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提技能·题组训练
两个有理数的乘法运算
1.计算2×(-3)的结果是 ( )
A.6 B.-6 C.-1 D.5
【解析】选B.2×(-3)=-2×3=-6.
2.下列式子的结果中符号为正的是 ( )
A.(-5)×(+3) B.(+7)×(-6)
C.(-8)×0 D.(-6)×(-3.7)
【解析】选D.两数相乘,同号得正,异号得负;任何数与0相乘,都得0.
3.如果两个有理数的积为负数,和为正数,那么这两个有理数( )
A.都是负数
B.都是正数
C.一正一负且正数的绝对值大
D.一正一负且负数的绝对值大
【解析】选C.由积为负,可得两数异号,由和为正,则绝对值较大的数应是正数.
【互动探究】(1)把题干中的积为负数,改为“正数”其他条件不变,这两个数分别为什么数
(2)把题干中和为“正数”换为“负数”,这两个数分别为什么数
【解析】(1)积为正数,说明这两数两正或两负,和为正数,说明是两个正数.所以这两个数都是正数.
(2)积为负数,说明这两个数一正、一负,和为负数,说明这两个数负数的绝对值大.即这两个数一正、一负,负数的绝对值大于正数.
4.如果两个数的积是0,那么 ( )
A.两个数都是0 B.两个数是相反数
C.两个数都不是0 D.两个数中至少有一个是0
【解析】选D.两个数的积是0有两种情况:一是两个数都是0,二是两个数中有一个是0.
【变式训练】如果两个有理数中有一个是0,那么下列说法正确的是 ( )
A.如果另一个数是正数,那么这两个数的积是正数
B.如果另一个数是负数,那么这两个数的积是负数
C.它们的积一定是0
D.以上说法都不对
【解析】选C.因为任何数与0相乘,都得0,所以选C.
5.计算(-4)×= .
【解析】(-4)×=+=2.
答案:2
6.的相反数与绝对值分别为m和n,则mn= .
【解析】的相反数与绝对值分别为m和n,那么m和n分别是-,.则mn=×=-.
答案:-
7.计算:
(1)(-3.25)×.
(2)×(-0.8).
【解题指南】解答本题的三个关键
1.把小数化为分数.
2.把带分数化为假分数.
3.正确确定积的符号.
【解析】(1)(-3.25)×=-×=-.
(2)×(-0.8)=×=.
有理数乘法的应用
1.我们数学课本的厚度大约是9 mm,那么1000册这样的数学课本叠放在一起的高度约为 ( )
A.9 m B.90 m C.900 m D.9000 m
【解析】选A.9 mm=0.009 m,0.009×1000=9(m).
2.国庆节,林芳同学去智慧 ( http: / / www.21cnjy.com )宫,发现了一个秘密机关,机关的门口有一些写着整数的数字按钮.此时传来一个机器人的声音:“按两个数字,积等于-8”,请问林芳有多少种按法 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】选C.1×(-8)=-8,(-1)×8=-8;2×(-4)=-8;(-2)×4=-8.
3.若|a|=3,|b|=5,且a,b异号,则ab= .
【解析】由题意得a=±3,b=±5,
由a,b异号得a=3时,b=-5;
当a=-3时,b=5.故ab=-15.
答案:-15
【变式训练】若a=1,|b|=4,则ab的值为 .
【解析】由|b|=4,得b=±4;
当a=1,b=4时,ab=4;
当a=1,b=-4时,ab=1×(-4)=-4.
答案:±4
【易错提醒】当已知某一因数的绝对值,求两个有理数的积时,要分类讨论,这个因数可能是正数,也可能是负数.
4.某粮食加工厂从生产的大米中抽出20袋检查质量,以每袋50kg为标准,将超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,结果记录如下:
与标准质量的偏差:
单位(kg) -0.7 -0.5 -0.2 0 +0.4 +0.5 +0.7
袋数 1 3 4 5 3 3 1
问:这20袋大米共超重或不足多少千克 总质量为多少千克
【解析】-0.7×1-0.5×3-0.2×4+0×5+0.4×3+0.5×3+0.7×1=+0.4(kg),
即这20袋大米共超重0.4kg.
这20袋大米的总质量是50×20+0.4=1000.4(kg).
答:这20袋大米共超重0.4kg,总质量为1000.4kg.
5.在一个秘密俱乐部中,有 ( http: / / www.21cnjy.com )一种特殊的算账方式:a*b=3a-4b,聪明的小东通过计算2*(-4)发现了这一秘密,他是这样计算的:“2*(-4)=3×2-4×(-4)=22”,假如规定:a*b=2a-3b-1,那么请你求2*(-3)的值.
【解析】2*(-3)=2×2-3×(-3)-1
=4-(-9)-1=4+9-1=12.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:×.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第______步开始出现错误,
(2)纠错:______ ________________________
答案: (1)②
(2)原式=
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提技能·题组训练
求一个数的倒数
1.下列说法中,错误的是 ( )
A.任何有理数都有倒数
B.互为倒数的两个数的积为1
C.互为倒数的两个数同号
D.1和-1的绝对值互为倒数
【解析】选A.有理数中0没有倒数.
【知识归纳】从两个方面正确理解倒数
1.关系:倒数是指两个数之间的关系,单独一个数不能称为倒数.
2.符号:互为倒数的两个数符号相同.
2. -1的倒数是 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【解析】选B.因为-1是一个整数,
所以-1的倒数就是=-1.
3. -6的倒数是 ( )
A.6 B.-6 C. D.-
【解析】选D.-6的倒数是1÷(-6)=1×=-.
4. -的倒数是 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选D.由倒数的概念知-的倒数是-.
【变式训练】-的倒数的绝对值为 .
【解析】因为-的倒数是-,-=,所以-的倒数的绝对值是.
答案:
5.若x的倒数是7.1,则x= .
【解析】因为7.1的倒数是,所以x=.
答案:
6.若一个数的相反数为-2.5,则这个数是 ,它的倒数是 .
【解析】若一个数的相反数为-2.5,则这个数是2.5,因为2.5×0.4=1,所以2.5的倒数是0.4.
答案:2.5 0.4
有理数的除法
1.计算6÷(-3)的结果为 ( )
A.- B.-2 C.-3 D.-18
【解析】选B.6÷(-3)=-(6÷3)=-2.
2.下列运算正确的是 ( )
A.÷(-3)=3×(-3)
B.(-5)÷=(-5)×(-2)
C.×=1
D.(-6)÷(-18)=3
【解析】选B.选项A中的被除数不能变为其倒数;选项C的结果是-1;选项D的结果是.
【变式训练】下列计算中,正确的是 ( )
A.-5÷=-1 B.-5÷=1
C.-5÷=-25 D.-5÷=25
【解析】选C.-5÷=-5×5=-25.
3.计算:(-6)÷= .
【解析】(-6)÷=6×=.
答案:
【知识归纳】化简分数的两种方法
1.把分数转化为除法,利用有理数的除法法则进行化简.
2.利用分数的基本性质,分子和分母都乘以同一个数或都除以同一个不为0的数结果不变进行化简.
4.计算:(1)-72÷(-18).(2)1÷.
(3)÷.(4)÷9.
【解析】(1)-72÷(-18)=72÷18=4.
(2)1÷=-×=-.
(3)÷=-×=-.
(4)÷9=-÷9=-.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:-21÷(-3).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第______步开始出现错误.
(2)纠错:______ _________________________________
________________________________________________
答案: (1)①
(2)
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提技能·题组训练
有理数的减法运算
1.计算-10-8所得的结果是 ( )
A.-2 B.2 C.18 D.-18
【解析】选D.-10-8=-10+(-8)=-18.
2.计算-,正确的结果为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选D.-=-=+=-.
【变式训练】下列计算正确的是 ( )
A.(-14)-(+5)=-9 B.0-(-3)=3
C.(-3)-(-3)=-6 D.︱1-7︱=1+(-7)=-6
【解析】选B.选项A的结果是-19;选项C的结果是0;选项D的结果是6.
