数求函数的极值：热点①判断函数在某点的极值是否存在；热点②求函数的极值；热点③已知函数在某点的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
考点2运用函数导函数求函数的最值：热点①判断函数在某区间上的最值是否存在；热点②求函数在某区间上的最大值；热点③求函数在某区间上的最小值；
考点3运用函数导函数求函数极值和最值的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题： y
1、设（x）是函数f(x)的导函数，函数y=（x）
的图像如图所示，则函数f(x) 的图像最有可能是（ ） 0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数极值的定义与性质；③函数极值存在定理及运用；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数极值的性质，运用函数极值存在定理和求函数极值的基本方法，结合函数（x）的图像，确定出函数f(x) 最有可能的图像就可得出选项。
【详细解答】由函数函数（x）的图像可知，函数f(x) 在点x=0处取得极大值，在点x=2处取得极小值，函数f(x) 最有可能的图像是C中的图像，C正确，选C。
2、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y
且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x
结论中一定成立的是（ ）
A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】当x<-2时，(1-x)>0，函数y=(1-x) （x）>0，（x）>0，当-2
函数f(x)在x=-2时，取得极大值f(-2)，在x=2时，取得极小值f(2)，D正确，选D。
3、求函数f(x)= 的极大值；
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；④
函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)= 的极大值。
【详细解答】（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x=1，①当b>0时，x，（x）， x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
f(x)的变化情况如表所示， （x） - 0 + 0 -
= f(1)= = ； f(x)
②当b<0时，x，（x），f(x)的变化情况如表所示，= f(-1)
= = ；综上所述，当b>0 x (-，-1) -1 （-1，1） 1 （1，+ ）
时，=；当b<0时， （x） + 0 - 0 +
=。 f(x)
4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）（x）=1-=，曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，（1）==0，即a=e；（2）（x）=1-=，①当a0时，（x）>0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)不存在极值；②当a>0时，令（x）=0解得：x=lna， x（-∞，lna）时，（x）<0，x（lna，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，即
= f(lna)= lna-1+1= lna，综上所述，当a0时，函数f(x)不存在极值；当a>0时，函数f(x)存在极小值lna。
5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。
（1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤函数极值的定义与性质；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)当a=2时的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；（2）运用判定函数在某点存在极值和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值。
【详细解答】（1）当a=2时，f(x)=x-2lnx，（x）=1-，（1）=1-2=-1，
f(1)=1-0=1，曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程为：y-1=-(x-1),即y=-x+2；（2）
（x）=1-=，①当a0时， （x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，即此时函数f(x)没有极值；②当a＞0时，令 （x）=0解得：
x=a， x（0，a）时，（x）<0，x（a，+∞）时，（x）>0，函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即函数f(x)存在极小值f(a)=a-alna, 综上所述，当a0时，函数f(x)没有极值；当a＞0时，函数f(x)有= a-alna。
6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f(x)的单调区间及极值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤求函数单调区间的基本方法；⑥判定函数在某点存在极值的基本方法；⑦求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组就可求出a，b，c的值；（2）运用求函数单调区间和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间与极值。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx+c，函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，（1）=3a+2b+c=0①， （-1）=3a-2b+c=0②，f(1)= a+b+c =-1③，联立①②③解得a=,b=0，c=-, a=,b=0，c=-；（2）由（1）知f(x)= -x，
（x）=-=（-1）=（x+1） x （-∞，-1）-1 （-1，1）1（1，+∞）
（x-1）,x，（x），f(x)的变化情况如表所示：（x） + - +
函数f(x)在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单 f(x)
调递增，在区间（-1，1）上单调递减；= f(1)= -=-1，= f(-1)= -
+=1。
7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。
（1）求a、b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数在某点导数的几何意义；⑧求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用函数极值的性质和求函数极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值；（3）利用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出点A（0,16）曲线y=f(x)的切线方程。
