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提技能·题组训练
含两个等量关系的问题
1.已知乙组人数是甲组人数的一半,若将乙组人数的调入甲组,则甲组比乙组多15人,则甲、乙两组原来的人数分别为 ( )
A.9人,6人 B.12人,6人
C.18人,9人 D.以上答案都不对
【解析】选C.设乙组有x人,则
x-x=2x+x-15.
解得x=9,
所以2x=18.
2.有房若干间,若每间住1人,则有10人无处住;若每间住3人,则有10间无人住,这些房的间数为 ( )
A.20 B.10 C.15 D.12
【解析】选A.设房间数为x,则
x+10=3(x-10),
解得x=20.
3.一张试卷共有25道题,若做对1题得4分,做错1题扣1分,小明做了全部试题只得了70分,那么小明做对了 ( )
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【解析】选C.设小明做对了x道,则做错了(25-x)道,根据题意得:4x-(25-x)×1=70,
解方程得:x=19.
4.某篮球运动员在一次篮球比赛中20投16中得30分,其中投中3分球2个,则他投中 个2分球和 个罚球(罚球命中1次得1分).
【解析】设他投中x个2分球,则投中 ( http: / / www.21cnjy.com )(16-2-x)个罚球,由题意得:2x+(16-2-x)+3×2=30.解方程得:x=10,16-2-x=4.
答案:10 4
5.某种仪器由1个A部件和1个B部件 ( http: / / www.21cnjy.com )配套构成,每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套
【解析】设安排生产A部件的有x人,则生产B部件的有(16-x)人,根据题意列方程得1000x=600(16-x),
解得x=6,则16-x=10.
答:安排生产A部件和B部件的工人分别为6人,10人.
【一题多解】设安排生产B部件的有y人,则生产A部件的有(16-y)人,根据题意,得1000(16-y)=600y,
解得y=10,则16-y=6.
答:安排生产A部件和B部件的工人分别为6人,10人.
【变式训练】红光服装厂要生产某种型号学 ( http: / / www.21cnjy.com )生服一批,已知每3m长的布料可做上衣2件或裤子3条,一件上衣和一条裤子为一套,计划用600m长的这种布料生产学生服,应分别用多少布料生产上衣和裤子,才能使上衣和裤子恰好配套 共能生产多少套
【解析】设用xm布料生产上衣,根据题意得
×2=×3,
解得x=360.
600-x=600-360=240,
×2=240.
答:用360m布料生产上衣,用240m布料生产裤子,共能生产240套.
利润问题中的一元一次方程
1.一件标价为800元的上衣,按8折销售仍可获利100元,设这件上衣的成本价为x元,可列方程为 ( )
A.800×0.8-x=100 B.800×8-x=100
C.800×0.8=x-100 D.800×8=x-100
【解析】选A.根据“标价×-成本=利润”列方程为800×0.8-x=100.
2.(2014·莘县二模)商场对某商品优惠促销,如果以八折的优惠价格每出售一件商品,就少赚15元,那么顾客买一件这种商品需付 ( )
A.35元 B.60元 C.75元 D.150元
【解析】选B.设原价为x元,
则0.8x=x-15,
解得x=75.
0.8x=0.8×75=60.
故顾客买一件这种商品需付60元.
【知识归纳】打折销售中的关系式
1.售价=标价×.
2.进价(1+利润率)=标价×.
3.一件商品售价为7.2元,利润是成本的20%,如果把利润提高到30%,那么需提高售价 ( )
A.0.3元 B.0.4元 C.0.6元 D.1.8元
【解析】选C.设成本为x元,则(1+20%)x=7.2,
解得x=6,利润是30%的售价为
6×(1+30%)=7.8(元),7.8-7.2=0.6(元).
4.一件商品标价为150元,小明妈妈用会员卡打折后只用135元就买下了,这件商品打的是 折.
【解析】设这件商品打的是x折,则150×=135,解得x=9,即这件商品打的是九折.
答案:九
5.购买一本书,打八折比打九折少花2元钱,那么这本书的原价是 元.
【解析】设这本书的原价是x元,
则根据题意得0.9x-0.8x=2,解得x=20,
故这本书的原价是20元.
答案:20
6.随着电子技术的发展,电脑价格不断降低,某品牌电脑按原价降低m元后,又降低20%,此时电脑售价为n元,则该电脑原价为 .
【解析】设电脑原价为x元,则(x-m)(1-20%)=n,解得x=n+m.
答案:元
7.(2014·铜仁模拟 ( http: / / www.21cnjy.com ))某鞋店搞庆典活动,所有商品一律八折优惠出售,已知某种皮鞋进价为60元一双,八折出售后商家仍可获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元 优惠价是多少元
【解题指南】
进价 打折数 标价 优惠价 利润率
60元 8折 x元 80%x 40%
【解析】设这种皮鞋的标价为x元,
则80%x-60=60×40%,解得x=105,80%x=84.