3.计算:0-7= .
【解析】0-7=0+(-7)=-7.
答案:-7
4.计算:︱-3︱-6= .
【解析】|-3|-6=3-6=3+(-6)=-3.
答案:-3
【易错提醒】本题易与计算(-3)-6混淆,应先计算︱-3︱,再计算|-3|-6.
5.-0.25比-0.52大 ;比-1小2的数是 .
【解析】(-0.25)-(-0.52)=-0.25+0.52=0.27;
-2=+(-2)=-3.
答案:0.27 -3
6.计算:(1)(-32)-4.
(2)7.3-(-6.7).
(3)(-2014)-(-2015).
(4)0-(-20).
(5)(-4.9)-.
【解析】(1)(-32)-4=(-32)+(-4)=-36.
(2)7.3-(-6.7)=7.3+6.7=14.
(3)(-2014)-(-2015)
=-2014+2015=1.
(4)0-(-20)=0+20=20.
(5)(-4.9)-=-4.9+6=1.35.
【知识归纳】有理数减法三点注意
(1)计算有理数的减法时应先弄清减数的符号是 ( http: / / www.21cnjy.com )“+”还是“-”.(2)将有理数的减法转化为加法时,要先同时改变两个符号,将运算符号“-”变成“+”,同时要改变性质符号;(3)将减法统一成加法运算后,可以根据加法的运算律简化计算.
有理数的加减混合运算
1.计算(2-3)+(-1)的结果是 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
【解析】选A.原式=-1+(-1)=-2.
2.算式-3-(-5)+(-2)写成省略括号和加号和的形式,正确的是 ( )
A.-3+5-2 B.-3+5+2
C.-3-5-2 D.3+5-2
【解析】选A.-3-(-5)+(-2)=-3+5-2.
3.计算0.31-+0.69-最简便的方法是 ( )
A.按顺序计算
B.运用加法结合律
C.运用加法交换律
D.运用加法交换律和加法结合律
【解析】选D.先交换中间的两个数,再用加法结合律分别计算两个小数与两个分数.
4.如果四个有理数之和是12,其中三个数是-9,+8,-2,则第四个数是 .
【解析】由题意得,12-(-9)-(+8)-(-2)
=12+9-8+2=12+9+2-8=15.
答案:15
【变式训练】计算:(1)0-(-6)+2-(-13)-(+8).
(2)13-+-.
【解析】(1)原式=0+6+2+13-8=13.
(2)原式=13+++=13+++=16.
有理数加减混合运算的应用
1.某地某天的最高气温是8℃,最低气温是-2℃,则该地这一天的温差是 ( )
A.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃
【解析】选D.因为温差=最高气温-最低气温,所以温差=8-(-2)=8+2=10(℃).
2.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m,-15 m和-10 m,那么最高的地方比最低的地方高 ( )
A.10 m B.15 m C.35 m D.5 m
【解析】选C.最高的是20m,最低的是-15 m,20-(-15)=20+15=35(m).
3.小明今年对自己的储钱罐进行了如下活动: ( http: / / www.21cnjy.com )取出9.5元,存进5元,取出8元,存进12元,存进25元,取出1.2元,取出2元,这时储钱罐里现款比去年增加了
( )
A.21.3元 B.-21.3元
C.12元 D.-12元
【解析】选A.规定存入为正,取出为负,由题意得:
-9.5+5-8+12+25-1.2-2=(5+12+25)+(-9.5-8-1.2-2)=42-20.7=21.3(元).
4.温度上升5℃,又下降7℃,后来又下降3℃,三次共上升 ℃.
【解析】5-7-3=-5(℃).
答案:-5
5.松花江在某一水域上周末的水位是8 m,本周内水位变化情况如下表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/m -0.2 +0.4 -0.9 +0.5 +0.1 +0.2 -0.4
注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降.本周松花江在哪天水位最高
【解析】若把上周末的水位看成0点,则通过有理 ( http: / / www.21cnjy.com )数的加减法计算可知:周一的水位变化是:-0.2(m);周二的水位变化是:-0.2+0.4=0.2(m);周三的水位变化是:0.2-0.9=-0.7(m);周四的水位变化是:-0.7+0.5=-0.2(m);周五的水位变化是:-0.2+0.1=-0.1(m);周六的水位变化是:
-0.1+0.2=0.1(m);
周日的水位变化是:0.1-0.4=-0.3(m).
经过观察、比较,得出周二的水位最高.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:--+-.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_________步开始出现错误.
(2)纠错: ______________________________________________________
答案: (1) ①
(2)原式=
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提技能·题组训练
有理数的加法
1.计算(-3)+(-9)的结果是 ( )
A.12 B.-12 C.6 D.-6
【解析】选B.(-3)+(-9)=-(3+9)=-12.
2.计算(+2)+(-3)所得的结果是 ( )
A.1 B.-1 C.5 D.-5
【解析】选B.(+2)+(-3)=-(3-2)=-1.
3.若a与2互为相反数,则|a+2|等于 ( )
A.0 B.-2 C.2 D.4
【解析】选A.因为a与2互为相反数,所以a+2=0,
所以|a+2|=|0|=0.
【知识归纳】互为相反数与和为0的关系
1.若两个数互为相反数,则它们的和为0.
2.若两个数的和是0,则这两个数互为相反数.
4.两数相加,其和小于每一个加数,那么 ( )
A.这两个加数一定有一个为0
B.这两个加数一正一负,且负数的绝对值较大
C.这两个加数一定都是负数
D.这两个加数的符号不能确定
【解析】选C.选项A中的和等于不是零的那个加数;选项B中的和是负数但大于是负数的加数;两个负数的和小于每一个加数.
5. 2+(-1)= .
【解析】2+(-1)=1.
答案:1
【变式训练】计算:+= .
【解析】+=+=-.
答案:-
6.计算:(1)(+15)+(-8).
(2)(-0.6)+(-2.3).(3)1+.
【解析】(1)(+15)+(-8)=+(15-8)=7.
(2)(-0.6)+(-2.3)=-(0.6+2.3)=-2.9.
(3)1+(-)=+(-)=.
【解题技巧】有理数的加法运算口诀:同号相加一边倒,异号相加“大”减“小”,符号跟着大的跑,绝对值相等“零”正好.
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小.
有理数加法的实际应用
1.气温由-1℃上升2℃后是 ( )
A.-1℃ B.1℃ C.2℃ D.3℃
【解析】选B.(-1)+2=+(2-1)=1(℃).
2.某文具店今年第一季度盈余22000元,第二季度亏本5000元,该文具店今年上半年盈余(或亏本)可用算式表示为 ( )
A.(+22000)+(+5000) B.(-22000)+(+5000)
C.(-22000)+(-5000) D.(+22000)+(-5000)
【解析】选D.盈余记做正数,亏本记做负数,则该文具店今年上半年盈余(或亏本)可用算式表示为(+22000)+(-5000).
3.北京与巴黎两地的时差是-7小时(带正号的数表示同一时间比北京早的时间数),如果现在北京时间是7:00,那么巴黎的时间是 ( )
A.0:00 B.7:00 C.14:00 D.21:00
【解析】选A.根据题意得:7+(-7)=0,所以巴黎的时间是0:00.
【变式训练】纽约时间比香港时间迟13小时.你与一位在纽约的朋友约定,纽约时间4月1日晚上8时与他通话,假若在香港的你应 月 日
时给他打电话.
【解析】晚上8时即20时,20+13=33(时),33-24=9,即4月2日早上9时.
答案:4 2 早上9
4.冬季我国南北温差非常大,同一天哈尔滨可以到零下32℃,而广州比哈尔滨高52℃,则广州该天的温度是 ℃.
【解析】-32+52=+(52-32)=20(℃).