【详细解答】（1）（x）=3a+2bx-3，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3a+2b-3=0①， （-1）=3a-2b-3=0②，联立①②解得：a=1，b=0；（2）由（1）知f(x)=-3x，
（x）=3-3=3（x+1）（x-1），令（x）=0解得x=-1或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在区间（-∞，-1）， x （-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
（1，+∞）上单调递增，在区间（-1，1）上单 （x） + - +
调递减；= f(1)=1-3=-2， f(x)
= f(-1)= -1+3=2；（3）当x=0时，f(0)=0-0=0 16，点A（0,16）不在曲线y=f(x)上，设切线与曲线y=f(x)的切点为（，f()）, （）=3-3, f()=-3,曲线y=f(x)在点（，f()）处的切线方程为：y-(-3)=(3-3)(x-),y=(3-3)x-2,
点A（0，16）在切线上，16=-2，=-2，过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为：y=9x-16。
8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函数f(x)= +a+bx的两个极值点。
（1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数（x）=f(x)+2，求g(x)的极值点。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值；（2）运用判断函数在某点存在极值的基本方法就可求出函数f(x)的极值点。
【详细解答】（1）（x）=3+2ax+b，函数f(x) 在x= 1处取得极值，（1）=3+2a+b=0①， （-1）=3-2a+b=0②，联立①②解得：a=0，b=-3；（2）由（1）知f(x)=-3x，
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （x）=f(x)+2=-3x+2=（x-1）(+x-2)= (x+2)，令（x）=0解得x=-2或x=1，x，（x），f(x)的变化情况如表所示： x （-∞，-2）-2 （-2，1）1（1，+∞）
函数f(x)在点x=-2处取得极小值f(-2) ，即 （x） - + +
函数f(x)只有一个极小值点（-2，f(-2) ）。 f(x)
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用导数求函数极值的问题，解答这类问题应该理解函数极值的定义，掌握函数极值存在的判定方法和求函数极值的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值。
〔练习1〕按要求解答下列问题：
1、函数f(x)= +2的极值点的（ ）（答案：C）
A x=1 B x=-1 C x=1或x=-1或x=0 D x=0
2、函数y=-2x-的极大值是 ；（答案：函数y=-2x-的极大值是1。）
3、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
4、已知函数f(x)= -3+6，求函数的单调区间及极值； （答案：函数f(x)在（-∞，-），（0，）上单调递减，在（-，0），（，+∞）上单调递增；= f(-)
=f()=-+6= ，= f(0)= 0-0+6=6。）
5、已知函数f(x)=a+b-3x在x=±1处取得极值。
（1）判断f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。（答案：（1）f(-1)是函数f(x)的极大值，f(1) 是函数f(x)的极小值；（2）过点A（0，16）曲线y=f(x)的切线方程为y=21x 16 。）
6、已知函数f(x)=x-1+ (aR,e为自然对数的底数)。
（1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值；
（2）求函数f(x)的极值。（答案：（1）a=e；（2）= f(lna)=lna-1+1=lna。）
7、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=1，x= 处取得极值。
（1）求a、b的值；
求函数f(x)的极值；
（3）若对x∈〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f()=-+-ln2=-ln2，= f(1)=- ++0=-；（3）实数c的取值范围（-∞，-ln2））
【典例2】解答下列问题：
1、求函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值定义与性质；⑤判定函数在某点存在极值的基本方法；⑥求函数极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法，求出函数f(x) 在区间〔-2，2〕上的极值，同时求出f(-2)，f(2)的函数值，利用函数最值的性质和求函数最值的基本方法就可求出函数y=-2+5在区间〔-2，2〕上的最大值与最小值。
【详细解答】（x）=4-4x x -2 (-2，-1) -1（-1，0）0（0，1） 1（1，2） 2
=4x(x+1)(x-1)，令 （x）=0解 （x） - + - +
得：x=-1或x=0或x=1，x， f(x) 13 4 5 4 13
（x），f(x)的变化情况如图所示：= f(-2)= f(2)=13，= f(-1)= f(1)=4。
2、求函数y= - 的值域。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质； ⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 的导数（x），运用求函数最值的基本方法，求出函数f(x)的最小值与最大值，就可求出函数f(x)的值域。
【详细解答】函数f(x)的定义域为［-2，+），（x）= -
==
=0在［-2，+）恒成立，函数f(x) 在区间［-2，+）上单调递增，= f(-2)=0-1=-1，无最大值，函数f(x)的值域为［-1，+）。
3、已知aR，函数f(x)= +lnx-1。
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间（0，e）上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥求函数
极值的基本方法；⑦函数最值的定义与性质；⑧求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x) 当a=1时的导数（2）的值，根据函数在某点导数的几何意义和求曲线y=f(x)在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，e）上的最小值。
【详细解答】（1）当a=1时，（x）=-+=，（2）=， f(2)
= +ln2-1=ln2- ，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为：y-( ln2- )= (x-2)，
