2023-2024学年高二数学下学期6.2排列与组合-两个计数原理和排列组合
分类加法计数原理
1．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法.
A．120 B．16 C．64 D．39
【答案】B
【分析】根据分类加法计数原理，即可得出结论．
【详解】解：由于书架上有本书，
则从中任取一本书，共有16种不同的取法．
故选：B．
【点睛】本题考查分类加法计数原理的应用，属于基础题．
2．（22-23高二下·北京·期中）陈经纶中学高二年级近日于北京日坛公园组织社会实践活动. 日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如下图所示. 某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开. 已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径. 则该小
组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过 个主要景点；该小组全程共有 条行动路线可供选择.
【答案】 5 35
【分析】该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门；该小组全程行动路线使用分类分步一一列举出来即可.
【详解】该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门，共5个；
各路口与景点标记如图所示，该小组全程行动路线可分三类：
第一类：由A经到H到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到H的路线有：AFGH，AFGDEH，ABDGH，ABDEH，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO,IMKLNO,IMNLKO,JLKO,JLNO,共有种.
第二类：由A经到I到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到I的路线有：AFI,ABDGFI,ABDEHGFI, 第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：JLKO,JLNO, 共有
种.
第三类：由A经到J到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到J的路线有：ABCJ,AFGDBCJ,AFGHEDBCJ, 第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO,IMKLNO,IMNLKO, 共有种.
因此，共有20+6+9＝35.
故答案为：5；35
【点睛】易错点点睛：列举法关键是要做到不重漏，分类要清晰，步骤要合理.
3．（21-22高二下·北京海淀·期中）现有30个分别标有不同编号的球，其中有27个红球，3个黑球.若从这30个球中取出3个球，则至少取到两个黑球的取法总数为 （用数字作答）
【答案】82
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理和组合列式计算作答.
【详解】计算取法总数有2类，恰取到两个黑球的取法数有种，取3个黑球的取法数有种，
由分类加法计数原理知，，
所以至少取到两个黑球的取法总数为82.
故答案为：82
4．（20-21高二下·北京丰台·期中）学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（ ）
A．12 B．14 C．20 D．24
【答案】B
【分析】根据生物进行分类，根据分类计数原理求解
【详解】解：若生物排在第4节，则其它3节任意排，则有种，
若生物不排在第4节，则生物排在第2节或第3节，然后将政治排在前3节中的剩下的2节，最后化学、地理排在剩下的2节，则有种，
所以根据分类计数原理可知共有种，
故选：B
5．（20-21高三上·北京·期中）某公园划船收费标准如下：
船型 两人船 四人船 六人船
（限乘2人） （限乘4人） （限乘6人）
每船租金 （元/小时） 90 100 130
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为 元，租船的总费用共有 种可能．
【答案】 360 10
【解析】由题意直接列举出所有可能即可得解.
【详解】由题意，当租两人船时，租金为元，
当租四人船时，租金为元，
当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为元，
当租两条两人船、三条四人船时，租金为元，
当租两条两人船、两条六人船时，租金为元，
当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为元，
当租四条两人船、两条四人船时，租金为元，
当租五条两人船、一条六人船时，租金为元，
当租六条两人船、一条四人船时，租金为元，
当租一条四人船、两条六人船时，租金为元.
所以租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.
故答案为：360；10.
分步乘法计数原理
6．（21-22高二下·北京·期中）将甲、乙、丙、丁四人排成一行，其中甲不排第一，乙不排第二，丙不排第三，丁不排第四，满足要求的不同排法有 种．
【答案】
【分析】按照分步乘法原理分步骤进行安排即可得答案.
【详解】甲不排第一，所以第一个位置排乙、丙、丁有3种情况，
如果第一个位置排乙，不论二、三、四哪个位置安排甲，丙、丁也就确定了，也对应于3种情况，
根据乘法原理可得不同的排法有（种）.
故答案为：.
7．（22-23高二下·北京顺义·期中）乘积展开后的项数有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，
从第二个括号中选一个字母有种方法，
按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项.
故选：C..
8．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知名同学分别从个社区中选择个社区参加垃圾分类宣传活动，则不同选法的种数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别让每位同学选择社区，每人都有3种选择，利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】名同学分别从个社区中选择个社区参加垃圾分类宣传活动，
分别让每位同学选择社区，每人都有3种选择，
则共有种，
故选：C.