答案:20
【易错提醒】本题要先用负数表示零下32℃,不能把哈尔滨的温度错误地认为是32℃.
5.水位上升8cm,又下降13cm,则水位上升的结果是 cm.
【解析】由题意得(+8)+(-13)=-5(cm).
答案:-5
【互动探究】若改为“水位下降8cm,又下降13cm”,则水位上升的结果是
cm.
提示:由题意得(-8)+(-13)=-21(cm).
答案:-21
6.在一次水下机器人测试 ( http: / / www.21cnjy.com )中,机器人在海下时而上升,时而下降.机器人的初始位置在海平面下1500m,下面是机器人在某段时间内的运动情况(把上升记为“+”,下降记为“-”,单位:m):-2800,1600.问:现在机器人处在什么位置
【解析】根据题意可得:上升为“+”,下降为“-”;则现在机器人的位置距初始位置的距离是(-2800)+1600=-1200(m).
故(-1200)+(-1500)=-2700(m).
答:机器人现在处在海平面下2700m处.
7.某商场卖出两件衣服,第一件盈利48元,第二件亏损26元,卖出这两件衣服商场盈利(亏损)了多少元
【解析】用正、负数表示两件衣服的盈利(亏损)情况:
第一件盈利48元,记做+48元,第二件亏损26元,
记做-26元.
列式计算表示两件衣服的盈利(亏损)情况为:
+48+(-26)=48-26=22(元).
答:卖出这两件衣服商场盈利了22元.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:+.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_______步开始出错.
(2)纠错:_______ ___________________________________
答案: (1)②
(2)原式=
关闭Word文档返回原板块温馨提示：
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提技能·题组训练
有理数加法运算律的运用
1.下面计算用的加法运算律是 ( )
+3.2++7.8=+=-1+11=10
A.交换律
B.结合律
C.先用交换律,再用结合律
D.先用结合律,再用交换律
【解析】选C.原式=++3.2+7.8(交换律)
=+(3.2+7.8)(结合律)
=-1+11=10.
【变式训练】7+(-3)+(-4)+18+(-11)=(7+18)+[(-3)+(-4)+(-11)]是应用了
( )
A.加法交换律 B.加法结合律
C.符号化简 D.加法交换律与结合律
【解析】选D.观察所给式子可知,在运算过程中应用了加法交换律与结合律.
2.下列运算中正确的是 ( )
A.8+[14+(-9)]=15
B.(-2.5)+[5+(-2.5)]=5
C.+(-2)=-2
D.3.14+[(-8)+3.14]=-8
【解析】选C.选项A的结果是13,选项B的结果是0,选项D的结果是-1.72.
3.计算33+(-32)+7+(-8)的结果为 ( )
A.0 B.2 C.-1 D.5
【解析】选A.33+(-32)+7+(-8)
=(33+7)+[(-32)+(-8)]
=40+(-40)=0.
4.绝对值小于4的所有整数的和是 .
【解析】因为绝对值小于4的所有整数有:-3,
-2,-1,0,1,2,3;
所以-3+(-2)+(-1)
+0+1+2+3=(-3+3)+(-2+2)+(-1+1)+0=0.
答案:0
5.计算下列各题.
(1)+++.
(2)0.75+++1.25.
【解析】(1)+++
=+
=-+=-.
(2)0.75+++1.25
=(0.75+1.25)+
=2+=-4.
有理数加法运算律的实际应用
1.七年级(1)班一学期班费收支情况如下(收入为正):+250元,-55元,-120元,+7元.该班期末时班费结余为 ( )
A.82元 B.85元 C.90元 D.95元
【解析】选A.250+(-55)+(-120)+7
=250+7+[(-55)+(-120)]
=257+(-175)=82(元).
2.一升降机,第一次上升5m,第二次又上升6m,第三次下降4m,第四次又下降9m.这时升降机在原始位置的 ( )
A.上方24 m B.下方24 m
C.上方2 m D.下方2 m
【解题指南】解答本题的三个关键
1.规定上升为正,下降为负.
2.计算4个数的和.
3.根据结果的符号判断方向.
【解析】选D.若上升为正,下降为负,
则5+6+(-4)+(-9)=(5+6)+[(-4)+(-9)]=11+(-13)=-2.
因为-2是负数,所以升降机在原始位置的下方2m.
3.在CCTV“开心辞典”栏目中,主 ( http: / / www.21cnjy.com )持人问这样一道题目:“a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,请问:a,b,c三数之和是” ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解题指南】解答本题两关键:
(1)首先根据最小正整数、最大负整数、绝对值最小的有理数的意义求出a,b,c的值.
(2)把a,b,c的值代入a+b+c求出答案.
【解析】选B.由题意,得:a=1,b=-1,c=0,a+b+c=1+(-1)+0=0.
4.某商店去年四个季度的 ( http: / / www.21cnjy.com )盈亏情况如下(盈余为正):+128.5万元,-140万元,-95.5万元,+280万元,这个商店的总盈利情况是 ( )
A.盈余644万元 B.亏本173万元
C.盈余173万元 D.亏本64万元
【解析】选C.(+128.5)+(-140)+(-95.5)+(+280)=(128.5+280)+[(-140)+
(-95.5)]=408.5+(-235.5)=408.5-235.5=173(万元).
5.某人用320元购买了 ( http: / / www.21cnjy.com )8套儿童服装,准备以一定价格出售,如果每套儿童服装以55元的价格为标准,超出的记做正数,不足的记做负数,记录如下:+2,-3,+2,+1,-1,-2,0,-2,当卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损 盈利(亏损)多少钱
【解析】因为2+(-3)+2+1+(-1)+(-2)+0+(-2)
=[2+(-2)]+[2+(-2)]+[1+(-1)]+(-3)+0=0+0+0+(-3)+0=-3,
所以共卖55×8+(-3)=437(元),
437-320=117(元),
所以卖完这8套儿童服装后盈利117元.
【特别提醒】题中+2,-3,+2,+1,-1,-2,0,-2的和表示与8件以55元为标准的差值,不要以这8个数的和的正负判断亏损或盈利.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
出租车司机小李某天下午的营运全是 ( http: / / www.21cnjy.com )在东西方向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程(单位:km)如下:+15,-2,+5, -1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6.
(1)将最后一名乘客送到目的地时,小李当天下午行车里程是多少
(2)若汽车耗油量为0.1L/km,这天下午小李共耗油多少L
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_______步开始出现错误.
(2)纠错: _____________________________________________________
答案: (1)①
(2) (1)这天下午小李一共行驶了|+15|+|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-3|+|-2|
+|+12|+|+4|+|-5|+|+6|=65(km),(2)共耗油65×0.1=6.5(L).
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提技能·题组训练
相反数的概念
1.-6的相反数是 ( )
A.-6 B.6 C.- D.
【解析】选B.-6的相反数是6.
2.下列各组数中,互为相反数的是 ( )
A.3和-3 B.-3和
C.-3和- D.和3
【解题指南】判断互为相反数两看
【解析】选A.3和-3是只有符号不同的两个数.
3.下列结论正确的有 ( )
①任何有理数都有相反数;②符号相反的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个数互为相反数;③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等;④若有理数a,b互为相反数,则它们一定异号.
A .1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.①③正确;因为+5与-9虽然符号相反,但不是相反数,所以②错误;因为0的相反数是0,所以④错误.
4.如果a与2014互为相反数,那么a= .
【解析】如果a与2014互为相反数,那么a是2014的相反数,所以a=-2014.
答案:-2014
5.a,b互为相反数且a是正数,在数轴上表示a,b的点相距9个单位长度,那么b为 .
【解析】因为数轴上表示互为相反数的点在原点两侧,且到原点的距离相等,所以a=4.5,b=-4.5.
答案:-4.5
【互动探究】若把题中的“a,b互为相反数且a是正数”改为“a,b是符号相反的两个数且a=-2,”,那么b是 .
