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提技能·题组训练
线段的比较、画法与线段的性质
1.比较线段a和b的长短,其结果一定是 ( )
A.a=b B.a>b
C.ab或a=b或a【解析】选D.比较线段a和b的长短,其结果有三种情况:a>b或a=b或a【方法技巧】线段长短比较的两种方法
1.度量法:用刻度尺量出两条线段的长度,再比较长短.
2.叠合法:利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上,使其中一个端点重合,另一个端点位于重合端点同侧,根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
2.(2014·安庆质检)如果线段AB=13cm,MA+MB=17cm,那么下面说法中正确的是
( )
A.点M在线段AB上
B.点M在直线AB上
C.点M在直线AB外
D.点M可能在直线AB上,也可能在直线AB外
【解析】选D.因为线段AB=13cm,MA+MB=17cm,所以点M可能在直线AB上,也可能在直线AB外,不在线段AB上.
【变式训练】若AB=MA+MB,ABA.点N在线段AB上,点M在线段AB外
B.点M,N均在线段AB上
C.点M,N均在线段AB外
D.点M在线段AB上,点N在线段AB外
【解析】选D.因为AB=MA+MB,所以可确定点M在线段AB上.又因为AB3.如图,学生要去博物馆参观,从学校A ( http: / / www.21cnjy.com )处到博物馆B处的路径共有(1),(2),(3)三条,为了节约时间,尽快从A处赶到B处,假设行走的速度不变,你认为应该走第 条线路(只填序号)最快,理由是 .
【解析】根据“两点之间,线段最短”可知,为了节约时间,尽快从A处赶到B处,应该走第(2)条线路.
答案:(2) 两点之间,线段最短
4.(2014·鄂州模拟)如图所示,在一条 ( http: / / www.21cnjy.com )笔直公路a的两侧,分别有A,B两个村庄,现要在公路a上建一个汽车站C,使汽车站到A,B两村的距离之和最小,问汽车站C的位置应如何确定
【解析】如图,连接AB与直线a交于点C,这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置.
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【知识归纳】线段的性质
1.内容:两点之间,线段最短.
2.应用:在平面内求最短问题时,往往利用线段的这一性质,
在立体图形中求最短问题时,先将立体图形转化为平面图形,再利用线段的这一性质.
线段的中点与和差
1.点P在线段EF上,四个等式①PE=PF;②PE=EF;③EF=2PE;④2PE=EF中能表示点P是EF中点的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选B.由线段中点的概念知①②④正确.
2.如图,C是线段AB的中点,D是CB上一点,下列说法中错误的是 ( )
A.CD=AC-BD B.CD=BC
C.CD=AB-BD D.CD=AD-BC
【解析】选B.因为C是线段AB的中点,所以AC=BC,所以CD=BC-BD=AC-BD=
AB-BD=AD-AC=AD-BC.
3.下列语句:
①线段AB就是A,B两点间的距离;
②线段AB的一半就是线段AB的中点;
③在所有连接两点的线中,直线最短;
④如果AB=BC=CD,则AD=3AB.
其中错误语句的个数是 ( )
A.0个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】选D.线段AB和线段 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的中点都是几何图形,而A,B两点间的距离和线段AB的一半都是数量,形与数不能划等号,故①②错.③把线段与直线的性质混淆了,故③错.④中的三条线段可能不在一条直线上,故④错,因此,这四个语句都是错误的.
4.(2014·黑河质检)如图,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC= .
【解析】因为CB=4cm,DB=7cm,所以DC=3cm,
因为D是AC的中点,所以AC=2DC=6cm.
答案:6cm
5.线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm,E,F分别是线段AB,CD的中点,求线段EF的长.
【解析】因为线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm,
所以BC=AC+BD-AD=4+4-6=2(cm).
所以AB+CD=AD-BC=6-2=4(cm).
又因为E,F分别是线段AB,CD中点,
所以EB=AB,CF=CD,
所以EB+CF=AB+CD=(AB+CD)=2cm,
所以EF=EB+BC+CF=2+2=4(cm).
【知识归纳】线段的计算
1.线段的长度和有理数一样,可以进行加减等运算.
2.如果题目中没有图形,一定要先画出图形,数形结合思想是数学学习的一种重要方法,应特别注意对线段的中点的灵活运用.