答:这种皮鞋标价是105元,优惠价是84元.
8.某商品由于库存太多,公司决定对该商品打折销售,经核算,如果打七五折赔25元,而打九折盈利20元,则这种商品的定价是多少元
【解析】设该商品的定价为x元,根据题意,得
75%x+25=90%x-20,解得x=300.
答:这种商品的定价为300元.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
一件商品标价为420元,进价为280元,要使利润不低于5%,这件商品至多能打几折
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_________步开始出现错误.
(2)纠错:________ ________________________________________________
________ ________________________________________________________
答案: (1)①
(2) ÷280×100%=5%，解得x=7.
答:这件商品至多能打7折.
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提技能·题组训练
分段收费问题
1.某村按以下标准收取水费:用水不 ( http: / / www.21cnjy.com )超过20t,按每吨1.2元收费,超过20t,则超过部分按每吨1.5元收费.某家庭五月份的水费是平均每吨1.25元,那么这个家庭五月份应交水费 ( )
A.20元 B.24元 C.30元 D.36元
【解析】选C.设这个家庭五月份用水xt,
因为1.25>1.2,
所以x>20,
故20×1.2+(x-20)×1.5=1.25x,
解得x=24,
24×1.25=30.
2.某地居民生活用电基本价格为0.5 ( http: / / www.21cnjy.com )0元/度,规定每月基本用电量为a度,超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费.某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a= .
【解析】由于56>0.50×100=50,
所以该居民用电量超过了基本用电量(a度),依题意得
0.50a+(100-a)[(1+20%)×0.50]=56.
解得a=40.
答案:40
3.国家规定个人发表文章,出版图书 ( http: / / www.21cnjy.com )获得稿费的纳税计算办法是:①稿费不高于800元的不纳税;②稿费高于800元又不高于4000元的应交纳超过800元的那部分稿费的14%的个人所得税;③稿费高于4000元的应交纳全部稿费的11%的个人所得税.如今丁老师获得一笔稿费,并交纳个人所得税420元,则丁老师的这笔稿费有 元.
【解析】因为4000×11%=440>420,
所以丁老师的这笔稿费没有超过4000元.设丁老师的这笔稿费有x元,则(x-800)×14%=420,解得x=3800.
答案:3800
4.参加保险公司的医疗保险,住院治疗的病人享受分段报销,保险公司制定的报销细则如表:
住院医疗费(元) 报销率(%)
不超过500元的部分 0
500～1 000元的部分 60
1 000～3 000元的部分 80
…… ……
某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1100元,那么此人住院的医疗费是
元.
【解析】设住院的医疗费为x元,则
500×60%+(x-1000)×80%=1100,
解得x=2000.
答案:2000
方案选择问题
1.一家三人(父母、女儿)准备参加旅游团外出旅游,甲旅行社告知:“父母买全票,女儿按半价优惠”.乙旅行社告知:“家庭旅行按团体票计价,即每人按全价的收费”.若两家旅行社每人票价相同,那么更优惠的是 ( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙相同 D.不能确定
【解析】选B.设每人票价为x元,则甲优惠后全家票价为2.5x元,乙优惠后全家票价为2.4x,故乙旅行社更优惠.
2.假期张老师带学生乘车 ( http: / / www.21cnjy.com )外出参加创新素质实践活动,甲车主说“每人8折”,乙车主说:“学生9折,老师免费”,张老师计算了一下,不论坐谁的车,费用都一样,则张老师带的学生数为 ( )
A.8名 B.9名 C.10名 D.17名
【解析】选A.设张老师带的学生数为x,
依题意得:0.8(x+1)=0.9x,
解得:x=8.
所以张老师带的学生数为8名.
3.某单位急需用车,但又不 ( http: / / www.21cnjy.com )想买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家签定月租车合同,个体车主的收费是3元/km,国营出租公司的月租费为2000元,另外每行驶1km收2元,则用两个公司的车费用一样时的行驶里程是
km.
【解析】设当行驶xkm时,两个公司的费用一样.
则3x=2000+2x,解得x=2000.
答案:2000
4.(2014·临沂外国语质检) ( http: / / www.21cnjy.com )某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为:甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台,用去9万元,请你帮助设计一下商场的进货方案.
【解题指南】1.根据题意,得出所有可能的进货方案.
2.根据两种电视机的总台数与总拨款列出方程求出电视机台数.
3.检验方程的解是否符合实际问题.
4.确定最后的进货方案.