【解析】因为a=-2,所以数轴上表示a ( http: / / www.21cnjy.com )的点在原点左边且与原点相距2个单位长度;因为a,b是符号相反的两个数,所以b是正数,数轴上表示b的点在原点右边,且与原点相距9-2=7个单位长度,所以b是7.
答案:7
6.写出下列各数的相反数:9,-0.3,-2,0.
【解析】9的相反数是-9;-0.3的相反数是0.3;
-2的相反数是2;0的相反数是0.
7.如图所示,小明画了一条数轴,并将几个 ( http: / / www.21cnjy.com )整数在数轴上表示了出来,可是不小心将一滴墨水滴到数轴上,刚好将这几个整数所表示的点给盖住了,但他知道这些整数的相反数在数轴上表示出来分别是A,B,C,D,E.请你从图中寻找解决问题的方法,写出这几个整数,并指出在这几个整数中,哪个整数所表示的点离原点最远 哪个整数所表示的点离原点最近
【解析】把数轴补充完整,根据相反数 ( http: / / www.21cnjy.com )的意义可判断这几个整数为-2,-5,-3,-7,-6.在这几个整数中-7表示的点离原点最远,-2表示的点离原点最近.
多重符号的化简
1.计算-(-9)等于 ( )
A.9 B.-9 C. D.-
【解析】选A.因为-(-9)表示-9的相反数,所以-(-9)=9.
2.下列各数:+(-1),-[+(-3)],-,-(-m),+,其中正数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.+(-1)=-1,-[+(-3)]=3,-=,+[-(+)]=-,-(-m)=m,但m可能是正数,可能是负数,也可能是0.所以正数有2个.
3.下列化简错误的是 ( )
A.-(-3)=3 B.+(-3)=-3
C.-[-(+3)]=-3 D.+{-[+(-3)]}=3
【解析】选C.-[-(+3)]=-(-3)=3.
4.下列各组数中,互为相反数的是( )
A.-和- B.-(+5)和+(+5)
C.-(-3)和+(+3) D.-4和-(+4)
【解析】选B.选项A,C,D化简后都相等.
【变式训练】下列各组数中,互为相反数的是 ( )
A.-(-8)和8 B.3.2和-4.5
C.0.3和-0.31 D.-(-8)和+(-8)
【解析】选D.选项A中的两个数相等;选项B和C中两数只是一正一负,不是相反数.
5.化简下列各式中的符号.
-(+2),-(-3.5),-{-[-(-2)]},-{+[-(-2)]}.
【解题指南】多重符号的化简→多重符号的化简由“-”的个数决定→当“-”有偶数个时结果为正,当“-”有奇数个时结果为负.
【解析】-(+2)=-2,-(-3.5)=3.5,
-{-[-(-2)]}=2,-{+[-(-2)]}=-2.
【变式训练】化简下列各数:
(1)-(+6).
(2)-(-0.25).
(3)-[-(+1)].
【解析】(1)-(+6)=-6.(2)-(-0.25)=0.25.
(3)-[-(+1)]=-(-1)=1.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
画出数轴,在数轴上表示下列各数的相反数,并把它们的相反数按照数轴上从左到右的顺序排列:1,-(+2.5),0,-3.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_____步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________
答案: (1)①
(2) 1的相反数是-1,因为-(+ ( http: / / www.21cnjy.com )2.5)=-2.5,所以-(+2.5)的相反数是2.5,0的相反数是0,-3的相反数是3.把它们的相反数在数轴上表示为:
( http: / / www.21cnjy.com )
它们的相反数在数轴上从左到右的顺序是:-1,0,2.5,3.
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提技能·题组训练
有理数的乘方运算
1. 的相反数是 ( )
A.-6 B.8 C.- D.
【解析】选B.因为=-8,所以相反数是8.
【变式训练】-23等于 ( )
A.-6 B.6 C.-8 D.8
【解析】选C.-23=-2×2×2=-8.
2.对于(-2)4与-24,下列说法正确的是 ( )
A.它们的意义相同
B.它们的结果相等
C.它们的意义不同,结果相等
D.它们的意义不同,结果不等
【解析】选D.由乘方的意义,(-2)4的意义是-2的四次幂,表示(-2)×(-2)×(-2)×(-2),结果是16;-24的意义是2的四次幂的相反数,表示-(2×2×2×2),结果是-16,所以它们的意义不同,结果也不等,故选D.
3.如果一个有理数的偶次幂是非负数,那么这个数是 ( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.任何有理数
【解析】选D.正数与负数的偶次幂都是正数,0的偶次幂是0,所以任何有理数的偶次幂都是非负数.
4.下列各数,0,-,,,-22,
-(-8),-中,正数有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选C.8个数中=9,=1,-(-8)=8,及是正数.
5.计算:-(-3)2= ( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
【解析】选C.因为(-3)2=9,所以-(-3)2=-9.
6.已知+(y-2)2=0,则(x+y)2014= .
【解题指南】解答本题的两个关键
1.由偶次幂的性质知任何数的平方都具有非负性.
2.由非负数的和等于0时每个加数都等于0的性质确定x,y的值.
【解析】因为+(y-2)2=0,由非负数的性质得x=-1,y=2,所以(x+y)2014=(-1+2)2014=1.
答案:1
7. (-1)2013的绝对值是 .
【解析】(-1)2013=-1,
-1的绝对值是1.
答案:1
8.计算:(1).(2)(-0.3)3.
(3)-(-2)4.(4)-(-2)5.
【解析】(1)==.
(2)(-0.3)3==-.
(3)-(-2)4=-24=-16.
(4)-(-2)5=-(-25)=-(-32)=32.
乘方的应用
1.一根1m长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第六次剪后剩下的绳子的长度为 ( )
A.m B.m
C.m D.m
【解析】选C.第一次剪后剩下m,第二次剪后剩下m,第三次剪后剩下m…第六次剪后剩下的绳子的长度为m.
2.你喜欢吃拉面吗 拉面馆的师傅 ( http: / / www.21cnjy.com ),用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸再捏合,再拉伸…反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,这样捏合到第5次时可拉出细面条 ( )
A.10根 B.20根 C.5根 D.32根
【解析】选D.由题意得,捏合到第5次时可拉出细面条25=32(条).
3.看下面的故事:从前, ( http: / / www.21cnjy.com )有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包.他想:天天要饭太辛苦,如果我第一天吃这块面包的一半,第二天再吃剩余面包的一半,…依次每天都吃前一天剩余面包的一半,这样下去,我就永远不用再去要饭了!如果把整块面包看成整体“1”,那么第十天他将吃到面包的 .
【解析】第一天吃到的面包是,
第二天吃到的面包是,
第三天吃到的面包是,…,
第十天吃到的面包是.
答案:
4.按你发现的规律.填两个数、-、、-、 、 、…
【解析】将变形为,由前四个数可发现第n个数是(-1)n+1,所以第5个数是(-1)6=,第6个数是(-1)7=-.
答案: -
5.如图是某手机专卖柜台摆放的一幅“手机 ( http: / / www.21cnjy.com )图”,第一行有1部手机,第二行有2部手机,第三行有4部手机,第四行有8部手机…你是否发现手机的排列规律 猜猜看,第五行有 部手机、第十行有 部手机.(可用乘方形式表示)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】由题意和图示可知:第二行 ( http: / / www.21cnjy.com )有21=2部手机,第三行有22=4部手机,第四行有23=8部手机,所以第五行有24部手机、第十行有29部手机.
答案:24 29
6.某种细菌在培养过程中,每0.5h分裂一次(由一个分裂成两个),若这种细菌由1个分裂至16个,则这个过程要经过多长时间
【解析】第1次分裂为2个;第2次分裂为22=4个;第3次分裂为23=8个;第4次分裂为24=16个,0.5×4=2(h).
答:这种细菌由1个分裂至16个要经过2h.