9．（22-23高二下·北京通州·期中）书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．24
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】分两步完成：
第一步，从上层取1本数学书，有4种不同的取法；
第二步，从下层取1本语文书，有5种不同的取法，
由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.
故选：C
10．（22-23高二下·北京·期中）将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ）
A．6 B．24 C．60 D．120
【答案】B
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将连号的两张参观券分给甲，分析连号的情况就可得甲的分法，②将剩下的3张参观券分给其他三人，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，
②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有种分法，
则有种不同的分法；
故选:B．
11．（19-20高二下·北京·期中）从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n种，则n的计算式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有种不同的选法，
又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛，
可分为两类：
第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有中不同的选法；
第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有中不同的选法，
综上可得，不同的选派方式共有.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合
理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
涂色问题
12．（22-23高二下·北京海淀·期中）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ．（用数字作答）
【答案】14
【分析】根据给定条件，求出涂成红色的方格数为偶数的涂色方法数即可计算作答.
【详解】当不涂红色时，有种，当红色方格数为2时，有种，
所以共有：.
故答案为：.
13．（21-22高二下·北京大兴·期中）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红 蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色.有如下结论：
①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种.
则正确结论的序号是 .
【答案】①②
【分析】根据计数原理从6条鱼选两条涂红色可确定①；从①中减掉相邻的种数可得②；分类讨论，再利用加法原理可得③结论.
【详解】①若恰有2条鱼被涂成了红色，则剩余4条鱼被涂成了蓝色，共有种涂色方法，
故①正确；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，可从①中减掉相邻的鱼被涂成红色的情况种数，
共有种方法；故②正确；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，
当红色用1次，有6种涂色方法，
当红色用2次，有种涂色方法，
当红色用3次，有种涂色方法，
当红色用4次，有种涂色方法，
当红色用5次，有6种涂色方法，
共有6+15+20+15+6=62种方法，故③错误.
故答案为：①②.
14．（16-17高二下·北京东城·期中）如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】按：的顺序进行涂色，结合分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】先给第部分涂色，有种涂色方法；再给第部分涂色，有种涂色方法；
再给第部分涂色：
若第部分颜色与第部分相同，则第部分只有种涂色方法，再给第部分涂色，有种涂色方法；
若第部分颜色与第部分不相同，则第部分有种涂色方法，再给第部分涂色，有种涂色方法．
所以不同的涂色方法一共有种．
故选：C
数字排列问题
15．（22-23高二上·甘肃兰州·期中）用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成 个没有重复数字的三位数.
【答案】180
【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解.
【详解】选0时，0不能在首位，故有个，
不选0时，有个，
根据分类加法原理，共有个，
故答案为:180.
16．（21-22高二下·北京·期中）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
17．（22-23高二下·北京通州·期中）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中奇数的个数为 ．
【答案】84
【分析】根据题意，分从0，2，4中选出的数字没有0和有0，利用排列和组合结合分类计数原理求解.
【详解】解：由题意，分2类讨论：
第一类是从0，2，4中选出的数字没有0，则从2，4中任取2个数字有种方法，
从1，3，5中任取2个数字有种方法，
则组成没有重复数字的四位奇数有个，
第二类是从0，2，4中选出的数字有0，则从2，4中任取1个数字有种方法，
从1，3，5中任取2个数字有种方法，
则组成没有重复数字的四位奇数有个，
则共有个符合条件的奇数，
故答案为：84
18．（22-23高二下·北京东城·期中）在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由题意，可分千位数为，百位数为；千位数为，百位数为；千位数为，百位数为；千位数为；千位数为五种情况分析，结合排列数与组合数的公式，即可求解．
【详解】若这个数的千位数为，百位数为，则这个数可以是，，共个，
若这个数的千位数为，百位数为，则这个数的个位只能是，
满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，百位数为，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，这个数的个位只能是，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，则满足条件的数共有个，
根据分类计数原理，可得满足条件的数共有个．
故选：C．
19．（19-20高二下·北京西城·期中）从0、2、4中取一个数字，从1、3、5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （用数字作答）
【答案】
【分析】由题意分为从0、2、4中取一个数字0，从0、2、4中取一个数字不是0分类，由分步乘法计数原理结合排列、组合的知识即可得解.