【解析】当购进甲、乙两种电视机时:
设购进甲种电视机x台,则购进乙种电 ( http: / / www.21cnjy.com )视机(50-x)台,列方程为1500x+2100(50-x)=90000,解得x=25,所以50-x=25,即购进甲种电视机25台,乙种电视机25台.
当购进甲、丙两种电视机时:
设购进甲种电视机y台,则购进丙种电视 ( http: / / www.21cnjy.com )机(50-y)台,列方程为1500y+2500(50-y)=90000,解得y=35,所以50-y=15,即购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.
当购进乙、丙两种电视机时:
设购进乙种电视机z台,则购进丙种电 ( http: / / www.21cnjy.com )视机(50-z)台,列方程为2100z+2500(50-z)=90000,解得z=87.5(不合题意,舍去).
综上所述,共有两种方案:一是购进甲种电视机25台,乙种电视机25台;二是购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.
【变式训练】某市剧院举办大型文艺演出, ( http: / / www.21cnjy.com )其门票价格为:一等席300元/人,二等席200元/人,三等席150元/人,某公司组织36名员工去观看,计划用5850元购买2种门票,请你帮助公司设计可能的购票方案.
【解析】(1)当购买一、二等席门 ( http: / / www.21cnjy.com )票时:设买一等席门票x张,则买二等席门票(36-x)张,根据题意,得300x+200(36-x)=5850,
解得x=-13.5,
票数不能为负数,不符题意,舍去.
(2)当购买二、三等席门票时:设买二等席门票y张,则买三等席门票(36-y)张.
根据题意,得200y+150(36-y)=5850,
解得y=9,所以36-9=27.
(3)当购买一、三等席门票时:设买一等席门票z张,则三等席门票(36-z)张.
根据题意,得300z+150(36-z)=5850,
解得z=3,所以36-3=33.
综上,共有两种方案:买二等席门票9张,三等席门票27张或买一等席门票3张,三等席门票33张.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
聪聪到书店想买一些课外书 ( http: / / www.21cnjy.com ),它看了一下定价共95元.这时售货员阿姨告诉聪聪:“书店正在搞促销,如果花10元办会员卡,可享受九折优惠.”你认为书店的促销真的能省钱吗
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_________步开始出现错误.
(2)纠错: __________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
答案: (1)①
(2)假设买x元的书,不办会员卡与办会员 ( http: / / www.21cnjy.com )卡的花费相同,根据题意,得x=0.9x+10.解得x=100.所以当所买的书的总钱数小于100元时,不能省钱,反而费钱,当总钱数大于100元时,能省钱.
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提技能·题组训练
储蓄问题
1.某校七(3)班杨洁同学去年一天将平时 ( http: / / www.21cnjy.com )积攒下来的钱存入银行,存期一年.昨天存期已满,她便到银行取回了本息共计207元(1年存期年利率为3.5%),则杨洁同学去年存入的本金为 ( )
A.190元 B.200元 C.250元 D.以上都不对
【解析】选B.设杨洁同学去年存了x元, ( http: / / www.21cnjy.com )由题意可得x+x×3.5%×1=207.解得x=200.经检验,x=200符合题意.所以,杨洁同学去年存了200元.
2.某储户去年8月份存入定期为1年的人民币5 ( http: / / www.21cnjy.com )000元(一年定期存款利率为3.00%).设到期后银行应向储户支付现金x元,则所列方程正确的是 ( )
A.x-5000=5000×3.00%
B.x+5000=5000×3.00%
C.x+5000=5000×(1+3.00%)
D.x+5000×3.00%=5000×3.00%
【解析】选A.银行向储户支付的现金是储户存款的本息和,根据“本息和-本金=利息”即可列出方程.
3.在银行存入三个月定期10000元,到期取出,共得本息和10071.5元,则该存款的年利率是 .
【解析】设该存款的年利率是x,
则10000+×10000x=10071.5,
解得x=0.0286=2.86%.
答案:2.86%
4.某商店对购买大件商品实行无 ( http: / / www.21cnjy.com )息分期付款,明明的爸爸买了一台9000元的电脑,第一个月付款30%,以后每月付款450元,问明明的爸爸还需几个月才能付清贷款
【解析】设明明的爸爸还需x个月付清贷款,则
9000×30%+450x=9000,解得x=14.
答:明明的爸爸还需14个月才能付清贷款.
【变式训练】王叔叔想购买年利率为3 ( http: / / www.21cnjy.com ).3%的3年期国库券,如果他想3年后本息和为20000元,现在王叔叔购买这种国库券花了多少钱 (结果保留整数)
【解析】设现在王叔叔购买这种国库券花了x元.
根据题意,得x+3×3.3%x=20000,解得x≈18198.
答:现在王叔叔购买这种国库券约花了18198元.