【变式训练】如图是某种细胞分裂示意图,这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个.根据此规律可得:
(1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成多少个细胞
(2)这样的一个细胞经过3小时后可分裂成多少个细胞
(3)这样的一个细胞经过n(n为正整数)小时后可分裂成多少个细胞
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】(1)第四个30分钟后可分裂成24=16(个)细胞.
(2)经过3小时后可分裂成22×3=26=64(个)细胞.
(3)经过n(n为正整数)小时后可分裂成22n(个)细胞.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错: ________________.
答案: (1)①
(2)
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提技能·题组训练
有理数的混合运算
1.下列各式运算结果为正数的是 ( )
A.-24×5 B.(1-2)÷5
C.(1-24)×(-5) D.1-(3×5)6
【解题指南】有理数混合运算的三个注意
1.注意运算顺序.
2.注意加、减、乘、除、乘方的运算法则.
3.注意运算符号.
【解析】选C.(1-24)×(-5)=(1-16)×(-5)=75.
2.计算22×(-2)3+|3|的结果是 ( )
A.-29 B.-1 C.0 D.-2
【解析】选A.22×(-2)3+|3|=4×(-8)+3=-32+3=-29.
3.计算25-3[32+2×(-3)]+5的结果是 ( )
A.21 B.30 C.39 D.71
【解题指南】本题的计算顺序是:先算括号中的乘方和乘法,再去括号,最后算加减.
【解析】选A.25-3[32+2×(-3)]+5=25-3×[9-6]+5=21.
4.计算:(-2×5)3= ( )
A.1000 B.-1000 C.30 D.-30
【解析】选B.(-2×5)3=(-10)3=-1000.
【变式训练】计算:-2×32-(-2×32)= ( )
A.0 B.-54 C.-72 D.-18
【解析】选A.-2×32-(-2×32)=-2×9-(-2×9)=-18-(-18)=-18+18=0.
5.规定△是一种新的运算符号,且a△b ( http: / / www.21cnjy.com )=a2-a×b+a-1,例如:计算2△3=22-2×3+2-1=4-6+2-1=-1.请你根据上面的规定试求4△5的值.
【解析】4△5=42-4×5+4-1=16-20+4-1=-1.
有理数混合运算中的运算律的应用
1.算式5×52-4×52运用下列哪种运算律运算较简便 ( )
A.乘法交换律 B.乘法结合律
C.加法结合律 D.乘法分配律
【解析】选D.逆用乘法分配律可使运算简便.
5×52-4×52=52×(5-4)
=52×1=25×1=25.
2.计算:-24÷×= ( )
A.-16 B.-81
C.16 D.81
【解析】选B.原式=-16××=-81.
3.计算:×(-5)÷(-)×5= ( )
A.1 B.25 C.-5 D.35
【解析】选B.×(-5)÷(-)×5=-1×(-5)×5=25.
4.计算:
÷.
【解析】原式=×(-4)
=×(-4)
=2×(-4)-×(-4)=-3.
【变式训练】计算:÷.
【解析】原式=×(-64)
=×(-64)-×(-64)+×(-64)-×(-64)
=-32+16-24+4
=-32-24+16+4
=-56+20=-36.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:[(-2)3-(-4)3]÷[(-5)-(-7)].
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错: ________________________________________
_________________________________________________.
答案: (1)①
(2)原式=[-8-(-64)]÷[-5-(-7)]
=(-8+64)÷(-5+7)=56÷2=28.
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提技能·题组训练
数 轴
1.下列表示数轴的图形中正确的是 ( )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】选D.图形A缺少单位长度,图形B缺少原点,图形C颠倒了正、负数的位置.图形D满足数轴的三要素.
【知识归纳】判定数轴的“四个步骤”
1.观察所给的是否为一条直线.
2.该直线是否存在表示0的点.
3.直线的最右侧是否有“→”表示正方向.
4.直线上数字的间距是否均匀;是否从原点向右依次增大,从原点向左依次减小.
2.如图所示,点M表示的数是 ( )
A.2.5 B.-1.5 C.-2.5 D.1.5
【解析】选C.由数轴得点M位于-2和-3的正中间,所以点M表示的数是-2.5.
3.如图,在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点有 ( )
A.D点 B.A点
C.A点和D点 D.B点和C点
【解析】选C.由数轴与题意可得,在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点有A点和D点.
4.在数轴上表示数-3,0,5,2,的点中,在原点右边的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选D.因为数轴上在原点右边的点表示的数是正数,而5,2,是正数,所以在原点右边的点表示的数有3个.
5.在数轴上,表示-5的点在原点的 侧,它到原点的距离是 个单位长度.
【解析】在数轴上,表示-5的点在原点的左侧,它到原点的距离是5个单位长度
答案:左 5
6.在下面数轴上,A,H,D,E,O各点分别表示什么数
【解析】A,H,D,E,O各点表示的数分别是:4,-1,-3,2,0.
【知识归纳】判断数轴上的点表示有理数的两步法
1.根据该点在原点的右边还是左边,判断正负.
2.根据该点与原点的距离,确定数量,可简记为“先判后定”.
7.先画出数轴,然后在数轴上表示下列各数.
-1.5,0,-2,+2,-3.
【解析】如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
数轴的应用
1.数轴上表示-1.2的点在 ( )
A.-2和-1之间 B.-1和0之间
C.0和1之间 D.1和2之间
【解析】选A.-1.2表示在原点的左侧,并且到原点的距离是1.2个单位长度的点.因而在-2和-1之间.
2.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.a,b,c均是正数 B.a,b,c均是负数
C.a,b是正数,c是负数 D.a,b是负数,c是正数
【解析】选D.观察数轴可知,a,b在原点的左侧,故a,b是负数;c在原点的右侧,故c是正数.
3.北京等5个城市的国际标准时间(单位:h)可在数轴上表示如下:
如果将两地国际标准时间的差简称为时差,那么 ( )
A.首尔与纽约的时差为13h
B.首尔与多伦多的时差为13h
C.北京与纽约的时差为14h
D.北京与多伦多的时差为14h
【解析】选B.观察数轴可知,首尔与纽约的时差为14h;首尔与多伦多的时差为13h;北京与纽约的时差为13h;北京与多伦多的时差为12h.
4.数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 .
【解析】表示2和5的两点之间的距离是3 ( http: / / www.21cnjy.com );因为数轴上表示1的点在原点右边,与原点相距1个单位,表示-3的点在原点左边,与原点相距3个单位,所以表示1和-3的两点之间的距离是4.
答案:3 4
【变式训练】一只蜗牛从原点出发,先向左爬行了4个单位长度,再向右爬行了7个单位长度到达终点,那么终点所表示的数是 .
【解析】解答本题可先画出数轴(如图),结合数轴解答更形象直观.
答案:3
5.小明的家(记为A)与他上学 ( http: / / www.21cnjy.com )的学校(记为B),书店(记为C)依次坐落在一条东西走向的大街上,小明家位于学校西边30 m处,书店位于学校东边100 m处,小明从学校沿这条街向东走40 m,接着又向西走了70 m到达D处,若以学校为原点,试用数轴表示上述A,B,C,D的位置.
【解析】A,B,C,D的位置如图所示:
【互动探究】若以书店为原点,怎样用数轴表示上述A,B,C,D的位置
提示:以书店为原点,A,B,C,D的位置如图所示:
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
在数轴上把数2对应的点移动3个单位后所得的对应点表示的数是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第______步开始出现错误.
(2)纠错:___________________________________________________________
答案: (1)①
(2)把数2对应点向左移动3个单位,移动后的对应点是-1,向右移动3个单位,移动后的对应点是5.
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提技能·题组训练
求有理数的绝对值
1.-5的绝对值是 ( )
A. B.-5 C.5 D.-
【解析】选C.因为-5是一个负数,它的绝对值等于它的相反数,而-5的相反数是5,所以-5的绝对值是5.故选C.
2. |-2013|的值是 ( )
A. B.- C.2013 D.-2013
【解析】选C.因为-2013是负数,-2013的相反数是2013,
所以|-2013|=2013,故选C.