【详解】由题意，要从0、2、4中取一个数字，从1、3、5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，可以分成两种情况：
第一种，当从0、2、4中取一个数字0，而从1、3、5中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；
第二种，当从0、2、4中取一个数字不是0，而从1、3、5中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；
综上，所有不同的三位数的个数是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
元素（位置）有限制的排列问题
20．（21-22高二下·北京丰台·期中）2022年北京冬奥会共有109个比赛项目，甲、乙两名同学分别从冰上项目：短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰壶、冰球5个体育项目中，任意选取一个项目进行学习，要求两人不能同时选报同一个项目，则不同的选取方法共有（ ）
A．7种 B．20种 C．25种 D．32种
【答案】B
【分析】从5个项目中任选2个作排列即可求不同的选取方法.
【详解】由题意，从5个项目中任选2个让甲乙各选一个学习，则有种.
故选：B
21．（22-23高二下·北京大兴·期中）若甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不站两端，则不同排法的种数为 ．
【答案】
【分析】若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，排好之后形成4个空，甲不站两端，则有2种选择，结合分步乘法计数原理，计算即可．
【详解】若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，共有种，
排好之后形成4个空，甲不站两端，则有2种选择，
则不同排法的种数为．
故答案为：12．
22．（19-20高二下·北京·期中）2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为
【答案】
【分析】先考虑两位教师的排法，再考虑甲的排法，最后考虑余下三位同学的排法，结合分步乘法计数原理求总排法数即可.
【详解】先考虑将两位老师排在中间，有种排法，
再考虑排甲同学，有种排法，
最后考虑余下三位同学的排法，有种排法，
由分步乘法计数原理可得共有种排法.
故答案为：.
23．（21-22高二下·北京东城·期中）为庆祝中国共产党成立100周年，某校合唱团组织“唱支山歌给党听”演唱快闪活动.合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．120种 D．240种
【答案】B
【分析】首先让甲、乙在中间位置上排序，然后剩下的4人在其余位置进行全排列即可.
【详解】由题意可知，甲，乙站在正中间，有种排队方案，
其它人随机排列，有种排法，
则这6个人的排队方案共有种.
故选：B.
24．（21-22高二下·北京·期中）2022年4月4日至2022年7月3日期间，北京本地燃油机动车尾号限行规定为
周一 周二 周三 周四 周五
3和8 4和9 5和0 1和6 2和7
已知甲、乙、丙各拥有一辆本地燃油机动车，车牌尾号分别为1,2,7三人住在同一小区且工作地点相近，故商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车只用一天，按此限行规定，周一到周
五不同的用车方案种数为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
【答案】B
【分析】根据甲的车只用一天以及限行规则可确定甲车周几出发，然后其它每天乙、丙两辆车任选即可求解.
【详解】解：由题意知：甲的车只用一天且乙、丙车尾号为2,7,
故甲的车安排在周五，
又因为其它四天乙、丙车不受限制，
故每天都有两种选法，
故有：种不同的方案.
故选：B.
相邻问题的排列问题
25．（21-22高二下·北京通州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．20种
【答案】B
【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解.
【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，
又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，
所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有种排法，再将“射”和“御”交换位置有种排法，最后安排“数”有种排法，
所以根据分步计数原理共有种排法，
故选：B.
26．（20-21高二下·北京丰台·期中）一名同学有3本不同的数学书，2本不同的物理书．现将这些书全部放在一个单层的书架上，并且要求同类的书不分开，则不同放法有 种．（结果用数字作答）
【答案】24
【分析】同类书不分开，用捆绑法排列．
【详解】把数学书和物理书分别捆绑作为一本书排列，方法数为．
故答案为：24．
27．（19-20高二上·北京·期中）将2红2白共4个球随机排成一列，则同色球均相邻的概率为 ．
【答案】
【分析】红球和白球分别捆绑，它们的排列有种，其中红球内部排列有种，白球内部排列有种，所以满足条件的有种；事件所有的排列有种，相比得答案.
【详解】由题可知满足条件的同色球均相邻的情况种数为,
事件所有情况种数，
所以同色球均相邻的概率为
故答案为：
【点睛】本题考查借助排列组合运算方法求古典概型的概率，属于中档题.
28．（20-21高二下·北京·期中）某班上午有5节课，分别安排语文 数学 英语 物理 化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】A
【分析】先将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列，再将数学插空，由分步乘法计数原理计算即可.