6.如图,延长线段AB到C,使BC=AB,D为AC的中点,DC=2,求AB的长.
【解析】设AB=x,则BC=AB=x,
所以AC=AB+BC=x,
又因为D为线段AC的中点且DC=2,
所以DC=x=2,解得:x=,
所以AB的长为.
【变式训练】在直线l上按指定方向依次取 ( http: / / www.21cnjy.com )点A,B,C,D,且使AB∶BC∶CD=2∶3∶4,如图所示,若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm,求AB的长.
【解析】根据题意得,设AB=2xcm,
那么BC=3xcm,CD=4xcm.则有:
MN=BM+BC+CN= x+3x+2x=15,
解得:x=,所以AB=2x=2×=5(cm).
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知线段AB=12cm,AB所在的直线上有一点C,且BC=6cm,D是线段AC的中点,求线段AD的长.
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(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错: _________________________________________________________
__________________________________________________________________
答案: (1)①
(2)本题漏掉了第二种情况：当点C在线段AB的延长线上时，此时
AD=(AB+BC)=(12+6)=9 (cm).
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提技能·题组训练
常见的几何体
1.在六角螺母、哈密瓜、易拉罐、足球、字典中,物体的形状类似于棱柱的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】选C.六角螺母、字典都有上、下两个底面,并且底面都是多边形,因此它们都类似于棱柱.故选C.
2.(2014·乐山实验月考)下面几何图形中,是棱柱的是 ( )
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【解题指南】判断棱柱的两个关键点
(1)由上下两个底面以及侧面组成.
(2)上下两个底面是完全相同的多边形,侧面是平行四边形.
【解析】选B.棱柱的侧面应是平行四边形,符合这个条件的只有选项B中的几何体.
【知识拓展】棱柱的性质
区别名称 顶点数 底面数 侧面数 总面数 侧棱数 总棱数
三棱柱 6 2 3 5 3 9
四棱柱 8 2 4 6 4 12
五棱柱 10 2 5 7 5 15
六棱柱 12 2 6 8 6 18
… … … … … … …
n棱柱 2n 2 n n+2 n 3n
3.(2014·山师附中质检)在下列四个立体图形中,不是多面体的是 ( )
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【解析】选D.A项中立体图形由四个平的面围成,B,C项中立体图形均由6个平的面围成,D项中立体图形有2个面,一个曲面,一个平面.
4.下列水平放置的四个几何体中,从正面看到的图形与其他三个不相同的是
( )
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【解析】选D.从正面看:三棱柱为长方形;圆柱为长方形;长方体为长方形;四棱锥为三角形.
【易错提醒】从不同方向看物体时,要注意视线应与该几何体的某个面垂直.
5.将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后,得到的图形是 ( )
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【解析】选C.由原正方体知,带图案的三个面相交于一点,A,B中带图案的三个面都不符合,D折叠后图案的位置不符,所以能得到的图形是C.
6.生活中有许多立体图形,如一个皮球可以看作 体,一枝铅笔可以看作
体,一节火车车厢可以看作 体.
【解析】解决此类问题,要熟悉生活中的立体图形,清楚立体图形的特征.皮球可以看作球体,铅笔可以看作柱体,一节火车车厢可以看作长方体.
答案:球 柱 长方
7.如图所示的立体图形中,球体有 ;多面体有 .
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【解析】只有一个曲面的有②,所以球体是②;由四个或四个以上多边形所围成的立体图形为①③⑤,所以多面体是①③⑤.
答案:② ①③⑤
【易错提醒】判断一个几何体是否是多面体时,不能看到一个几何体有多个面就判断为多面体,要注意多面体的每个面都是平面.
8.如图,实物图是一些具体的图形——三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )镜、方砖、帆布帐篷、笔筒、铅锤、粮囤、东方明珠电视塔,下图中是一些立体图形,找出与立体图形类似的实物图形.
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【解析】要准确判断出实物的几何体的形状,平时要多注意观察,也可用类似的实物作为参照.
答案:(a)3 (b)7 (c)4 (d)5 (e)2 (f)1 (g)6
【知识归纳】圆锥与棱锥的联系与区别
①相同点:都有一个底面,一个顶点.
②不同点:圆锥的底面是圆形,棱锥的底面是多边形;圆锥的侧面是一个曲面,棱锥的侧面是由几个平面围成的,且每个平面都是三角形.