即：y=x+ln2-1；（2）（x）=-+=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在区间（0，+）上单调递增，此时函数f(x)在区间（0，e）上无最值；②当a＞0时，令（x）=0得x=a，x（0，a）时，（x）＜0， x（a，+）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（0，a）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，若a＜e, = f(a)=1+lna-1=lna，若a＞e，＞f(e)= +1-1=，综上所述，当a0时，函数f(x)在区间（0，e）上无最值，当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e）上的最小值为lna，当ae时，函数f(x)在区间（0，e）上无最小值。
4、已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x）；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间〔0，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)，（x）=-1=；（2）令
（x）=0得x=1-a, ①当1-a0，即a1时，（x）＜0在区间〔0，2〕上恒成立，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递减，即= f(2)=ln(2+a)-2；②当0＜1-a2，即0＜a＜1时，x［0，1-a）时，（x）＞0， x（a，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，1-a）上单调递增，在区间（1-a，2］上单调递减， f(2)=ln(2+a)-2，f(0)=lna-0
=lna, f(2)- f(0) =ln(2+a)-2- lna=ln -2，若0＜a ＜，= f(0)= lna，若
a＜1，= f(2) =ln(2+a)-2，综上所述，当0＜a ＜时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为= lna，当a时，函数f(x)在区间〔0，2〕的最小值为=ln(2+a)-2。
5、已知函数f(x)=ax- ，x∈（0，2〕。
（1）若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值。
【详细解答】（1）（x）=a+=，①当a0时， （x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增；②当a＜0时，令（x）=0解得：x=-或x=，若2，即a-时，（x）＞0在（0，2］上恒成立，函数f(x)在区间（0，2］上单调递增， 综上所述，若函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，则实数a的取值范围是［-，+）；（2）由（1）知，①当a-时，函数f(x) 在区间（0，2〕上单调递增，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-;②当＜2，即a＜-时， x∈（0，）时，（x）＞0，x∈（，2］时，（x）＜0，函数f(x) 在区间（0，）上单调递增，在区间（，2〕上单调递减，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f()=-2， 综上所述，当a［-，+）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为= f(2)=2a-，当a（-，-）时，函数f(x) 在区间（0，2〕上的最大值为=f()=-2。
6、已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R）。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f(x)在［1，2］上的最小值。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法；⑥函数最值的定义与性质；⑦求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)的单调区间；（2）运用求函数最值的基本方法，就可求出函数f(x) 在区间［1，2〕上的最小值。
【详细解答】（1）（x）=-a=，①当a0时，（x）＞0在（0，+）上恒成立， 函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；②当a＞0时，令（x）=0解得：x=，
x（0，）时，（x）＞0， x（，+）时，（x）＜0，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减，综上所述，当a0时，函数f(x) 在区间（0，+）上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在区间（0，）上单调递增，在区间（，+）上单调递减；（2）①当＜1，即a＞1时，由（1）知（x）＜0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递减，= f(2)=ln2-2a；②当1＜2，即＜a1时，由（1）知， x［1，）时，（x）＞0， x（，2］时，（x）＜0， 函数f(x) 在区间［1，）上单调递增，在区间（，2］上单调递减， f(2)=ln2-2a，f(1)=ln1-a=-a，f(2)- f(1)=ln2-2a+a= ln2-a，若ln2＜a， =f(2)=ln2-2a，若ln2＞a，=f(1)=ln1-a=-a；③当2，即0＜a时，由（1）知（x）＞0在［1，2］上恒成立，函数f(x)在区间［1，2］上单调递增，
=f(1)=ln1-a=-a，综上所述，当0＜a＜ln2时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(1)=ln1-a=-a；当ln2a时，函数f(x)在区间［1，2］的最小值为=f(2)=ln2-2a。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求函数的最值（或值域）的问题，解答这类问题应该理解函数最值（或值域）的定义和函数最值存在定理，掌握求函数最值（或值域）的基本求法，注意函数极值与最值之间的关系；
（2）利用导数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（3）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（4）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
1、设函数f(x)= +2+x+1，试求函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值与最小值；（答案：函数f(x)在区间〔-1,1〕上的最大值为f(1)= +2+1+1=，最小值为f(-2+ )=（7-4）（-2+）+2（7-4）-2++1=-2。）
2、已知a≥0,函数f(x)=( -2ax) ，求函数f(x)的最小值；（答案：= f(a-1+ )=2(1-)。）
3、已知函数f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函数f(x)在(0,1〕上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）实数a的取值范围是[0，+）；（2）①当a0时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；②当a-1时，函数f(x)在(0,1〕上的最大值为f(1)=2a-1；③当-1