3. |-3|的相反数是 ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.
【解题指南】解答本题两步骤:(1)求出|-3|的值.(2)求其相反数.
【解析】选B.因为|-3|=3,所以3的相反数是-3.故选B.
【变式训练】化简下列各式.
(1)+|+9|= .(2)+|-2.6|= .
(3)-|+3.3|= .
(4)-= .
【解析】(1)+|+9|=+9=9.(2)+|-2.6|=+2.6=2.6.
(3)-|+3.3|=-3.3.(4)-=-.
答案:(1)9 (2)2.6 (3)-3.3 (4)-
4.下列各式中,不成立的是 ( )
A.|-7|=7 B.-|7|=-7
C.|-7|=|7| D.-|-7|=7
【解析】选D.-|-7|=-7.
5.绝对值是它本身的数是 ( )
A.所有负数 B.0
C.所有正数 D.非负数
【解析】选D.正数的绝对值是它本身,0的绝对值也是它本身.所以非负数的绝对值是它本身.
【特别提醒】1.绝对值是它本身的数包括正数和0,易忘记0.
2.绝对值是它相反数的数包括0和负数.
绝对值的性质及应用
1.若|-x|=2014,则x的值是 ( )
A.2 014 B.-2 014 C.±2 014 D.
【解析】选C.因为|-x|=2014,即数 ( http: / / www.21cnjy.com )-x到原点的距离是2014,而到原点的距离是2014的数有2014和-2014,所以-x的值是±2014,即x的值是±2014.
【易错提醒】绝对值等于一个正数的数有两个,它们互为相反数,易漏掉其中一个.
【知识归纳】绝对值的性质
(1)任何有理数都有绝对值,且只有一个.
(2)由绝对值的几何定义可知,数的绝对值是数轴上两点间的距离,因此,任何一个数的绝对值都是非负数.
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
(4)绝对值相等的两个数相等或互为相反数.
2.若|a|=-a,则有理数a在数轴上的对应点一定在 ( )
A.原点左侧 B.原点或原点左侧
C.原点右侧 D.原点或原点右侧
【解析】选B.因为|a|=-a,所以a为负数或0,所以表示有理数a的点位于原点或原点左侧.
3.绝对值大于2且小于5的所有整数有 .
【解析】绝对值大于2且小于5的所有整数是:-4,-3,3,4.
答案:-4,-3,3,4
4.已知|a-3|+|b-2|=0,则|a+b|的值为 .
【解题指南】解答本题两个关键:
(1)利用绝对值的非负性(若|a|+|b|=0,则a=0且b=0)求出字母的值.(2)代入式子求值.
【解析】由题意知,|a-3|=0,|b-2|=0,解得a=3,b=2,所以|a+b|=5.
答案:5
5.一条直线的流水线上依次有5个机器人,它们站立的位置在数轴上依次用点A1,A2,A3,A4,A5表示,如图:
(1)怎样移动点A3,使它先到达A2,再到达A5,请用文字语言说明.
(2)若原点是零件的供应点,那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少
【解析】(1)将点A3先向左移动2个单位长度到达A2,再向右移动6个单位长度可到达A5.
(2)5个机器人分别到达供应点的总路程为
|-4|+|-3|+|-1|+|1|+|3|=12.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知|x|=-(-2),求x的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
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(2)纠错:_________________________________________________
答案: (1)②
(2)因为-(-2)=2,所以|x|=2.又因为|±2|=2,所以x=±2.
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提技能·题组训练
有理数乘法的运算律
1. 3.14×4×2.5=3.14×(2.5×4)利用了乘法的
( )
A.交换律 B.结合律
C.交换律和结合律 D.分配律
【解析】选C.2.5与4交换位置是交换律,先算2.5×4是结合律.
2.计算×12时,应该运用 ( )
A.加法交换律 B.乘法分配律
C.乘法交换律 D.乘法结合律
【解析】选B.用12和括号内的各数分别相乘,然后再把所得积相加,这个计算过程应用了乘法分配律.
【变式训练】计算(-3)×,用分配律计算过程正确的是 ( )
A.(-3)×4+(-3)×
B.(-3)×4-(-3)×
C.3×4-(-3)×
D.(-3)×4+3×
【解析】选A.(-3)×=(-3)×=(-3)×4+(-3)×.
3.用简便算法计算×(2×3×4×5)的结果是 ( )
A.-1 B.-12 C.-154 D.-168
【解析】选C.原式=×(2×3×4×5)-×(2×3×4×5)-×(2×3×4×5)-×(2×3×4×5)=-60-40-30-24=-154.
4.计算2.64×(-7.6388)+2.64×3.1388的结果为 .
【解析】原式=2.64×(-7.6388+3.1388)=2.64×(-4.5)=-11.88.
答案:-11.88
【变式训练】3.14×27+3.14×70.14+3.14×2.86.
【解析】原式=3.14×(27+70.14+2.86)=3.14×100=314.
【知识拓展】乘法对加法具有分配律,在进行有理数运算时,也可逆用乘法对加法的分配律.
5.计算:99×(-5).
【解析】99×(-5)=×(-5)=100×(-5)+×(-5)
=-500+=-499.
【变式训练】简便方法计算:7.97×(-8).
【解析】7.97×(-8)=(8-0.03)×(-8)
=-64+0.24=-63.76.
6.计算:
(1)(-3.7)×(-0.125)×(-8).
(2)×12.
(3)-17×.
【解析】(1)(-3.7)×(-0.125)×(-8)
=-3.7×(0.125×8)
=-3.7×1=-3.7.
(2)×12
=×12-×12-×12
=4-2-1=1.
(3)-17×
=-17×
=-17×(-3)-17×
=51+1=52.
【知识归纳】乘法运算律的应用
1.对于多个有理数相乘,可以选择使用交换律和结合律简化运算,也可以直接确定积的符号,然后计算绝对值的积.
2.对于乘法对加法的分配律的应用要注意两个方面:①不要漏乘,即漏乘括号里面的数;②计算乘法时,分清运算符号和数的符号,不要混淆.
多个有理数相乘
1.有2014个有理数相乘,如果积等于0,那么这2014个数中 ( )
A.都为0
B.只有一个为0
C.至少有一个为0
D.有两个互为相反数
【解析】选C.2014个有理数相乘,如果积等于0,那么这2014个数中至少有一个为0.
2.下面乘积的符号为正的是 ( )
A.0×(-3)×(-4)×(-5)
B.(-6)×(-15)×(-)×
C.-2×(-12)×(+2)
D.-9×(-5)×(-3)
【解析】选C.几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积等于0;几个不是0的数相乘,当负因数的个数为偶数时,积为正数.
3.若a
A.abc<0 B.abc=0
C.abc>0 D.无法确定
【解析】选C.由a0.
4.如果五个有理数相乘,积为负,那么其中正因数有
( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.2个或4个或0个
【解析】选D.五个有理数相乘积为负,则必有奇数个负因数,即1个或3个或5个,故正因数为4个或2个或0个.
【易错提醒】题目中求“正”因数的个数,易误认为求“负”因数的个数.
5.四个各不相等的整数a,b,c,d,如果它们的积a·b·c·d=9,那么a+b+c+d的值是 .
【解题指南】由于abcd=9,且a,b,c,d是整数,所以把9分解成四个不相等的整数的积,从而可确定a,b,c,d的值,进而求其和.
【解析】因为9=1×(-1)×3×(-3),
所以a+b+c+d=1+(-1)+3+(-3)=0.
答案:0
6.计算:
(1)××.
(2)×(-0.5)××.
(3)12××(-15)×1.
【解析】(1)原式=××=.
(2)原式=-×××=-.
(3)原式=12××15×=162.
【知识归纳】多个有理数相乘的乘法口诀
多个有理数相乘,先看有零没有零.
若有零则积为零,没零负数要查清.