9.请你把相应的实物与图形用线连结起来.
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【解析】
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【错在哪？】作业错例 课堂实拍
填空:判断下列实物类似于哪一种几何体.
(1)数学课本是 .
(2)粉笔是 .
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(1)找错:上面解析过程________(填“有”或“无”)错误.
(2)纠错: ________________________________________________________
_________________________________________________________________.
答案: (1)有
(2)数学课本的形状是长方体,粉笔的侧面是曲面,两个底面是两个大小不相等的圆,是圆台.
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提技能·题组训练
角的识别与表示
1.下图中表示∠ABC的图是 ( )
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【解析】选C.选项A为∠CAB,选项B不是角;选项D为∠ACD.
2.下列关于角的说法中,正确的有 ( )
①两条射线所组成的图形叫做角;
②角是有公共端点的两条射线;
③角是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形;
④两条射线,它们的端点重合时,可以形成角.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选B.①中忽视组成角 ( http: / / www.21cnjy.com )的两条射线必须有公共端点;②中把角与射线两个不同的概念混淆了,忽视角是一种基本图形;③中没有确定是否绕着它的端点旋转到另一个位置;④是正确的.
3.(2014·赤峰实验质检)如图所示,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是 ( )
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【解析】选D.∠O是一个单独的大写英文字母,它只能表示独立的一个角,而∠O还可用∠1或∠AOB表示,故只有D符合要求.
4.如图,以O为顶点且小于180°的角一共有多少个
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【解题指导】解答本题的基本思路:
1.先数出以OM为一边的角.
2.再数出以OA,OB,…为一边的角.
3.然后把它们加起来.
【解析】7+6+5+4+3+2+1==28.
【方法技巧】确定角的个数
1.数角的个数时必须做到不重不漏.
2.同一个平面内,从一个顶点出发有n条射线时,形成角的个数与一条直线上n个点形成线段的个数类似,为.
角的平分线及应用
1.如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是 ( )
A.∠3>∠4 B.∠3=∠4
C.∠3<∠4 D.不确定
【解析】选B.因为∠4+∠2=∠1,所以∠4=∠1-∠2,所以∠3=∠4.
2.如图,∠1=15°,∠AOC=90°,点B,O,D在一条直线上,则∠2的度数为 ( )
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A.75° B.85° C.95° D.105°
【解题指南】先根据∠AOC=90°,∠1=15°,求出∠BOC.再根据∠BOD为平角,求出∠2.
【解析】选D.因为∠BOC=∠AOC-∠1=90°-15°=75°,所以∠2=∠BOD-
∠BOC=180°-75°=105°.
3.如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD的度数是 ( )
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A.35° B.55° C.70° D.110°
【解析】选C.由OE平分∠COB,∠EOB=55°,得∠COB=110°,所以∠BOD=180°-110°=70°.
4.如图,∠AOC为直角,OC是∠BOD的平分线,且∠AOB=
35°,则∠AOD的度数为 .
【解析】因为∠AOC为直角,∠AOB=35°,
所以∠BOC=55°.
又OC平分∠BOD,
所以∠COD=55°,
所以∠AOD=55°+90°=145°.
答案:145°
5.如图,OC平分∠AOB,OD平分∠AOC,则图中相等的角有 .
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【解析】因为OC平分∠AOB,
所以∠AOC=∠BOC;
因为OD平分∠AOC,
所以∠AOD=∠COD.
答案:∠AOC=∠BOC,∠AOD=∠COD
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
若∠AOB=2∠BOC且∠AOB=80°,求∠AOC.
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(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错:________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
答案: (1)①
(2)此题应分OC在∠AOB内部和∠AOB外部两种情况.
①若OC在∠AOB内部，则∠AOC=∠AOB=40°.
②若OC在∠AOB外部,则∠AOC=∠AOB+∠BOC,
又∠AOB=80°,∠AOB=2∠BOC,
所以∠BOC=40°,
所以∠AOC=80°+40°=120°.
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提技能·题组训练
直线、射线、线段的表示方法
1.(2014·安庆模拟)如果将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子 ( )
A.一个 B.两个 C.三个 D.无数个
【解析】选B.两点确定一条直线.