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤运用导函数判断函数存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数极值的性质和判断函数存在极值的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=-ax+1，函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，联立①②③解得：
2a＜，实数a的取值范围是［2，），B正确，选B。
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数最值的定义与性质；⑤运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数最值的性质和求函数最值的基本方法求出函数f(x)= --2x+5在区间［-1,2］的最小值，从而得到实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=3-x-2，令 x -1 (-1,- ) - (-,1) 1 (1,2) 2
EMBED Equation.DSMT4 （x）=0解得：x=- 或x=1，x， （x） + - +
（x），f(x)在区间［-1,2］上的变化 f(x) 7
情况如表所示： x∈［-1,2］时, = ，对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，实数a的取值范围是（-∞，）。
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= a+2x(a 0)。
（1）若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，求a的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质； ⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）利用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1） h(x)=f(x)-g(x)= lnx-a-2x， (x)= -ax-2=，
函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间， (x)= 0，即a+2x-10有解，①当a＞0时，=4+4a=4（a+1）＞0, x∈［，+∞）时， (x)= 0，即函数h(x)在区间; ［，+∞）上单调递减 ②当a＜0时，=4+4a=4（a+1）＞0，即-1＜a＜0时，x∈（，）时， (x)= 0，即函数h(x)在区间; （，）上单调递减 ，综上所述，若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(-1，0) （0，+∞）；（2）函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减， (x)= 0，即a-在［1，4］上恒成立，设函数m（x）=-，（x）=-+=0在区间［1，4］上恒成立，函数m（x）在区间［1，4］上单调递增， x［1，4］时，= m（4）=-=-，若函数h(x)=f(x)-g(x)在［1，4］上单调递减，则实数a的取值范围是［-，+∞）。
『思考问题3』
（1）【典例】是已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据运用函数导函数判断函数在某点存在极值和求函数极值（或最值）的基本方法得到关于参数的方程，不等式（或不等式组），然后求解方程，不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在某点存在极值的必要条件和求函数极值（或最值）的基本方法寻求函数解析式中参数应该满足的条件；②函数f(x)在某点存在极值的必要条件是函数在该点的导数值为0，判断函数在该点是否存在极值的基本方法是函数在该点左右的导函数符号相异，函数在某点的极值就是函数在该点的函数值，函数最值是依据函数最值存在定理，在求出函数极值的基础上确定函数的最值；③根据②得到关于参数的方程，不等式（或不等式组）；④求解方程，不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= ；（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。（答案：（1）a=2；（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（-∞，1]。）
3、已知函数f(x)=2ax- +lnx在x=-1，x= 处取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极值；
（3）若对x〔，4〕时，f(x)＞c恒成立，求实数c的取值范围。（答案：（1）a=-，b=-；（2）= f(1)=- ++0=-，= f()=-+-ln2=-ln2；
（3）实数c的取值范围是（-∞，-+2ln2）。）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、若函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A （2，） B ［2，） C （2，） D ［2，）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数极值的定义与性质；⑤运用导函数判断函数存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数极值的性质和判断函数存在极值的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=-ax+1，函数f(x)= - +x+1在区间（，3）上有极值点，=-40①，（3）=10-3a＞0②，（）=-a＞0③，联立①②③解得：
2a＜，实数a的取值范围是［2，），B正确，选B。
已知函数f(x)= +a+bx+在x=1处有极值为10，求f(x)。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x) 的导数（x），利用函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的方程组，求解方程组求出实数a，b的值，从而就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】（x）=3+2ax+b，函数f(x)在x=1处有极值为10，（1）=3+2a+b=0①，f(1)= 1+a+b+=10②，联立①②解得：a=4，b=-11，或a=-3，b=3，当a=-3，b=3时，f(x)= -3+3x+9，（x）=3-6x+3=3≥0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时x=1不是函数f(x)的极值点，a=4，b=-11，f(x)= +4-11x+16。
『思考问题4』
【典例4】是解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要是忽视函数极值点与函数导函数零点之间的关系，导致解答出现错误；