奇数为负偶为正,再把绝对值相乘.
仔细观察巧运算,交换结合简便行.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:-24×.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_________步开始出现错误.
(2)纠错:_________ ____________________________________
______________________________________________________
答案: (1)①
(2) 原式=-8-(-3)-(-4)=-8+3+4=-1.
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提技能·题组训练
用正负数表示相反意义的量
1.如果收入50元,记做+50元,那么支出30元记做 ( )
A.+30元 B.―30元 C.+80元 D.―80元
【解析】选B.支出30元应记做-30元.
2.一运动员某次跳水的最高点离跳台2m,记做+2m,则水面离跳台10m可以记做 ( )
A.-10m B.-12m C.+10m D.+12m
【解析】选A.水面离跳台10m可以记做-10m.故选A.
【知识归纳】用正、负数表示相反意义的量两注意
1.用正、负数表示具有相反意义的量,必须是同类量,把一个量记做正数,另一个量记做负数,如果有单位,不要漏单位.
2.用正、负数表示具有相反意义的量时,通常规定某一数值为标准.例如,超出记为正,则不足就记为负.
3. 2013年6月11日17时38分神 ( http: / / www.21cnjy.com )舟十号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射,如果火箭发射点火前5秒记为-5秒,那么火箭发射点火后10秒应记为 ( )
A.-10秒 B.-5秒 C.+5秒 D.+10秒
【解析】选D.若火箭发射点火前5秒记为-5秒,则点火后为正,那么火箭发射点火后10秒应记为+10秒.
4.长江某水文检测站,正常水位是10m,规 ( http: / / www.21cnjy.com )定高于正常水位记为正,低于正常水位记为负.记录表上有3次记录分别为+1.5,0,-1.6,这三次记录表示的实际水位分别是 .
【解析】按习惯记录,用正数表示的水位就是高于正常水位;反之,用负数表示的水位就是低于正常水位;0表示刚好是正常水位.
答案:11.5m,10m,8.4m
【易错提醒】以正常水位10m为标准,不是以0m为标准.
5.如果盈利350元记做+350元,那么-80元表示 ,如果+7℃表示零上7℃,则零下5℃记做 .
【解析】因为盈利与亏损是一对相反意义的量,所以-80表示亏损80元;零上记做正,则零下记做负,所以零下5℃记做-5℃.
答案:亏损80元 -5℃
6.某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃,该药品在 ℃范围内保存才合适.
【解析】温度是(20±2)℃,表示最低温度是20℃-2℃=18℃,最高温度是20℃+
2℃=22℃,即18～22℃之间是合适温度.
答案:18～22
【变式训练】某种零件,标明要求是Φ20±0 ( http: / / www.21cnjy.com ).02mm(Φ表示直径,单位:mm),经检查,一个零件的直径是19.9mm,该零件 (填“合格”或“不合格”).
【解析】由Φ20±0.02 ( http: / / www.21cnjy.com )mm可知零件直径最大是20+0.02=20.02(mm),最小是20-0.02=19.98(mm),合格范围在19.98mm和20.02mm之间.因为19.9<19.98,所以不合格.
答案:不合格
有理数的分类
1.下列说法正确的是 ( )
A.整数就是正整数和负整数
B.非负整数就是正整数
C.有理数中不是负数就是正数
D.零是自然数,但不是正整数
【解析】选D.选项A,B,C中都漏掉了0.
【易错提醒】有理数中的0既属于非负数,也属于非正数;0既不是正整数也不是负整数,但0是整数.在对有理数分类时,易忽略或遗漏数0.
2.下列各数:-6,-3.14,,0,4,-0.2中,整数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选B.-6是负整数,-3.14是负分数,是分数,0是整数,4是整数,-0.2是负分数,所以只有-6,0,4是整数,所以整数共有3个.
【知识归纳】分数和有理数的关系
1.凡是分数都是有理数.
2.有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以是有理数,不是所有的小数都能表示成分数,如“π”就不能表示成分数.
3.在数-,2,-3,-1.2中,属于负整数的是 ( )
A.- B.2 C.-3 D.-1.2
【解析】选C.2不是负数,-,-1.2是分数不是整数.
4.既不是正数也不是负数的是 .
【解析】既不是正数也不是负数的数是0.
答案:0
【知识拓展】对数“0”的认识
(1)0并不都表示“没有”的意义,“0”还具有确定的含义.
(2)“0”是划分正数和负数的界限,同时也是各类相反意义的量的基准.
5.将下列各数填入它属于的圈内:
20,-0.08,-2,7.6,3.14,-1,+,+5.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】20,+5;-1;7.6,3.14,+;-0.08,-2.
【互动探究】这四种数据合在一起能否包含有理数的全部 为什么
【解析】不能.因为四种数据中都没有0.
6.把下列各数分别填入相应的大括号里:
-2.5,3.14,-2,+72,-0.,0.618,,0,-0.101,π.
正数:{ …};
自然数:{ …};
整数:{ …};
负分数:{ …}.
【解析】正数:{3.14,+72,0.618,,π,…};
自然数:{+72,0,…};
整数:{-2,+72,0,…};
负分数:{-2.5,-0.,-0.101,…}.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
下列各数中,哪些属于负数 哪些属于非正数 哪些属于正分数 哪些属于非负整数 哪些属于有理数
-4.5,6,2.5,-3,-,0,,1.,131,-0.,3.14,-11.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:第_________行有错误.
(2)纠错:____________________________________________________________
___________________________________________________________________-
答案: (1)②④
(2) 属于非正数的有：-4.5,-3,0, -0.，-11；属于非负整数的有：0,6,131.
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提技能·题组训练
有理数的乘除混合运算
1.计算(-1)÷(-10)×的结果是 ( )
A.1 B.-1 C. D.-
【解析】选C.(-1)÷(-10)×=(-1)×(-)×=.
【易错提醒】含有乘、除运算的式子,在运算中不是先把除法统一成乘法,而是直接运用运算律,出现(-1)÷(-10)×=(-1)÷(-1)=1的错误.
【变式训练】计算-1÷(-3)×的值为 ( )
A.-1 B.1 C.- D.
【解析】选C.原式=-××=-.
2.计算-3÷÷的结果是 ( )
A.-3 B.3 C.-12 D.12
【解析】选C.原式=-3×(-2)×(-2)=-12.
3.计算÷9×的正确结果是 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选D.原式=××=.
4.下列变形中,正确的是 ( )
A.(-4)÷(1-2)=(-4)÷(-1)
B.1÷(-4)=(-4)÷1
C.(-3)×4÷=(-3)×÷4
D.(-5)÷(-1)=(-5)÷-5÷(-1)
【解析】选A.1÷(-4)=-(1÷4);(-3)×4÷
=(-3)×4×3;(-5)÷(-1)
=(-5)÷(-)
=(-5)×(-)=,
而(-5)÷-5÷(-1)=-25+5=-20,故D的变形也是错误的.
5.用计算器计算:(-25.8)÷3.3÷(-17)= (结果保留两位小数).
【解析】(-25.8)÷3.3÷(-17)≈0.46.
答案:0.46
6.计算:
(1)÷×.
(2)÷.
(3)2×÷(-9+19).
【解析】(1)原式=××=-.
(2)原式=×36=-×36-×36+×36=-27-20+21=-26.
(3)原式=×÷10=××=.
有理数乘除混合运算的应用
1.一个数乘以(-45)再除以的商是30,这个数是 .
【解题指南】知道商和除数,求被除数用乘法,知两个因数的积和其中的一个因数,求另一个因数用除法.解决本题的关键是能理解题意和乘、除间的关系.
【解析】30×÷(-45)=30××=.
答案:
2.高度每增加1km,气温大约降低6℃,观测的气球的温度是-37℃,地面温度是5℃,则气球高度大约是 km.
【解析】[5-(-37)]÷6=7(km).