2.图中能相交的是 ( )
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【解析】选B.选项B中的射线向上延伸可与直线AB相交,其他三个选项中的射线或直线均不能与另外一个图形相交.
3.下列说法中正确的是 ( )
A.延长线段AB到C B.延长射线AB
C.直线AB的端点之一是A D.延长射线OA到C
【解析】选A.射线不能延长,直线没有端点.
【知识归纳】直线、射线、线段的区别与联系
名称类别 直线 射线 线段
图形
表示方法 ①两个大写字母;②一个小写字母 两个大写字母(表示端点的字母在前) ①表示两端点的两个大写字母;②一个小写字母
端点个数 无 1个 2个
延伸性 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不可延伸
性质 两点确定一条直线 两点之间,线段最短
度量 不可以 不可以 可以
作图叙述 过A,B作直线AB 以A为端点作射线AB 连接AB
4.如图所示,OD,OE是 ( http: / / www.21cnjy.com )两条射线,A在射线OD上,B,C在射线OE上,则图中共有线段 条,分别是 ;共有 条射线,分别是 .
【解析】根据射线、线段的特征,结合图形进行判断.
答案:6 线段OA,OB,OC,BC,AC,AB 5 射线OD,OE,BE,AD,CE
5.如图,共有几条线段 如何用字母表示这些线段
【解析】有6条,表示为线段AB,线段AC,线段AD,线段BC,线段BD和线段CD.
根据几何语言画出图形
1.下列语句表达规范的是 ( )
A.直线a,b相交于一点m
B.延长直线AB
C.延长射线OA
D.延长线段AB到C,使BC=AB
【解析】选D.直线a,b ( http: / / www.21cnjy.com )相交于一点,点用大写字母表示,故选项A不规范;直线向两方无限延伸,故选项B不正确;射线OA沿从O到A的方向无限延伸,故不能延长射线OA,选项C不正确.
2.(2014·益阳质检)根据图形,填空:
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(1)延长线段 交线段BC的延长线于点E.
(2)延长线段DC交 的 于点F,射线CF是线段DC的 .
【解析】(1)延长线段AD交线段BC的延长线于点E;
(2)延长线段DC交线段AB的延长线于点F,射线CF是线段DC的延长线.
答案:(1)AD (2)线段AB 延长线 延长线
【知识归纳】直线的特征
(1)直线没有长短,向两方无限延伸.
(2)直线没有粗细.
(3)两点确定一条直线.
(4)两条直线相交有唯一一个交点.
3.如图,点A,B,C不在同一条直线上,
(1)画线段AB,BC,AC.
(2)画射线AB,CB和直线AC.
【解析】如图:
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【易错提醒】1.画直线时,经过任意两点都可画一条直线.
2.画射线时,先明确哪个点是端点.
3.画线段时,两端点的任何一方都不能延伸.
4.画图形时,表示点的字母不能小写.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,射线OA与射线OB表示的是同一条射线吗 射线AB与射线BA是同一条射线吗
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(1)错因:___________________________________________________.
(2)纠错: ___________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________答案: (1)没有搞清射线由端点和延伸方向决定的.
(2)当两条射线的端点和延伸方向相同时 ( http: / / www.21cnjy.com ),则表示同一条射线;否则表示的射线不相同,所以射线OA与射线OB表示同一条射线,射线AB与射线BA不是同一条射线.
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提技能·题组训练
余角和补角
1.下列说法中,正确的有 ( )
①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.设一个角为∠α,则与 ( http: / / www.21cnjy.com )它互补的角为∠β=180°-∠α.①当∠α为锐角时,∠α<90°,所以∠β>90°,所以∠β为钝角,①正确;②同理,若∠α为钝角,则它的补角∠β为锐角,∠β<∠α,②不正确;③设∠α+∠β=180°,
∠γ+∠β=180°,所以∠α=∠γ,③正确;④锐角与钝角的和不一定是180°,因此④不正确.故只有①③成立,故选B.
2.(2014·郴州质检)一个角的余角比它的补角的少20°,则这个角的度数为
( )
A.30° B.40° C.60° D.75°
【解析】选B.设这个角为x°,则它的余角为(90-x)°,
它的补角为(180-x)°,
根据题意,得90-x=(180-x)-20,解方程,得x=40.
【知识归纳】列方程求角的度数
1.设未知数,用含未知数的式子表示其他未知量.