5.王立的爸爸有10000元 ( http: / / www.21cnjy.com )钱准备存入银行为王立两年后上大学时用,但王立的爸爸不知道是直接存两年定期合算,还是先存一年定期到期后把本息和再存一年定期合算.请你帮王立的爸爸解决这个问题(已知一年和两年定期存款年利率分别为3.50%和4.40%).
【解析】(1)直接存两年定期得到的利息为
10000×4.40%×2=880(元).
(2)若先存一年定期到期后再存一年定期的利息为
10000×3.50%×1+(10000+1 ( http: / / www.21cnjy.com )0000×3.50%×1)×3.50%×1=350+10350×3.50%=350+362.25=712.25(元).
因为880>712.25,
所以直接存两年定期合算.
行程问题
1.在400m跑道上有两人练中长跑,甲每分 ( http: / / www.21cnjy.com )钟跑320m,乙每分钟跑280m,两人同时同地同向起跑,tmin后第一次相遇,则t的值为 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
【解析】选A.根据题意得320t-280t=400,解得:t=10.
2.一船在静水中的速度为20km/h,水流速 ( http: / / www.21cnjy.com )度为4km/h,从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头共用了5h,若甲、乙两码头的距离为xkm,则下列方程正确的是
( )
A.(20+4)x+(20-4)x=5
B.20x+4x=5
C.+=5
D.+=5
【解析】选D.根据船在静水中的速度与水速得出船顺流速度为(20+4)km/h,船逆流速度为(20-4)km/h,根据顺流和逆流时间共5h,列方程为+=5.
3.已知A,B两地相距30km ( http: / / www.21cnjy.com ).小王从A地出发,先以5km/h的速度步行0.5h,然后骑自行车,共用了2.5h到达B地,则小王骑自行车的速度为 ( )
A.13.25km/h B.7.5km/h
C.11km/h D.13.75km/h
【解析】选D.设小王骑自行车的速度为xkm/h,由题意得:5×0.5+(2.5-0.5)x=30,解方程得:x=13.75.
4.甲、乙两列火车的车长分别为160m和20 ( http: / / www.21cnjy.com )0m,甲车比乙车每秒多行驶15m,两列火车相向而行从相遇到错开需8s,则甲车的速度为 ,乙车的速度为 .
【解析】设乙车的速度为xm/s,则甲车的速度为(x+15)m/s,根据题意得:[x+(x+15)]×8=360.
解得x=15,则甲车的速度为15+15=30(m/s).
答案:30m/s 15m/s
5.(2014·肇庆实验质 ( http: / / www.21cnjy.com )检)从甲地到乙地,公共汽车原需行驶7h,开通高速公路后,车速平均每小时增加了20km,只需5h即可到达,求甲、乙两地的路程.
【解析】设甲、乙两地的路程为xkm,
列方程为-=20,解得x=350.
答:甲、乙两地的路程为350km.
【一题多解】设车速原来为ykm/h,
列方程为7y=5(y+20),
解得y=50,7×50=350.
答:甲、乙两地的路程为350km.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
一列火车通过长为1500m的大桥要36s,它通过桥头的哨兵需要4s,那么这列火车的长是 m.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)错因:__________________________________________________
(2)纠错:__________________________________________________
_________________________________________________________
答案: (1)火车通过大桥时,没有算上火车本身的长度
(2)
答案:187.5
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提技能·题组训练
等式的性质
1.若a=b,则在①a-=b-,②a=b,③-a=-b,④3a-1=3b-1中,正确的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.第②个不正确.因为在a=b的两边乘的不是同一个数,①③④均正确.
2.下列说法正确的是 ( )
A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=c
B.在等式a=b两边都除以c2+1,可得=
C.在等式=两边都除以a,可得b=c
D.在等式2x=2a-b两边都除以2,可得x=a-b
【解析】选B.选项A中,a可能为0,故A不正确;
因为c2+1>0,故B正确;C选项中由=得b=c,两边应是同乘以a,故C不正确;选项D中两边都除以2应是x=a-b,故D不正确.
3.若m+3n=4n,那么m= ,依据等式性质 ,等式两边都 .
【解析】等式的左边减去3n,由m+3n变为m,所以等式的右边也减3n,即4n-3n=n,所以m=n,依据等式性质1.
答案:n 1 减3n
4.如果x+8=10,那么x=10+ .
【解析】等式两边都加-8,得x=10+(-8).
答案:(-8)
【变式训练】如果4a+3b=5,那么4a=5 .
【解析】由左边知等式两边应同减3b,所以4a=5-3b.
答案:-3b
5.把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式,得y= .
【解析】根据等式性质1,两边都减去2x,得y=3-2x.
答案:3-2x
【互动探究】把方程2x+y=3改写成用含y的式子表示x的形式,得x= .
【解析】根据等式性质1,两边都减去y,得2x=3-y,
根据等式性质2,两边都除以2,
得x=.