【详解】将语文和化学捆绑、与英语，物理全排列有种排法，
数学不排在第一节课，将数学插空有种，
由分步乘法计数原理可得不同的排课法的种数是种，
故选：A.
不相邻排列问题
29．（22-23高二下·北京·期中）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有 种.
【答案】72
【分析】利用间接法求出5件不同的产品排成一排及产品与产品相邻的情况，即可得出结论.
【详解】5件不同的产品摆成一排共有，
产品与产品相邻，把和看做一个元素,使得它与另外3个元素排列，再者和之间还有一个排列，共有，
所以产品与产品不相邻，不同的摆法有.
故答案为：72
30．（21-22高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可．
【详解】先排丙、丁、戊三人，共有种排法，
甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，
共有种排法，故排法种数为．
故选：D
31．（21-22高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排法共有 种
【答案】36
【分析】将丁、戊两人排好，应用组合排列分别求甲乙看作整体与丙插入队列、甲乙丙看作整体插入队列计数，最后加总.
【详解】将丁、戊两人排好有种，队列中有3空，
甲乙看作一个整体有种，再将其与丙插入3个空中的2个则种，故种；
甲乙丙看作一个整体有2种，再插入3个空中的1个则种，故种；
所以共有种.
故答案为：36
32．（21-22高二下·北京海淀·期中）8名学生和2位老师站成一排照相，2位老师不相邻且不在两端的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】使用插空法可得.
【详解】先将8名学生排成一排共有种排法，再在8个学生中间的7个空位种选择两个空位排2位老师有种排法，所以总的排法种数为.
故选：C
33．（20-21高二下·北京·期中）有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)
（1）选4人排成一排;
（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;
（3）全体排成一排,女生必须站在一起;
（4）全体排成一排,男生互不相邻;
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.
【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.
【分析】（1）（2）直接利用排列求解；
（3）利用捆绑法求解；
（4）利用插空法求解；
（5）利用优先法求解；
（6）利用间接法求解；
（7）利用整体法求解.
【详解】（1）选4人排成一排，有种；
（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有种；
（3）全体排成一排,女生必须站在一起，有种；
（4）全体排成一排,男生互不相邻，有种；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种；
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种；
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种.
34．（21-22高三上·北京通州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．192种 D．120种
【答案】A
【分析】首先对六艺全排列，减去“射”排在第一次的情况，再减去“数”和“乐”两次相邻的情况，最后再加上“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况即可求解.
【详解】将六艺全排列，有种，
当“射”排在第一次有种，
“数”和“乐”两次相邻的情况有种，
“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有种，
所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有种，
故选：A.
35．（21-22高二上·北京·期中）马路上有依次编号为的9盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先让两端的两盏灯亮着，再点亮中间7盏中的4盏，4盏灯有5个空，利用插空法即可求解.
【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间7盏中的4盏，
4盏灯有5个空格，从5个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有种，
故选：.
定序问题
36．（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
【答案】360
【分析】根据定序问题即可得出答案.
【详解】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，
∴共有种不同排法，
故答案为：360.
37．（22-23高二下·北京东城·期中）一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】分两个节目放在相邻的位置，和两个节目不相邻两种情况讨论，结合插空法即可得解.
【详解】当两个节目放在相邻的位置，有种结果，
当两个节目不相邻，从原来形成的五个空中选两个空排列，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果，
故选：C．
38．（22-23高二下·北京海淀·期中）有个身高均不相等的学生排成一排合影，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边的身高都递减，则不同的排法有 种.（用数字作答）
【答案】
【分析】根据排队问题中的顺序固定问题只选不排，以及分步计数原理计算求解即可．
【详解】最高的学生站在中间，有种排法，
再从其余四个同学中任意选取两个，站在最高同学的左边，由于身高从中间到左边递减，所以共有种不同排法，
最后两名同学站在最高同学的右边，按身高从中间到右边递减，共有种排法，
则个身高均不相等的学生排成一排合影，不同的排法有种，
故答案为：
组合问题
41．（22-23高二下·北京昌平·期中）学校需要在报名的2名男教师和3名女教师中，选取2人参加无偿献血，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为
【答案】/
【分析】先分别求出基本事件的总数和符合题意的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式即可得解.
【详解】先选一名男教师，有种，再选一名女教师，有种，
则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为.