2.找出相等关系,列出方程.
3.解方程确定角的度数.
3.已知∠α的补角是130°,则∠α= 度.
【解析】根据互为补角的定义,得∠α=180°-130°=50°.
答案:50
【变式训练】48°16′的补角是 ,72°39′16″的余角是 .
【解析】48°16′的补角为180°-48°16′=131°44′,
72°39′16″的余角为90°-72°39′16″=17°20′44″.
答案:131°44′ 17°20′44″
4.若∠α的余角等于40°,则∠α的补角为 .
【解析】因为∠α的余角为40°,所以∠α=90°-40°=50°,
所以∠α的补角为180°-50°=130°.
答案:130°
【互动探究】一个角的补角比这个角的余角大多少度
【解析】90°.设这个角 ( http: / / www.21cnjy.com )为∠α,则∠α的余角和补角分别表示为90°-∠α和180°-∠α,所以(180°-∠α)-(90°-∠α)=90°.
5.如图,∠AOB是直角,∠COD=90°,OB平分∠DOE,则∠3与
∠4是什么关系 并说明理由.
【解析】∠3=∠4,理由如下:
因为∠AOB是直角,∠COD=90°,
所以∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
所以∠2=∠3,
因为OB平分∠DOE,所以∠2=∠4,所以∠3=∠4.
余角、补角的性质及应用
1.∠A与∠B互补,∠B与∠C互补,∠C=80°,则∠A的度数是 .
【解析】因为同角的补角相等,
所以∠A=∠C=80°.
答案:80°
2.如图,将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起,如果∠1=40°,那么∠2=
度.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由题意知∠ACB=∠DCE=90°,∠1+∠ACE=90°,∠2+∠ACE=90°,
所以∠2=∠1=40°(同角的余角相等).
答案:40
3.如图,直线a和直线b相交于点O,∠1=50°,则∠2= .
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图,
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因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,
所以∠1=∠2,又∠1=50°,所以∠2=50°.
答案:50°
4.如图,BD和CE分别为△ABC中AC和AB边上的高,若∠1=20°,则∠2= .
【解析】因为BD和CE为△ABC的高,
所以∠ADB=∠AEC=90°,
又三角形的内角和为180°,
所以∠A+∠1+∠ADB=180°,
所以∠A+∠1=90°,
同理∠A+∠2=90°,
所以∠1=∠2,又∠1=20°,
所以∠2=20°.
答案:20°
【互动探究】若此题中AB=18,AC=15,BD=12,则CE的长为多少
【解析】因为S△ABC=AB·CE,
S△ABC=AC·BD,
所以AB·CE=AC·BD,即18CE=15×12,
所以CE==10.
5.如图,∠AOC和∠BOD都是直角,如果∠AOB=150°,求∠COD的度数.
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【解析】因为∠BOD是直角,
所以∠BOD=90°,
又因为∠AOB=150°,
所以∠AOD=150°-90°=60°,
又因为∠AOC是直角,
所以∠COD=90°-∠AOD=90°-60°=30°.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
如图,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角.
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
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(1)错因:___________________________________________________________.
(2)纠错: __________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
答案: (1) (1)中找的补角不全;(2)∠COD与∠COE互余
(2) (1)∠AOD的补角是∠BOD,∠COD，∠BOE的补角是∠AOE,∠COE；(2)∠COD与∠COE互余.因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,所以∠COD=∠BOC,∠COE=
∠AOC,又∠BOC+∠AOC=180°，所以∠COD+∠COE=90°.
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提技能·题组训练
角的度、分、秒的换算
1.36.33°可化为 ( )
A.36°30′3″ B.36°33′
C.36°30′30″ D.36°19′48″
【解析】选D.因为0.33×60′=19.8′,0.8×60″=48″,
所以36.33°=36°19′48″.
【易错提醒】要注意进位原则(满60进1)和退位原则(借1当60).
2.14时的钟表的时针与分针所形成的角的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.钟表的1个大格是周角=30°,14时的时针与分针形成的角是2个大格,故为60°.
3.(1)24′= °.(2)39°12′= °.
【解析】(1)24′=24×°=0.4°.
(2)因为12′=12×°=0.2°,所以39°12′=39.2°.
答案:(1)0.4 (2)39.2
4.(2014·新沂实验质检)将26°48′36″用度表示.