解答运用函数导函数求函数极值（或最值）问题时，为避免忽视函数极值点与函数导函数零点之间关系的雷区，需要注意函数导函数的零点只是函数极值点的必要条件，而不是充分条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= +3a+bx+在x=-1时有极值0，则a-b= 。（答案：a-b=2或a-b=-23。）
2、设函数f(x)= --2x+5，若对任意x∈［-1,2］,都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是 。（答案：实数a的取值范围是（-∞，）。）
【追踪考试】
1、若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）=--=，函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，方程 a-bx-2c=0在（0，+∞）有不同的两个根，= b+8ac＞0，且b/a＞0，且-2c/a＞0， b+8ac＞0，且a，b同号，a，c异号，综上所述，A错误，B，C，D正确，选BCD。
2、（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
【解析】
【考点】①函数极值定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③判断函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。（文）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。
【详细解答】（理） (x)=+2x（x+a）=（x+2）(3x+a)，函数f(x)=x在x=1处有极大值， (1)=（1+2）(3+a)=0，a=-3，若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3，D正确，选D。
（文） (x)=3+4ax+=（3x+a）(x+a)，函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值， (1)=（3+a）(1+a)=0，a=-3，或a=-1，若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3或-1，B正确，选B。
3、（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③运用函数导函数求函数极值的基本方法；④参数分类讨论原则与基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论原则与基本方法和函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。（文）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】（理）(x)=lnx+1-ax，设函数g(x)=lnx+1-ax，(x)=-a，①当a≤0时，(x)=-a＞0在（0，+）上恒成立，函数g(x)=(x)在（0，+）上单调递增，(1)=0+1-a>0，存在点（0，1）使()=0，x（0，）时，(x)<0，x（，1）时，(x)>0，此时函数f(x)存在极小值点，与题意不符；②当a>0时，令(x)=-a=0，解得x=，x（0，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数g(x)=(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g()=()=-lna+1-1=-lna，若a≥1，()=-lna<0，函数g(x)=(x)<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)不存在极大值点；若0
=ln-）>（（，+）），设函数h(x)=xlnx-x-，（x（，+）），(x)=lnx+1-1=lnx，令(x)=lnx=0解得x=1，(x)>0在（，+）上恒成立，函数h(x)在（，+）上单调递增，h()=2--=0，>，a=（x（，+）），设函数u（x）=（x（，+）），(x)==<0在（，+）上恒成立，函数u（x）在（，+）上单调递减，0
（文）(x)=-2x，令(x)=0解得：x=0或x=2，x（-，0）（2，+）时，(x)>0，x（0，2）时，(x)<0，函数f(x)在（-，0），（2，+）上单调递增，在（0，2）上单调递减，函数f(x)的最大值为f(0)=0-0+1=1。
4、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出（2）的值就可得出选项。
【详细解答】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，（x）=-， （1）
a-b=0①，f(1)= aln1+b=b=-2②，联立①②解得：a=b=-2，（2）=-=-1+=-， B正确，选B。
5、（理）已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若<，则a的取值范围是 。
（文）函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2]的最小值，最大值分别为（ ）（2022全国高考乙卷）
A - ， B - ， C - ，+2 D - ，+2
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；④函数极值存在定理及运用；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。（文）根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)的最小值，最大值，就可得出选项。
【详细解答】（理）（x）=2lna-2ex=2(lna—ex)，设函数g(x)= 2lna-2ex，（x）=2lna-2e=2(lna-e)，①当a>1时，存在R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）<0，x（，+∞）时，（x）>0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，必有>，与题意不符；②当0
<0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，且<，
（）>0，2 lna-2e >0，>，0
6、已知函数f(x)= -x+1，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 函数f(x)有两个极值点 B 函数f(x)有三个零点
C 点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心 D 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；⑤判断函数在某点存在极值的基本方法；⑥函数零点定义与性质；⑦确定函数零点的基本方法；⑧中心对称图形定义与性质；⑨求曲线曲线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法得到函数f(x)有两个极值点，可以判断A的正确与错误；求出函数f(x)的极大值和极小值，得到函数f(x)只有一个零点，可以判断B的正确与错误；由f(x)+ f(-x)=2，得到点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心，可以判断C的正确与错误；利用求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线y=f(x)在点（1，1）处的切线方程，可以判断D的正确与错误，从而得到所有正确的选项，就可得出选项。