故答案为：.
42．（21-22高二下·北京·期中）从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，则不同的选法共有（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】B
【分析】根据组合的定义，从5名成员中选出3名求解即可．
【详解】从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，
属于组合问题，则不同的选法共有，
故选：B．
43．（22-23高二上·北京顺义·期中）口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球，从中随机摸出2个球.则2个都是黄球的概率为 ；2个球颜色不同的概率为 .
【答案】 ； /.
【分析】先求出从6个球中随机摸出2个球的方法数，再求出摸出的2个球都是黄球的方法数，然后利用古典概型的概率公式可求出2个都是黄球的概率；再求出摸出的2个球颜色不同的情况，再利用古典概型的概率公式可求出2个球颜色不同的概率.
【详解】从6个球中随机摸出2个球，共有，而摸出的2个都是黄球的有1种，
所以摸出2个都是黄球的概率为，
因为摸出的2个球颜色相同的有3种，所以摸出2个球颜色不同的有12种，
所以摸出2个球颜色不同的概率为，
故答案为：；.
44．（22-23高二下·北京通州·期中）从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
【答案】(1)18
(2)30
(3)25
【分析】（1）根据分步乘法计数原理计算可得结果；
（2）分两类计数再相加可得结果；
（3）分三类计数再相加可得结果.
【详解】（1）从3名男生中选出1名的选法有种，
从4名女生选出2名的选法有种，
所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法为．
（2）选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有种，
有2名女生1名男生的选法有种，
所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法为种．
（3）选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有种；
女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有种；
女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有种，
所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法为种．
45．（22-23高二下·北京顺义·期中）某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】
根据题意可知，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，结合组合的知识，求解即可.
【详解】
某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，
若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，
故不同选法共有种.
故选：.
分组分配问题
46．（22-23高二下·北京丰台·期中）把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【分析】要求每个班级至少有一名新生，所以先从人的个数分三组，则有两类情况，求出所有的组数，再对三组进行排序即可.
【详解】解：把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，
从人的个数有组分法，即，，和，，两种分法.
若分成人，人，人，则共有分组方法，
若分成人，人，人，则共有分组方法，
将分好的三组安排到三个班级中共有种排法，
所以所有的安排方法共有种安排方法.
故选：.
47．（21-22高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分步乘法计数原理及组合的平均分组问题即可求解.
【详解】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种.
再将余下的6人平均分成两组有种.
然后这四个组自由搭配还有种，
故最终分配方法有种
故选：B.
48．（22-23高二下·北京·期中）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．21 C．36 D．42
【答案】D
【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，
由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地派2名女生，有种情况；
若甲地分配1名女生，有种情况，
则甲地的分派方法有种方法；
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，
由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种.
故选：D.
49．（22-23高二下·北京海淀·期中）首师大附中四月在园博园开展越野跑活动，沿途共设置3个“志愿服务站”.现有4名男同学和3名女同学，分配到这3个“志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为（ ）
A．432种 B．216种 C．108种 D．72种
【答案】B
【分析】首先将4名男同学分配到3个志愿服务站，再将3名女同学分配到3个志愿服务站，即可得到答案.
【详解】首先将4名男同学分配到3个志愿服务站共有种，
将3名女同学分配到3个志愿服务站共有种，
所以共有种.
故选：B
50．（22-23高二下·北京·期中）我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将4本书先分成3组（每组至少1本），再将这3组书全排列，即可求得小南同学的不同
选修方式的方法数.
【详解】依据题给要求，先将《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，
《孙子算经》分成3组，每组至少1本，再将这3组书全排列即可.
则小南同学的不同选修方式有种.
故选：C
51．（21-22高二下·北京·期中）下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ．
【答案】
【分析】先将左端的六个接线点随机地平均分成三组，再将右端的六个接线点随机地平均分成三组，从而可求出所有的连接方法，然后再求出五个接收器能同时接收到信号的所有接法，再利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点随机地平均分成三组也有15种分法，所以共有225种：
要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个接收器与信号源左端连接，最后一个接收器与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，
所求的概率是．
故答案为：
52．（21-22高二下·北京海淀·期中）2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天
员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有 种不同的安排方案．
【答案】12
【分析】分两种情况，另外3人分别讲述三名航天员的事迹和另外3人讲述翟志刚和叶光富的事迹.