答案:
6.将等式5m-2=3m-2变形,过程如下:
因为5m-2=3m-2,
所以5m=3m(第一步),
所以5=3(第二步).
(1)上述过程中,第一步的依据是什么
(2)第二步得出的结论是错误的,为什么
(3)试一下,你能求出此方程的解吗
【解析】(1)等式性质1.
(2)等式的两边不能同时除以m,根据等 ( http: / / www.21cnjy.com )式性质2,等式的两边都除以同一个数(或同一个式子)时,除数或除式不能为0,而这里不能确定m是否为0,所以得出的结论是错误的.
(3)根据等式性质1,两边都加上2,得5m ( http: / / www.21cnjy.com )-2+2=3m-2+2,即5m=3m,两边同减去3m,得5m-3m=3m-3m,即2m=0,根据等式性质2,两边同除以2,得m=0.
【易错提醒】(1)利用等式性质2时,要保证所除以的数或式子不为0.
(2)不能随意同除以一个含有字母的整式,因为此整式有可能为0.
利用等式的性质解简单的一元一次方程
1.解方程-x=5时,应在方程两边 ( )
A.同乘- B.同乘-5
C.同除以 D.同除以5
【解析】选B.方程两边应除以-,即同乘-5.
2.下列四组变形中,正确的是 ( )
A.由5x+7=0得5x=-7
B.由2x-3=0得2x-3+3=0
C.由=2得x=
D.由5x=7得x=35
【解析】选A.选项A,利用等式性质1,两边都减去7,得5x=-7.
3.下列方程的变形,符合等式性质的是 ( )
A.6x-3=8,得6x=8-3
B.5x+2=1,得5x=1+2
C.由-9x=7,得x=9+7
D.由-x=1,得x=-5
【解析】选D.A中等式的左边 ( http: / / www.21cnjy.com )加3,右边减3,所以不正确;B中等式的左边减2,右边加2,所以不正确;C中等式的左边除以-9,右边加9,所以不正确;D中等式的左右两边都乘以-5,所以正确.
4.方程x+1=0的解是 .
【解析】等式的两边同减1,得x=-1.
答案:x=-1
5.在等式3x=x+1两边都 ,得3x-x= ,化简得2x= ,解得x= .
【解析】等式的两边减去x,得3x-x=x+1-x,化简得,2x=1,解得x=.
答案:减去x x+1-x 1
6.利用等式的性质解一元一次方程:
(1)x+1=2.
(2)-=3.
(3)5=x-4.
(4)5(y-1)=10.
(5)--3=5.
【解析】(1)x+1=2,方程两边都减1,得x+1-1=2-1,x=1.
(2)-=3,方程两边同乘-3,得-×(-3)=3×(-3),x=-9.
(3)5=x-4,方程两边都加4,得5+4=x-4+4,化简,得9=x,即x=9.
(4)5(y-1)=10,方程两边同除以5,得=,化简,得y-1=2,两边都加1,得y-1+1=2+1,即y=3.
(5)--3=5,方程两边都加3,得--3+3=5+3,化简,得-=8,方程两边同乘-2,得-×(-2)=8×(-2),即a=-16.
7.若2m+3与-5互为相反数,试求m的值.
【解析】因为2m+3与-5互为相反数,所以2m+3=5,2m=5-3,2m=2,m=1,所以m的值为1.
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用等式的性质把3a-5b=2a-5b变形.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_______步开始出现错误.
(2)纠错: ______________________________________________________
答案: (1)②
(2)等式两边都加5b,得3a=2a,等式两边都减去2a,得a=0.
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提技能·题组训练
用移项解一元一次方程
1.下列方程的变形中,是移项的是 ( )
A.由3=x,得x=3
B.由6x=3+5x,得6x=5x+3
C.由2x=-1,得x=-
D.由2x-3=x+5,得2x-x=5+3
【解析】选D.选项A中等号左右两边交 ( http: / / www.21cnjy.com )换,但是没有变号,不是移项;选项B中等号右边的5x与3交换位置不是移项;选项C中是等号两边同时除以2,不是移项;选项D中等号右边的x变为-x移到等号左边,等号左边的-3变为3移到等号右边,是移项.
【易错提醒】移项是指把等式一边的某项变号后移到另一边,而在等号的同一侧变动某项的位置不是移项,也不需要改变符号.
2.解方程6x+1=-4,移项正确的是 ( )
A.6x=4-1 B.-6x=-4-1
C.6x=1-4 D.6x=-4-1
【解析】选D.选项A,B的错误是没移动的项符号发生了改变;选项C中的1从左移到右,而符号没改变.
3.(2014·厦门汀溪中学质检)方程2x-4=0的解是 .
