2023-2024学年高一数学-8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（人教A版2019必修第二册）
题型一 圆柱的表面积和体积
1．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设底面半径为，母线为，
圆柱的侧面积为.故选：C.
2．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；
设体积扩大倍后的底面半径为，则，，
其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.故选：B.
3．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，
则，∴.
又，则，∴.故选：B.
4．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 .
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2正方形，
所以，所以，
所以圆柱的侧面积为，
圆柱的表面积为
所以圆柱的表面积与侧面积的比为：.
5．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)；
【答案】
【解析】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为，
则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为，
从而圆柱的侧面积为，
当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值.
题型二 圆锥的表面积和体积
1．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，
所以该圆锥的表面积为.故选：C
2．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为底面半径，所以底面积，底面周长，
圆锥母线长，圆锥侧面积，
故圆锥的表面积为．故选：C.
3．如图，为圆锥面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若．则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，作出展开图，可得，为锐角，故，
由，可得，即为等边三角形，所以，
则圆锥的侧面积为，，
又因为，，所以底面积，
所以圆锥的表面积为．故选：B．
4．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥PO的底面圆半径为，
由母线长为2，侧面积等于，得，解得，
因此圆锥的高，
所以该圆锥的体积为.故选：C
5．甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设母线长分别为，则侧面展开图的圆心角之和，得．
又表面积之和，得，
，解得，
当且仅当时，取“”，故选：A．
题型三 圆台的表面积和体积
1．一个圆台的上、下底面的半径分别为2和3，高为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得圆台的母线长为，
则圆台的表面积为，故选：A．
2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，
依题意有：，解得,
所以圆台的侧面积.故选：B
3．一个底面半径为2的圆锥被与其底面平行的平面所截，截去的小圆锥的底面半径和高均为1，所得圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：由题知原大圆锥底面半径是截去的小圆锥底面半径的2倍，
则原大圆锥的高是截去的小圆锥的高的2倍，即为2，
故圆台的母线长为，故圆台的侧面积.故选：B．
解法二：由于原大圆锥和截去的小圆锥的底面周长之比为，
故原大圆锥与截去的小圆锥的侧面积之比为，
则圆台侧面积为截去的小圆锥侧面积的3倍，即.故选: B．
4．（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的体积为
C．该圆台的外接球体积为 D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm
【答案】BD
【解析】对于A中，由，且，可得，
高，
则圆台轴截面的面积为，所以A不正确；
对于B中，圆台的体积为，所以B正确；
对于C中，设圆台的外接球的球心为，半径为，连接，设，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
即，解得，即与重合，所以，
所以外接球的体积为，所以C不正确.
对于D中，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，
侧面展开图的圆心角.
设的中点为P，连接，可得，
则，所以沿着该圆台表面，从点C到中点的最短距离为5cm，
所以D正确.故选：BD.
5．（多选）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
【答案】BC
【解析】由已知得圆台的上下底面半径分别为，
对于A：圆台的体积为，A错误；
对于B：如图是圆台的轴截面，外接球球心为，设外接球半径为，
当球心在梯形内时，，解得，
当球心在梯形外时，，方程无解，
所以外接球的表面积，B正确；
对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为，则最大周长为，C正确；
对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
，D错误.
故选：BC.
题型四 球的表面积和体积
1．若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设两球的半径分别为，，
则由题意得，解得，故；故选： A.
2．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
【答案】
【解析】设此球的半径为，则，解得.
3．已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
【答案】
【解析】设球体的半径为，根据已知有：，解得，
所以球体体积为：.
4．两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为 .
【答案】
【解析】设两个球的半径分别为，，表面积分别为，，则．
5．（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积；
（2）已知球的体积为，求它的表面积；
（3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比.
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）因为直径为，所以半径，
所以球的表面积，球的体积.
（2）设球的半径为，因为，所以，
所以球的表面积.
（3）设三个球的半径分别为，，，
∵三个球的表面积之比为，
∴，即，
∴，得，
∴.
题型五 组合体的表面积和体积
1．如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；
圆台的下底面面积为；圆台的母线长为，
所以圆台的侧面面积为，
则该组合体的表面积为.故选：D.
2．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，该组合体由一个圆锥与一个圆柱组成，
其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，
圆柱的上底面面积
圆柱的侧面积
圆锥的母线长，则圆锥的侧面积
故该几何体的表面积．故选：B．
3．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（ ）
A．370g B．490g C．650g D．730g
【答案】D
【解析】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，且过点作，垂足为，
则由题意得：，，，
所以，，
故圆台的体积，
又半球的体积，
因为半球的密度为圆台密度的3倍，
所以半球的重量为g
故该不倒翁的总重量为，故选：D.
4．如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆柱，求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.
【答案】
【解析】由题意，知原圆柱的表面积，
挖去圆柱后所得几何体的表面积，
所以.
5．如图，在梯形中，，，且，，，在平面内点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
【答案】表面积为，体积为
【解析】在梯形中，，，且，，，
，
，
．
以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，
组合体上底面积，
旋转体的表面积．
又由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
旋转体的体积．
题型六 常见几何体的综合问题
1．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是，圆柱筒长.