【详细解答】（x）=3-1 x (-∞,- ) -(-，) （，+∞）
=3（x+）（x-），令 （x） + 0 - 0 +
（x）=0解得：x=-或x=，f(x)
x，（x），f(x)的变换情况如表所示，函数f(x)有两个极值点，A正确； f(-)=-+
+1=+1>0，f()=-+1=-+1>0，函数f(x)只有一个零点，B错误；
f(x)+ f(-x)= -x+1-+x+1=2，点（0，1）是曲线y=f(x)的对称中心，C正确；
（1）=3-1=2，f(1)=1-1+1=1，曲线y=f(x)在点（1，1）处的切线方程为：y-1=2(x-1)，
即y=2x-1，D错误，综上所述，AC正确，选AC。
7、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
【解析】
【考点】①函数单调性定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数h(x)= + lnx+x（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设M（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数M（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。（文）
根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数g(x)= + lnx+x在（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设h（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数h（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（理）设<，对任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，对任意， （0，2]，且<，都有f()+ g()+>f()+ g()+成立，函数h(x)= f(x)+ g(x)+x= + lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数M（x）=，（x）=
==，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数M（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= M（）==，若对任意， （0，2]，且，都有 >-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。（文）设<，对任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，对任意， （0，2]，且<，都有f()+>f()+成立，函数g(x)= f(x)-+x= + lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数h（x）=，（x）=
=，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数h（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= h（）==，若对任意， （0， 2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。
8、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②对数定义与性质；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，
+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
9、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=2x-1-2lnx，（x）=2-=，令（x）=0解得x=1，当x[，1）时，（x）<0，当x,（1，+）时，（x）>0，
= f(1)=2-1-0=1；②当0
10、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高
三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，得到f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数，利用函数导函数确定函数极值的基本方法求出函数g(x)的极值，作出函数g(x)的大致图像，由函数图像求出函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点时，实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，（x）=-3+6x=-3x(x-2)，令（x）=0解得：x=0或x=2，当x（-，0）（2，+）时，（x）＜0，当x（0，2）时，（x）＞0，函数g(x)在（-，0），（2，+）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
= g(0)=-0+0=0，= g(2)=-8+12=4，作出函数 y y=a
g(x)的大致图像如图所示，函数f(x)= -3+a有 g(x)= -+3且仅有一个零点，直线y=a与函数g(x)的图 0 1 2
像有且仅有一个交点，由图知实数a的取值范围是（-，0）（4，+），A正确，选A。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数求函数的极值；②运用函数导函数求函数的最值；③已知函数的极值（或最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）几种类问题；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）
lnt的最小值为（ ）（答案：C）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）（答案：C）
A B C - D -
2、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）（答案：C）
A B C D
3、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）（答案：函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值为-。）
4、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：A）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
5、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）（答案：C）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A -1 B - C - D -