【解析】移项,得2x=4,
两边都除以2,得x=2.
答案:x=2
4.3x与1+2x互为相反数,则x= .
【解析】由题意得3x+1+2x=0,
移项,得3x+2x=-1,合并同类项,得5x=-1,
两边都除以5,得x=-.
答案:-
5.已知当x=2,y=1时,代数式kx-y的值是3,那么k的值是 .
【解析】由题意,得2k-1=3,
移项,得2k=3+1,
合并同类项,得2k=4,
两边都除以2,得k=2.
答案:2
6.解方程:4x+5-3x=3-2x.
【解析】移项,得4x-3x+2x=3-5.
合并同类项,得3x=-2.
两边都除以3,得x=-.
解带括号的一元一次方程
1.解方程3-(x+6)=-5(x-1)时,去括号正确的是( )
A.3-x+6=-5x+5 B.3-x-6=-5x+5
C.3-x+6=-5x-5 D.3-x-6=-5x+1
【解析】选B.选项A,C均出现了符号错误;选项D出现了漏乘.
2.方程-3(x+1)=9的解为 ( )
A.x=-2 B.x=-4 C.x=2 D.x=3
【解析】选B.去括号,得-3x-3=9,移项,得-3x=12,两边都除以-3,得x=-4.
【一题多解】选B.把(x+1)看作一个整体,方程的两边都除以-3,得x+1=-3,移项,得x=-4.
3.当x= 时,5(x-2)的值等于8.
【解析】根据题意得5(x-2)=8,去括号,得5x-10=8,移项,得5x=18,两边都除以5,得x=.
答案:
4.(2014·江苏外国语学校质检)若方程4(a-x)-4(x+1)=60的解是x=-1,则a为 .
【解题指南】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】把x=-1代入得4(a+1)=60,去括号,得4a+4=60,移项,得4a=56,两边都除以4,得a=14.
答案:14
5.若a,b,c,d为有理数,现规定一种新运算:=ad-bc,那么当=18时,x= .
【解析】由新运算得2×5-4(1-x)=18.
去括号,得10-4+4x=18.移项,得4x=18-10+4.
合并同类项,得4x=12.两边同除以4,得x=3.
答案:3
6.小明星期天从家里出发骑自行车去书店 ( http: / / www.21cnjy.com )买书,去时顺风用了15min,回来时逆风用了20min.已知小明骑自行车的速度不变,为280m/min,则风速为 m/min.
【解析】设风速为xm/min,则
15(x+280)=20(280-x),解得x=40.
答案:40
7.解方程:5(3-x)-12(5-2x)=-17.
【解析】去括号,得15-5x-60+24x=-17,
移项,得-5x+24x=-17-15+60,
合并同类项,得19x=28,两边同除以19,得x=.
8.当x为何值时,式子3(x-2)和4(x+3)-4相等.
【解析】根据题意,得3(x- ( http: / / www.21cnjy.com )2)=4(x+3)-4,去括号,得3x-6=4x+12-4,移项,得3x-4x=12-4+6,合并同类项,得-x=14,两边都除以-1,得x=-14.
答:当x=-14时,式子3(x-2)和4(x+3)-4相等.
【变式训练】如果2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数,那么x= .
【解析】因为2(x+3)与3(1-x)互为相反数,
所以2(x+3)+3(1-x)=0,去括号,得2x+6+3-3x=0,移项得,2x-3x=-6-3,合并同类项得-x=-9,
两边都除以-1,得x=9.
答案:9
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解方程:3(x-7)-2(9-2x)=18.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第_______步开始出现错误.
(2)纠错: ______________________________
________________________________________
________________________________________
答案: (1)①
(2)去括号,得3x-21-18+4x=18,
移项,得3x+4x=18+21+18,
合并同类项,得7x=57,
两边都除以7，得x=
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提技能·题组训练
解含分母的一元一次方程
1.解方程-(x-5)=-,去分母时,两边同乘以 ( )
A.72 B.36 C.18 D.12
【解析】选C.去分母时,方程两边都乘各分母的最小公倍数,故需乘18.
2.把方程3x+=3-去分母正确的是 ( )
A.18x+2(2x-1)=18-3(x+1)
B.3x+(2x-1)=3-(x+1)
C.18x+(2x-1)=18-(x+1)
D.3x+2(2x-1)=3-3(x+1)
【解析】选A.方程两边都乘以6得18x+2(2x-1)=18-3(x+1).
3.下列解方程步骤正确的是 ( )
A.由2x+4=3x+1,得2x+3x=1+4
B.由7(x-1)=2(x+3),得7x-1=2x+3
C.由0.5x-0.7=5-1.3x,得5x-7=5-13x
D.由-=2,得2x-2-x-2=12
【解析】选D.A.移项没有变号,
B.去括号时漏乘,
C.方程变形时5漏乘10,
D.方程两边都乘以6得2x-2-x-2=12,故正确.