【解析】把36″化成分,36″=′×36=0.6′,
48′+0.6′=48.6′,
把48.6′化成度,48.6′=°×48.6=0.81°.
所以26°48′36″=26.81°.
【知识归纳】角的度、分、秒的换算
1.用度、分、秒表示度时,要先把度的小数部分化成分,再把分的小数部分化成秒,用公式1°=60′,1′=60″.
2.用度表示度、分、秒时,要先把秒化成分,再把分化成度,用公式1″=′,
1′=°.
5.(1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式.
(2)把33°24′36″转化成度表示的形式.
【解析】(1)26.29°=26°+0.29°=26°+0.29×60′
=26°+17.4′
=26°+17′+0.4×60″=26°17′+24″=26°17′24″.
(2)33°24′36″=33°+24′+36×′=33°+24′+0.6′
=33°+24.6′=33°+24.6×°=33.41°.
6.(1)1.05°等于多少分 等于多少秒
(2)将70.23°用度、分、秒表示.
【解析】(1)60′×1.05=63′;3600″×1.05=3780″.
所以1.05°等于63分,等于3780秒.
(2)将0.23°化为分,可得0.23×60′=13.8′,
再把0.8′化为秒,得0.8×60″=48″.
所以70.23°=70°13′48″.
角度的运算
1.40°15′的一半是 ( )
A.20° B.20°7′ C.20°8′ D.20°7′30″
【解析】选D.×40°15′=20°+7.5′,
0.5′=0.5×60″=30″.
所以40°15′的一半是20°7′30″.
2.计算:86°23′12″-67°36′50″= .
【解析】86°23′12″-67°36′50″
=86°22′72″-67°36′50″
=85°82′72″-67°36′50″
=(85-67)°(82-36)′(72-50)″
=18°46′22″.
答案:18°46′22″
3.计算:(1)12°17′×4.
(2)159°52′÷5(精确到分).
【解析】(1)12°17′×4=12°×4+17′×4
=48°+68′=48°+(1°+8′)=49°8′.
(2)159°52′÷5
=159°÷5+52′÷5=31°+4°52′÷5
=31°+(4×60′+52′)÷5
≈31°58′.
【知识归纳】角度的运算
1.角度相加,应是度与度相加,分与分相加,秒与秒相加.但要注意度、分、秒之间的进位是60进制,进位时,60″=1′,60′=1°.
2.角度相减,度与度相减,分与分相减,秒与 ( http: / / www.21cnjy.com )秒相减.当分与分相减不够减时,应向度借,当秒与秒相减不够减时,应向分借,借位时,1°=60′,1′=60″.
3.角度与数字相乘,就是用度、分、秒分别与数字相乘,如果满60分要进1度,满60秒要进1分.
4.角度除以数字,先用度除以数字,如果 ( http: / / www.21cnjy.com )度有余数,要将度余数乘以60化为分,然后再用分除以数字,若有余数,再把余数乘以60化成秒,再用秒除以数字.并注意题中要求的精确度,进行四舍五入.
【变式训练】计算:(1)15°24′×5.
(2)31°42′÷5.
【解析】(1)15°24′×5=75°120′=77°.
(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5=6°+102′÷5
=6°+20′+2′÷5
=6°20′+120″÷5
=6°20′+24″
=6°20′24″.
4.(2014·鸡西质检)如图,OC是∠AOD的平分线,OB是∠AOC的平分线,若∠COD=53°18′,求∠AOD和∠BOC.
【解析】因为OC是∠AOD的平分线,
所以∠AOD=2∠COD,
∠AOC=∠COD,
因为∠COD=53°18′,
所以∠AOD=2×53°18′=106°36′,∠AOC=53°18′.
因为OB是∠AOC的平分线,
所以∠BOC=∠AOC=×53°18′=26°39′.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
钟表上3时30分时的时针与分针的夹角是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)错因:_________________________________________________________
(2)纠错: ________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
答案: (1)没有弄清楚时针所在的位置.
(2) 3时30分时,分针指向6, ( http: / / www.21cnjy.com )时针在3和4的中间,所以时针和分针之间的夹角等于2个半大格的角度,又因为每个大格所夹的角度是30°,所以3点30分时,时针分针夹角是:30°×2+30°÷2=75°.
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