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2023-2024学年八年级数学下册-等边三角形（北师大版）
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【题型3 等边三角形的判定】
【题型4等边三角形的判定与性质】
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【题型6 反证法】
考点1：等边三角形的概念与性质
等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【典例1】（2023秋 文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，
∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，
∴∠BED＝∠EFC，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DB＝EC＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．
故选：C．
【变式1-1】（2023春 余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8．
故选：D．
【变式1-2】（2023春 东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解答】解：∵∠B＝60°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴，
∵AB＝AC＝10，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝5，
故选：D．
【变式1-3】（2022秋 浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 15 ．
【答案】15．
【解答】解：∵∠C＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周长为5×3＝15，
故答案为：15．
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】（2022秋 金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，
∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，
∴∠PBC＝30°，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠E＝30°，
∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
故选：C．
【变式2-1】（2022秋 安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
【变式2-2】（2023秋 琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．18° B．42° C．60° D．102°
【答案】D
【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠2＝42°+60°
＝102°，
故选：D．
【变式2-3】（2023秋 西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．60° C．75° D．45°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°．
故选：C
考点2：等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型3 等边三角形的判定】
【典例3】（2023秋 前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∵DE∥BC，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∴BC＝BD，
∴△BDC是等边三角形．
【变式3-1】（2023秋 公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE，
∵∠CDE＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∵DF∥BA，
∴∠ABC＝∠CDF＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
【变式3-2】（2023秋 宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB＝60°．
∵∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
又∵∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形．
【变式3-3】（2023秋 浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠B，
∴∠C＝∠CDE；
（2）△DEC是等边三角形，
理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，
由（1），△DEC是等腰三角形，
∴△DEC是等边三角形．
【题型4等边三角形的判定与性质】
【典例4】（2022秋 青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）60°；
（3）证明过程见解答．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED
＝∠ADC+∠CDE+∠BED
＝∠ADC+60°+∠BED
＝∠CED+60°
＝60°+60°
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝AD，BN＝BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
【变式4-1】（2023 张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【变式4-2】（2022秋 长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）80°．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°，
∴∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，
∵AE⊥BC，，
∴∠AEC＝90°
∴∠C+∠CAE＝90°．
∵∠CAE＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝∠C＝60°，
∴AD＝AC，
∴△ACD为等边三角形；
（2）由（1）得：∠C＝60°，
∵△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
【变式4-2】（2021秋 白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【答案】（1）△DEF是等边三角形，理由见解析过程；
（2）4．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
考点3：等边三角形的判定
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【典例5】（2023秋 文昌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故选：C．
【变式5-1】（2022秋 新野县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则AD长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BD＝2BC＝4，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
∴∠A＝∠ABD＝15°，
∴AD＝BD＝4，
故选：A．
【变式5-2】（2022秋 霍邱县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，AB＝8，那么BD等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，则
∵CD⊥AB，∠ACB＝90°
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝∠A＝30°．
∴．
故选：A．
【变式5-3】（2022秋 耿马县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若∠A＝30°，AC＝6，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴，
又∵AC＝6，
∴3CE＝6，
∴CE＝2，
故选：B．
考点4：反证法
反证法:先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。
【题型6 反证法】
【典例6】（2022秋 朝阳区期末）用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a2＜b2 D．a2≤b2
【答案】C
【解答】解：用反证法证明“若a≥b＞0，则a2≥b2”的第一步是假设a2＜b2，
故选：C．
【变式6-1】（2023 射洪市校级一模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°
【答案】A
【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
【变式6-2】（2023春 西湖区校级期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°
B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°
D．每一个内角都大于60°
【答案】C
【解答】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
【变式6-3】（2022秋 卫辉市期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0
【答案】A
【解答】解：“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0”第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
一．选择题（共7小题）
1．在△ABC中，AB＝AC＝BC，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
故选：C．
2．如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝20°，则∠1＝（ ）
A．80° B．40° C．60° D．70°
【答案】B
【解答】解：过点B作BD∥AP，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BD∥AP，AP∥CQ，
∴AP∥BD∥CQ，
∴∠BAP＝∠ABD，∠DBC＝∠1，
∵∠BAP＝20°
∴∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣20°＝40°，
∴∠1＝40°，
故选：B．
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝15°，
故选：A．
4．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【答案】D
【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：如图，
∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝2×2＝4．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，则CE为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝30°．
∵AE＝2，
∴AD＝2AE＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6．
故选：C．