4.若代数式4x-7与代数式5的值相等,则x的值是 ( )
A.-9 B.1 C.-5 D.3
【解析】选A.依题意得:4x-7=5,去括号得:4x-7=5x+2,移项、合并同类项得:x=-9.
5.方程=1的解是x= .
【解析】去分母,得x-3=2,
移项、合并同类项,得x=5.
答案:5
6.解方程:
(1)=-x.
(2)-3=-.
【解析】(1)去分母,得x+8=-3x,
移项,得x+3x=-8,
合并同类项,得4x=-8,
方程两边都除以4,得x=-2.
(2)去分母得:3(2-x)-18=2x-(2x+3),
去括号得:6-3x-18=2x-2x-3,
移项,合并同类项得:-3x=9,
方程两边都除以-3,得x=-3.
灵活解一元一次方程
1.将方程-=1变形为=1-时,其错在( )
A.不应将分子、分母同时扩大10倍
B.移项时未改变符号
C.漏加括号
D.以上都不对
【解析】选B.当分子或分母是小数时,要利用分数的基本性质,将分子与分母同时乘以适当的数,将分子、分母化为整数,故不选A选项;移项应变号,所以变形为=1-是错误的,本题不存在需加括号的情况,所以错误不是漏加括号,故选B.
2.解方程4(x+5)-20=8,较简单方法的第一步是 .
【解析】两边都除以4得x+5-5=2,故x=2.
答案:两边都除以4
3.方程20%(3x-1)-30%(x+5)=1的解为 .
【解析】原方程化为0.2(3x-1)-0.3(x+5)=1,
解这个方程,得x=9.
答案:x=9
4.把方程-=1变形为-= .
【解析】方程左边的变形是依据分数的性质,第一项和第二项均是分子分母同乘以10,等号的右边不变,仍为1.
答案:1
【易错提醒】本题中方程的变形依据是分数的性质而不是等式的性质,要注意区别.
【变式训练】方程-=1将分母化为整数为 .
【解析】利用分数的性质,第一项和第二项分子分母分别同时乘以10和100,
得-=1.
答案:-=1
5.解方程:(1)-x=2.
(2)x+=x+1.
【解析】(1)去中括号,得-3-x=2,
去小括号,得-1-3-x=2,
移项,得-x=2+1+3,
合并同类项,得-x=6,
两边都除以-,得x=-8.
(2)移项,得(x-1)-(x-1)=0,
合并同类项,得(x-1)=0,
两边都除以,得x-1=0,移项,得x=1.
【方法技巧】当题中既有小括号也有中括号 ( http: / / www.21cnjy.com ),并且双重括号同时含有分数时,若先去分母做起来十分麻烦,先去小括号,做起来也比较麻烦,可考虑先去中括号,再去小括号,这样做起来比较简便.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
解下列方程.
-=1+.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错: ___________________________________
____________________________________________
____________________________________________
_____________________________________________.
答案: (1)①
(2)去分母,得3x-(5x+11)=6+2(2x-4),
去括号,得3x-5x-11=6+4x-8,
移项,得3x-5x-4x=6-8+11,合并同类项,得-6x=9,
方程两边都除以-6，得
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提技能·题组训练
一元一次方程的有关概念
1.下列方程为一元一次方程的是 ( )
A.x+5=y+4 B.=1
C.x2-x=1 D.x=0
【解析】选D.选项A有两个未知数;选项B中的不是整式;选项C中未知数的最高次数是2,故A,B,C都不是一元一次方程,选项D符合一元一次方程的定义.
【变式训练】已知下列方程:①x-2=;②0.3x=1;③=5;④x2-4x=3;⑤5x=0;
⑥x+2y=0,其中是一元一次方程的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选B.按照一元一次方程的定义,②③⑤为一元一次方程,故共有3个.
2.一元一次方程2x=4的解是 ( )
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
【解析】选B.把四个选项依次代入方程检验,将A,C,D代入时,等式两边的值都不相等,而当x=2时,等式两边的值相等.
3.(2014·合肥模拟)若关于x的方程2x-a=x-2的解为x=3,则字母a的值为
( )
A.-5 B.5 C.-7 D.7
【解析】选B.由方程2x-a=x-2的解为x=3,
将x=3代入方程得:2×3-a=3-2,
即6-a=1,
解得:a=5.
4.下列各式:①2x-5=3;②5+4= ( http: / / www.21cnjy.com )9;③4y-5;④3m-5n=7;⑤3x2-2x=7;⑥x+3>4;⑦x+2≠3,是等式的是 ,是方程的是 .