（1）这种“浮球”的体积是多少
（2）要在100个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶20克，那么共需涂胶约多少克
【答案】（1）；（2）克
【解析】（1）该半球的直径，
“浮球”的圆柱筒直径也是，，
两个半球的体积之和为，
又，
该“浮球”的体积是.
（2）上下两个半球的表面积，
“浮球”的圆柱筒侧面积为，
个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
每平方厘米需要涂胶克，
共需要胶的质量为（克）.
2．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.
（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
【答案】（1）；（2）4升
【解析】（1）由已知正四棱台的上底面积，下底面积，高，
所以正四棱台的体积；
由已知圆柱的底面半径，高，
所以圆柱的体积；
故该预制件的体积
故浇制一个这样的预制件大约需要混凝土.
（2）作该几何体的截面，过点作，垂足为，如下：
由已知，，
该正四棱台侧面梯形的高为：，
故该预制件的表面积，
∴，，
所以涂一个这样的预制件大约需要购买保护液4升.
3．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．
（1）求挖掉的正三棱柱的体积；
（2）求该几何体的表面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为正三棱柱的底面边长为，高为2，
则，
所以正三棱柱的体积．
（2）在正三棱柱中，由（1）知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为，
有，即，
令的中点为，连接，则，
且，，，
于是，解得，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
所以该几何体的表面积为：
.
4．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
（1）求圆锥筒的容积；
（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）设圆锥筒的半径为，容积为，
∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，∴，解得，
∴，∴.
∴圆锥筒的容积为.
（2）设内接圆柱高为，由圆锥内接圆柱的轴截面图，
得，
所以内接圆柱侧面积，
所以当时内接圆柱侧面积最大，最大值为.
1．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13
【答案】B
【解析】设圆台上下底面圆的半径为，母线为球的半径为
取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，
圆台的外接球球心为，则球心在截面内，
在截面内，设圆切梯形的边、、、分别于点、、、，
由切线长定理可得，，故，即；
由于,所以，解得
；故选：B．
2．（多选）如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则（ ）
A．此圆锥的侧面积为 B．球的表面积为
C．原玻璃杯中溶液的体积为 D．溢出溶液的体积为
【答案】ABD
【解析】如图，
球心为圆锥轴截面三角形的中心，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，球的半径为，
则由题意得，
对于AC，圆锥的侧面积为，故正确；
原玻璃杯中溶液的体积等于圆锥的体积为，故C错误．
对于BD，圆锥轴截面为正三角形，且边长为4，
则球的半径为，
球的表面积为，
溢出溶液的体积等于球的体积为，故正确．故选：ABD．
3．如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．
（1）求圆锥的表面积；
（2）若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离；
（3）若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），，则，圆锥的表面积为.
（2）设圆锥展开扇形的圆心角为，，故，如图所示：
，，故.
动点从点出发运动到点所经过的最短距离为.
（3）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，球心在上，作于，
设球半径为，，则，解得，
，解得，即的最大值为.2023-2024学年高一数学-8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（人教A版2019必修第二册）
题型一 圆柱的表面积和体积
1．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
3．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 .
5．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)；
题型二 圆锥的表面积和体积
1．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为圆锥面圆的一条直径，点为线段的中点，现沿将圆锥的侧面展开，所得的平面图形中为直角三角形，若．则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙两个圆锥的底面半径相等，均为，侧面展开图的圆心角之和为，表面积之和为．则底面半径的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型三 圆台的表面积和体积
1．一个圆台的上、下底面的半径分别为2和3，高为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．一个底面半径为2的圆锥被与其底面平行的平面所截，截去的小圆锥的底面半径和高均为1，所得圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的体积为
C．该圆台的外接球体积为 D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm
5．（多选）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
题型四 球的表面积和体积
1．若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
3．已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
4．两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为 .
5．（1）已知球的直径为，求它的表面积和体积；
（2）已知球的体积为，求它的表面积；
（3）若三个球的表面积之比为，求这三个球的体积之比.
题型五 组合体的表面积和体积
1．如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（ ）
A．370g B．490g C．650g D．730g
4．如图所示，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆柱，求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值.
5．如图，在梯形中，，，且，，，在平面内点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
题型六 常见几何体的综合问题
1．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是，圆柱筒长.
（1）这种“浮球”的体积是多少
（2）要在100个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶20克，那么共需涂胶约多少克
2．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.
（1）求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
（2）为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
3．如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2．
（1）求挖掉的正三棱柱的体积；
（2）求该几何体的表面积．
4．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒
（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
（1）求圆锥筒的容积；
（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值．
1．已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．7：8 D．6：13
2．（多选）如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则（ ）
A．此圆锥的侧面积为 B．球的表面积为
C．原玻璃杯中溶液的体积为 D．溢出溶液的体积为
3．如图，在中，，斜边是的中点，现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．
（1）求圆锥的表面积；
（2）若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点出发运动到点所经过的最短距离；
（3）若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值．
