8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1、了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式；
2、能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系；
3、会求组合体的表面积及体积；
4、能解决与球有关的组合体的计算问题.
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
1、侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图．
（2）依次求出各个平面图形的面积．
（3）将各平面图形的面积相加．
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式
几何体 体积公式 说明
圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高
圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高
圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高
2、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识
（1）等底、等高的两个圆柱的体积相同；
（2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；
（3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系
（4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.
三、球的表面积和体积
1、球的体积公式：
2、球的表面积公式：
题型一 圆柱的表面积和体积
【例1】（23-24高一下·全国·专题练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为 .
【答案】
【解析】由题意知该圆柱的高和底面直径是，
所以该圆柱的体积为.
【变式1-1】（22-23高一下·湖南常德·期中）（多选）以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（ ）
A．64π cm2 B．96π cm2 C．168π cm2 D．224π cm2
【答案】CD
【解析】当以长所在的直线为旋转轴时，
则得到的圆柱的表面积为 cm2，
当以宽所在的直线为旋转轴时，
则得到的圆柱的表面积为 cm2，故选：CD
【变式1-2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设圆柱的底面半径为，高，其轴截面的面积为，
新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，
若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，即，
所以圆柱的侧面积为.故选：A.
【变式1-3】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知矩形的周长为24厘米，矩形绕旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是（ ）平方厘米.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设矩形的长，宽分别是，则，
所以圆柱的侧面积，
当且仅当时，取“”号.
所以当矩形的长和宽都是6厘米时，
旋转所形成的圆柱侧面积最大值是平方厘米，故选：A.
题型二 圆锥的表面积和体积
【例2】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）母线和底面圆的直径都为2的圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为圆锥侧面积为（其中为底面圆半径，为母线长），
所以侧面积.故选：A
【变式2-1】（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）是圆锥的一个轴截面，，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：
因为，则圆锥底面半径，
，即母线，
所以圆锥的侧面积.故选：D.
【变式2-2】（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）圆锥的母线长为，底面半径为，则其侧面积等于 ，体积为 ．
【答案】；
【解析】底面周长为，母线长，所以该圆锥的侧面积为．
由勾股定理知，圆锥的高，则体积.
【变式2-3】（2023·河南新乡·一模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，
则圆锥底面圆面积为，周长为，高为，
可得，解得，
所以该圆锥的表面积为．
题型三 圆台的表面积和体积
【例3】（23-24高一下·河南·月考）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则利用弧长公式可得，即；，即；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，故选：C.
【变式3-1】（22-23高一下·重庆江津·期末）已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为，母线长为，高为,
因为，，由圆台侧面积公式可得，
所以，所以，
所以该圆台的体积.故选：A.
【变式3-2】（22-23高一下·河南周口·期末）某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（ ）
A．17.02立方米 B．17.23立方米 C．17.80立方米 D．18.22立方米
【答案】C
【解析】依题意，设圆台的高为h厘米，
则厘米，
所以圆台的体积为立方厘米，
故需要营养土约为立方米．故选：C．
【变式3-3】（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）圆台的上 下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ）
A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是
C．圆台的高是 D．圆台的体积是
【答案】C
【解析】依题意，圆台侧面展开图，如图，
设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，
又，则，同理，
于是圆台的母线，高，
表面积，
体积，ABD正确，C错误.故选：C
题型四 球的表面积和体积
【例4】（22-23高一下·湖南益阳·期中）球的半径是，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为球的半径是，所以球的体积.故选：A
【变式4-1】（22-23高一下·云南文山·期末）若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为，由题意可得，解得，故，故选:D．
【变式4-2】（22-23高一下·陕西西安·期中）两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】设两球的半径分别为，，
表面积之比，，
体积之比.故选：C.
【变式4-3】（22-23高一下·天津红桥·期末）若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设扩大前后球半径分别为，
由表面积之比为，得，
则体积之比为.故选：D.
题型五 组合体的表面积和体积
【例5】（22-23高一下·湖南岳阳·期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆柱、圆锥的底面半径为，
圆锥的母线长为，
所以陀螺的表面积是.故选：B.
【变式5-1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所
示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，组合体的体积为：
，故选：A.
【变式5-2】（22-23高一下·陕西西安·期中）六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示.
（1）求该六角螺帽的体积；
（2）求该六角螺帽的表面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，
，
（2）六角螺帽的表面积：.
【变式5-3】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．
（1）求此旋转体的表面积．
（2）求此旋转体的体积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在梯形中，，，且，，，
，
，
．
以为轴将梯形旋转一周后，形成的几何体为圆柱中
挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
且圆柱高为，底面半径为，圆锥的母线长为，底面半径为，
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，圆锥的底面积，
组合体上底面积，
旋转体的表面积．
（2）由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积，
圆锥的体积，
旋转体的体积．
题型六 常见几何体的综合问题
【例6】（22-23高一下·河南·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出圆锥的轴截面，如图：
设圆柱的半径为r，由题意得，即，
则圆柱的侧面积，
而，
∴当时，圆柱的侧面积S取最大值．故选：D.