答案:7
3.某地区高度每增加100m,气 ( http: / / www.21cnjy.com )温下降0.6℃,小红和小明设计了一个测量山峰高度的方法,小红在山脚,小明在峰顶,他们在上午9时整同时测得山脚和峰顶的气温分别是2.5℃和0.1℃,求山峰的高度.
【解析】(2.5-0.1)÷0.6×100=2.4÷0.6×100
=4×100=400(m).
答:山峰的高度为400m.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
计算:-15÷×6.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_______步开始出现错误.
(2)纠错:_______ ___________________________________
答案: (1)②
(2)
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提技能·题组训练
用科学记数法表示较大的数
1.用激光测距仪测得两物体之间的距离为14000000m,将14000000用科学记数法表示为 ( )
A.14×107 B.1.4×106
C.1.4×107 D.0.14×108
【解题指南】
定a 整数数位 定n 科学记数法
1.4 8 8-1 1.4×107
【解析】选C.因为14000000的整数数位有8位,
所以a=1.4,n=8-1=7,即得1.4×107.
2.中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,满载排水量为67500t,这个数据用科学记数法表示为 ( )
A.6.75×104t B.67.5×103t
C.0. 675×105t D.6. 75×10-4t
【解析】选A.67500是5位整数,在用科学记数法表示时,a=6.75,n=5-1=4,所以67500=6.75×104.
【方法技巧】确定指数n的两种方法
(1)利用整数的位数来求n,n等于原数的整数位数减1.
(2)小数点移动位数确定n,一个数向左移动小数点,变成大于或等于1而小于10的数,在这个过程中,小数点向左移动了几位,n就等于几.
3.用科学记数法表示537万正确的是 ( )
A.537×104 B.5.37×105
C.5.37×106 D.0.537×107
【解题指南】解答本题的两个关键
1.先把537万写成5370000.
2.再把5370000用科学记数法表示.
【解析】选C.537万=5370000=5.37×106.
【变式训练】据邵阳市住房公积金管理会议透露,今年我市新增住房公积金11.2亿元,其中11.2亿元可用科学记数法表示为 ( )
A.11.2×108元 B.1.12×109元
C.0.112×1010元 D.112×107元
【解析】选B.11.2亿元=1120000000元=1.12×109元,故选B.
4.据《维基百科》最新统计, ( http: / / www.21cnjy.com )使用闽南语的人数在全世界数千语种中位列21位,目前约70010000人使用闽南语.70010000用科学记数法表示为 .
【解析】70010000=7.001×107.
答案:7.001×107
5.湖南日报4月14日讯 ( http: / / www.21cnjy.com ),离长沙最远的少数民族县龙山至永顺的高速公路建设正进入路基土石方的施工阶段,该项目将完成投资31.2亿元,项目计划于2017年建成通车.其中31.2亿用科学记数法表示为 .
【解析】31.2亿=3120000000=3.12×109.
答案:3.12×109
把用科学记数法表示的数化为原数
1.2013年某省国税系统完成税收收入约7.778×1011元,也就是该省2013年国税系统完成税收收入约为 ( )
A.777.8亿元 B.7778亿元
C.77.78亿元 D.77780亿元
【解析】选B.7.778×1011=7.778×100000000000
=777800000000=7778亿.
2.一批货物总质量为1.2×107kg,下列运输工具可将其一次运走的是 ( )
A.一艘万吨级巨轮 B.一辆汽车
C.一辆拖拉机 D.一辆马车
【解析】选A.1.2×107kg=12000t,所以可将其一次运走的是一艘万吨级巨轮.
【变式训练】据统计,全球每分钟有8.5×106t污水排入江河湖海,也就是说排污量是 万t.
【解析】8.5×106=850×104,即850万t.
答案:850
3.若a=1.9×105,b=9.1×104,则a b(填“<”或“>”).
【解析】因为1.9×105有6位整数,9.1×104有5位整数,所以a>b.
答案:>
【一题多解】因为a=1.9×105=190000,b=9.1×104
=91000,所以a>b.
答案:>
4.如果一个数记成科学记数法后,10的指数是31,那么这个数有 位整数.
【解析】由科学记数法知,10的指数等于原数的整数位数减1.所以这个数有31+1=32位整数.
答案:32
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
把下列各数用科学记数法表示:
①3650000000.②-256.9.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:上面第______小题有错误.
(2)纠错: ______________________________.
答案: (1)②
(2) -256.9=-2.569×102
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提技能·题组训练
有理数的大小比较
1.下列各数中,最小的数是 ( )
A.3 B.0 C. D.-4
【解析】选D.因为3>>0>-4,所以-4最小.
【变式训练】(2013·天水中考)下列四个数中,小于0的数是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.π
【解析】选A.因为负数小于0,所以-1<0,所以选A.
2.下列各数中,小于-3的数是 ( )
A.2 B.1 C.-2 D.-4
【解析】选D.根据“正数大于负数”可排除A,B,因为>,所以-4比-3小.
3.比较-,-,的大小,结果正确的是 ( )
A.-<-< B.-<<-
C.<-<- D.-<-<
【解析】选A.在-,-,这三个数中,是正数,-和-是负数,正数大于负数,所以最大,>,所以-<-,故选A.
4.下面是几个城市某年一月份的平均温度,其中平均温度最低的是 ( )
A.桂林11.2℃ B.广州13.5℃
C.北京-4.8℃ D.南京3.4℃
【解析】选C.因为13.5>11.2>3.4>-4.8,所以平均温度最低的是北京-4.8℃.
借助数轴比较有理数的大小
1.如图,数轴上A,B,C三点表示的数分别为a,b,c,则它们的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
【解析】选D.因为数轴上的点表示的数右边的大于左边的,所以b>a>c.
2.已知有理数a,b所对应的点在数轴上如图所示,则下列四个选项正确的是 ( )
A.-a<0C.a<0<-b D.0【解析】选B.选项A中的-a应大于0,选项C中的-b应小于0,选项D中的b应大于-a.
【特别提醒】一要注意-a,-b是正数还是负数,二要注意-a与b,-b与a的位置.
3.如图,数轴的一部分被墨水污染,被污染的部分所有整数用“<”连接起来为 .
【解析】被墨水污染的整数在数轴上从左到右分别是-3,-2,-1,0,1,用“<”连接起来为-3<-2<-1<0<1.
答案:-3<-2<-1<0<1
【易错提醒】不要漏掉整数“0”.
4.有理数m,n在数轴上的位置如图所示,
比较大小:-m -n.
【解析】由数轴知|m|>|n|,m所以|m|=-m,|n|=-n,
所以-m>-n.
答案:>
【一题多解】根据绝对值的几何意义,借助于直尺或圆规,在数轴上标出-m,-n的位置.利用数轴,不难发现-m>-n.
【知识拓展】数形结合
(1)利用数轴把有理数和数轴上的点建立起联系,通过数与形的转化来解决问题的思想,我们称为数形结合思想.
(2)利用数轴可以直观地得出数的正负和大小关系,也可以与相反数、绝对值结合起来解决相关的问题.
5.已知a,b,c三个数在数轴上的位置如图:
(1)试确定2a与b,a与b,a与c的大小关系.
(2)用“<”把2c,b,a连接起来.
【解析】(1)因为2a在a的右边,所以2a>b,a>b,a>c.
(2)因为2c在c的左边,所以2c【变式训练】(1)在数轴上表示出0,-1.3,-2,1.
(2)将(1)中各数用“<”号连接起来.
(3)将(1)中各数的相反数用“<”号连接起来.
(4)将(1)中各数的绝对值用“>”号连接起来.
【解析】(1)在数轴上表示如下:
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)-2<-1.3<0<1.
(3)-1<0<-(-1.3)<-(-2).
(4)|-2|>|1|>|-1.3|>0.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
比较-与-的大小.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:第______步出现错误.
(2)纠错: ____________________________________________________________
答案: (1)③
(2) 因为所以 (两个负数，绝对值大的反而小).
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