7．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”，应该先假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角小于60°
B．每一个内角小于60°
C．至多有一个内角不小于60°
D．每一个内角都大于60°
【答案】B
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 20 cm．
【答案】20．
【解答】解：连接AB．
∵OA＝OB，∠AOB＝60°．
∴△OAB是等边三角形．
∴AB＝OA＝20cm．
故答案为：20．
9．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，则A，C两地相距 120 海里．
【答案】120．
【解答】解：连接AC，
∵一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝120海里，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝120海里．
故答案为：120．
10．如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AD，
∵在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，∠FCD＝∠DCB＝∠FDC，
∴BE＝DE，DF＝FC，
∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF，
∴AE＝2ED，AF＝2DF，
∵AB＝AC＝6，
∴BE+AE＝6，AF+CF＝6，
∴BE＝CF＝2，
∴DE＝DF＝2，
∴EF＝DE+DF＝4，
故答案为：4
11．用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 4 cm．
【答案】4．
【解答】解：12÷3＝4（cm）．
答：这个等边三角形的边长为4cm．
故答案为：4．
12．如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝50米，则AC＝ 50 米．
【答案】50．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝50米，
∴AC＝50米．
故答案为：50．
三．解答题（共4小题）
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴CA＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC
∴△ABC是等边三角形．
14．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
【答案】见解答．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC．
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝AC．
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD．
∴AE＝AB．
15．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2 ≠ 180°．
∵l1∥l2，
∴∠1 ＝ ∠3．
∵∠1+∠2 ≠ 180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和 平角为180° 矛盾，
∴假设∠1+∠2 ≠ 180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：假设∠1+∠2≠180°．
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3．
∵∠1+∠2≠180°，
∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，
∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
故答案为：≠；＝；≠；平角为180°；≠．
16．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
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2023-2024学年八年级数学下册-等边三角形（北师大版）
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【题型3 等边三角形的判定】
【题型4等边三角形的判定与性质】
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【题型6 反证法】
考点1：等边三角形的概念与性质
等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【典例1】（2023秋 文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【变式1-1】（2023春 余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
【变式1-2】（2023春 东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式1-3】（2022秋 浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 ．
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】（2022秋 金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式2-1】（2022秋 安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【变式2-2】（2023秋 琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．18° B．42° C．60° D．102°
【变式2-3】（2023秋 西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．60° C．75° D．45°
考点2：等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型3 等边三角形的判定】
【典例3】（2023秋 前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．
【变式3-1】（2023秋 公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
【变式3-2】（2023秋 宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【变式3-3】（2023秋 浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【题型4等边三角形的判定与性质】
【典例4】（2022秋 青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【变式4-1】（2023 张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【变式4-2】（2022秋 长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求∠BAC的度数．
【变式4-2】（2021秋 白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
考点3：等边三角形的判定
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【典例5】（2023秋 文昌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7.5
【变式5-1】（2022秋 新野县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则AD长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式5-2】（2022秋 霍邱县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，AB＝8，那么BD等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】（2022秋 耿马县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若∠A＝30°，AC＝6，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点4：反证法
反证法:先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。
【题型6 反证法】
【典例6】（2022秋 朝阳区期末）用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a2＜b2 D．a2≤b2
【变式6-1】（2023 射洪市校级一模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°
【变式6-2】（2023春 西湖区校级期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°
B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°
D．每一个内角都大于60°
【变式6-3】（2022秋 卫辉市期末）用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0 B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0 D．a，b都大于0
一．选择题（共7小题）
1．在△ABC中，AB＝AC＝BC，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，△ABC为等边三角形，AP∥CQ．若∠BAP＝20°，则∠1＝（ ）
A．80° B．40° C．60° D．70°
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，则CE为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”，应该先假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角小于60°
B．每一个内角小于60°
C．至多有一个内角不小于60°
D．每一个内角都大于60°
二．填空题（共5小题）
8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm．
9．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120海里到达C地，则A，C两地相距 海里．
10．如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、CD于点E、F，则EF的长度为 ．
11．用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm．
12．如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝50米，则AC＝ 米．
三．解答题（共4小题）
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
14．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE＝AB．
15．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2 180°．
∵l1∥l2，
∴∠1 ∠3．
∵∠1+∠2 180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和 矛盾，
∴假设∠1+∠2 180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
16．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
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