【变式6-1】（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆．
（1）求其母线长；
（2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积．
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l， 高为h，
由题意知，侧面展开图的弧长，
∴圆锥高，
由其轴截面的面积为. 解得，
则，即其母线长为.
（2）设正四棱柱的高为，
所以圆锥体积为.
由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为=
所以该几何体的体积为=.
【变式6-2】（22-23高一下·福建三明·阶段练习）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点.
（1）求圆柱的表面积
（2）求四棱锥的体积的最大值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）如图：
连接BD，在中，，，，
由余弦定理，得，
所以，设圆柱底面半径为r，
由正弦定理，得，所以，
故圆柱的表面积；
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理，得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，
因为，又，
所以四棱锥的体积，
，
故四棱锥的体积的最大值为.
【变式6-3】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）如图，半球底面圆的圆心为O（即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆，以圆面为底面向下挖去一个圆柱（圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x，体积为V.
（1）求出体积V关于x的函数解析式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？
附：，，。，（当且仅当时取等）
，（当且仅当时取等）
【答案】（1），定义域为；
（2）当时，体积有最大值
【解析】（1）设正四棱柱的高为，
则，，
，,定义域为，
（2）
当，时取等，
∴当时，体积有最大值8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1、了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式；
2、能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系；
3、会求组合体的表面积及体积；
4、能解决与球有关的组合体的计算问题.
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
1、侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图．
（2）依次求出各个平面图形的面积．
（3）将各平面图形的面积相加．
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式
几何体 体积公式 说明
圆柱 为圆柱的底面积，为圆柱的高
圆锥 为圆锥的底面积，为圆锥的高
圆台 ，分别为圆台的上、下底面，为圆台的高
2、对圆柱、圆锥、圆台体积公式的认识
（1）等底、等高的两个圆柱的体积相同；
（2）等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；
（3）圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系
（4）求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.
三、球的表面积和体积
1、球的体积公式：
2、球的表面积公式：
题型一 圆柱的表面积和体积
【例1】（23-24高一下·全国·专题练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为 .
【变式1-1】（22-23高一下·湖南常德·期中）（多选）以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积为（ ）
A．64π cm2 B．96π cm2 C．168π cm2 D．224π cm2
【变式1-2】（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知矩形的周长为24厘米，矩形绕旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是（ ）平方厘米.
A． B． C． D．
题型二 圆锥的表面积和体积
【例2】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）母线和底面圆的直径都为2的圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）是圆锥的一个轴截面，，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）圆锥的母线长为，底面半径为，则其侧面积等于 ，体积为 ．
【变式2-3】（2023·河南新乡·一模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ．
题型三 圆台的表面积和体积
【例3】（23-24高一下·河南·月考）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（22-23高一下·重庆江津·期末）已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（22-23高一下·河南周口·期末）某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰，已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆都装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（ ）
A．17.02立方米 B．17.23立方米 C．17.80立方米 D．18.22立方米
【变式3-3】（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）圆台的上 下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ）
A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是
C．圆台的高是 D．圆台的体积是
题型四 球的表面积和体积
【例4】（22-23高一下·湖南益阳·期中）球的半径是，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（22-23高一下·云南文山·期末）若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（22-23高一下·陕西西安·期中）两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式4-3】（22-23高一下·天津红桥·期末）若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）
A． B． C． D．
题型五 组合体的表面积和体积
【例5】（22-23高一下·湖南岳阳·期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2 cm，外径长3 cm，筒高4 cm，中部为棱长是3 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（22-23高一下·陕西西安·期中）六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某
种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示.
（1）求该六角螺帽的体积；
（2）求该六角螺帽的表面积.
【变式5-3】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图，在梯形中，，在平面内过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．
（1）求此旋转体的表面积．
（2）求此旋转体的体积．
题型六 常见几何体的综合问题
【例6】（22-23高一下·河南·期中）已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆．
（1）求其母线长；
（2）在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积．
【变式6-2】（22-23高一下·福建三明·阶段练习）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点.
（1）求圆柱的表面积
（2）求四棱锥的体积的最大值
【变式6-3】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）如图，半球底面圆的圆心为O（即半球所在球的球心），半径为4.作平行于半球底面的平面得截面圆，以圆面为底面向下挖去一个圆柱（圆柱下底面圆心即半球底面圆的圆心）.若圆柱的内接正四棱柱的底面正方形的边长为x，体积为V.
（1）求出体积V关于x的函数解析式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，正四棱柱体积最大？最大值是多少？
附：，，。，（当且仅当时取等）
，（当且仅当时取等）