【解析】含有等号的式子为等式,等式有①②④⑤;含有未知数的等式叫做方程,方程有①④⑤.
答案:①②④⑤ ①④⑤
5.(2014·安庆模拟)已知mxn-1-8=0是关于x的一元一次方程,则m ,n .
【解析】因为x的次数为1,所以n-1=1,即n=2;方程中必须有含有未知数x的项,所以m≠0.
答案:≠0 =2
【易错提醒】一元一次方程的条件是“只含一个 ( http: / / www.21cnjy.com )未知数,未知数的次数是1,等号两边都是整式”,三个条件缺一不可.此题不能只考虑n的范围而忽略了m不能为0这个条件.
6.请写出一个解为x=-2的一元一次方程 .
【解析】先写一个含有-2的等式,然后把-2用x代替即可得到一元一次方程.
答案:x+1=-1(答案不唯一)
7.已知y=1是方程my=y+2的解,求m2-3m+1的值.
【解析】因为y=1是方程my=y+2的解,
所以m=1+2,故m=3,
当m=3时,m2-3m+1=9-3×3+1=1.
列一元一次方程
1.小悦买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是 ( )
A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48
C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48
【解析】选A.1元纸币为x张,那么5元纸币有(12-x)张,所以x+5(12-x)=48.
2.甲乙两数的和为10,并且甲比乙大2,求甲、乙两数.下面所列方程正确的是
( )
A.设乙数为x,则x+2=10
B.设乙数为x,则(x-2)+x=10
C.设甲数为x,则(x+2)+x=10
D.设乙数为x,则(x+2)+x=10
【解析】选D.设乙数为x,则甲数为x+2,故(x+2)+x=10.
【变式训练】x的8倍加上4与x的9倍相等,则所列方程为 .
【解析】x的8倍加上4用式子表示为8x+4,x的9倍用式子表示为9x,所以8x+4=9x.
答案:8x+4=9x
3.(2014·甘肃阿阳实验质检)某班把1 ( http: / / www.21cnjy.com )400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元,设获得一等奖的学生人数为x人,其中列方程不正确的是 ( )
A.200x+50(22-x)=1400
B.1400-200x=50(22-x)
C.=22-x
D.50x+200(22-x)=1400
【解析】选D.获得一等奖的学生人数为x人,则获得二等奖的人数为(22-x)人,一等奖奖金共200x元,二等奖奖金共50(22-x)元,根据相等关系“一等奖奖金+二等奖奖金=1400元”,列方程为200x+50(22-x)=1400;根据相等关系“1400元-一等奖奖金=二等奖奖金”,列方程为1400-200x=50(22-x);根据相等关系“(1400元-一等奖奖金)÷二等奖每人的奖金=获二等奖的人数”,列方程为=22-x.选项D不正确.
4.爸爸今年37岁,是儿子年龄的3倍还多1岁,设儿子x岁,列方程为 .
【解析】因为儿子x岁,所以爸爸(3x+1)岁,所以3x+1=37.
答案:3x+1=37
【变式训练】今年父亲32岁,儿子5岁,再过几年父亲的年龄是儿子的4倍 (只列方程)
【解析】设再过x年父亲的年 ( http: / / www.21cnjy.com )龄是儿子的4倍,再过x年后,父亲的年龄变成(32+x)岁,儿子的年龄变成(5+x)岁,列方程为32+x=4(5+x).
5.七年级(1)班部分同学计划一起租车 ( http: / / www.21cnjy.com )秋游,租车费人均15元;后来又有4名同学加入,总租车费不变,结果人均少花3元,设原来有x名学生,可列方程为 .
【解析】原来总租车费为15x,加入4名同学后的总租车费为(15-3)(x+4),故方程为(15-3)(x+4)=15x.
答案:(15-3)(x+4)=15x
6.在一次植树活动中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株.设乙班植树x株.
(1)列两个不同的含x的代数式,分别表示甲班植树的株数.
(2)根据题意列出含未知数x的方程.
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
【解析】(1)根据甲班植树的株数比 ( http: / / www.21cnjy.com )乙班多20%,得甲班植树的株数为(1+20%)x;根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株,得甲班植树的株数为2(x-10).
(2)(1+20%)x=2(x-10).
(3)把x=25分别代入方程的左边和右边,得
左边=(1+20%)×25=30,
右边=2×(25-10)=30.
因为左边=右边,
所以25是方程(1+20%)x=2(x-10)的解.
这就是说乙班植树的株数是25株,从上面检验过程可得甲班植树的株数是30株,而不是35株.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
已知方程(a-4)x|a|-3+2=0是关于x的一元一次方程,求a的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)找错:第_________步出现错误.
(2)纠错: ________________________________________
答案: (1)④
(2)又因为a-4≠0,所以a≠4,所以a=-4.
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