【详解】第一种情况，另外3人分别讲述三名航天员的事迹，有种方法，
第二种情况，另外3人讲述翟志刚和叶光富的事迹，有种方法，
综上，共有种不同的安排方案.
故答案为：12.
53．（19-20高二下·北京西城·期中）某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 （用数字作答）
【答案】
【分析】由题意，分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，由分类计数原理结合排列、组合的知识，计算即可得解.
【详解】由题意，满足要求的情况可分为三种：
①每个班接收1名同学，分配方案共有种；
②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名，分配方案共有种；
③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有种；
所以不同的分配方案有种.
故答案为：.
【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
54．（19-20高二下·北京·期中）某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有 种.
【答案】42
【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案．
【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：
所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，
即，
故答案为：42．
【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．
55．（22-23高二下·北京东城·期中）名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
【答案】(1)2880
(2)10080
(3)30960
【分析】（1）先排名男生，再将名女生插入名男生产生的个空中，利用插空法求解即可；（2）利用捆绑法求解即可；（3）分甲站在右端和甲不站在右端两种情况，求解即可．
【详解】（1）要使这名女生不相邻，可以先排名男生，
再将名女生插入名男生产生的个空中，
所以这名女生不相邻的排法有种．
（2）利用捆绑法，把甲和乙捆在一起，看作一个人，
则不同的排法有种；
（3）甲站在右端，其余人全排列，有种排法．
甲不站在右端有种排法，乙有种排法，其余人全排，有种排法．
故一共有种排法．
56．（21-22高二下·北京通州·期中）高二年级某班第一小组有10名同学，现要从该小组中选出4名同学组成一队，参加高二年级辩论赛．
(1)该小组共有多少种组队方法？
(2)若从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，
（ⅰ）该小组有多少种选法？
（ⅱ）如果甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有多少种选法？
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）从该小组10名同学中选出4名同学与顺序无关，是组合问题，从而即可求解；
（2）（ⅰ）从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，与顺序有关，是排列问题，从而即可求解；
（ⅱ）甲同学担任第一辩手有种选法，乙同学担任第三辩手有种选法，甲同学担任第一辩手且乙同学担任第三辩手有种选法，从而利用间接法即可求解；
【详解】（1）解：由题意，从该小组10名同学中选出4名同学共有种组队方法；
（2）解：（ⅰ）从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，有种选法；
（ⅱ）因为甲同学担任第一辩手有种选法，乙同学担任第三辩手有种选法，甲同学担任第一辩手且乙同学担任第三辩手有种选法，
所以甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有种选法.
57．（22-23高二·北京·期中）双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)只鞋子没有成双的；
(2)只鞋子恰成两双；
(3)只鞋中有只成双，另只不成双．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）从双鞋子中选取双，每双鞋子中取只.
（2）从双鞋子中选取双即可.
（3）先从双鞋子中选取一双,再从剩下的双鞋中选取双，每双鞋子中取只.
【详解】（1）解：从双鞋子中选取双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有种取法，根据分步计数原理，选取种数为(种)．
即只鞋子没有成双有种不同取法．
（2））从双鞋子中选取双有种取法，
所以选取种数为 (种)
即只鞋子恰成两双有种不同取法．
（3）先选取一双有种选法，再从双鞋中选取双有种选法，每双鞋只取一只各有种取法．根据分步计数原理，不同取法为 (种)．2023-2024学年高二数学下学期6.2排列与组合-两个计数原理和排列组合
分类加法计数原理
1．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法.
A．120 B．16 C．64 D．39
2．（22-23高二下·北京·期中）陈经纶中学高二年级近日于北京日坛公园组织社会实践活动. 日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如下图所示. 某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开. 已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径. 则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过 个主要景点；该小组全程共有 条行动路线可供选择.
3．（21-22高二下·北京海淀·期中）现有30个分别标有不同编号的球，其中有27个红球，3个黑球.若从这30个球中取出3个球，则至少取到两个黑球的取法总数为 （用数字作答）
4．（20-21高二下·北京丰台·期中）学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（ ）
A．12 B．14 C．20 D．24
5．（20-21高三上·北京·期中）某公园划船收费标准如下：
船型 两人船 （限乘2人） 四人船 （限乘4人） 六人船 （限乘6人）
每船租金 （元/小时） 90 100 130
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为 元，租船的总费用共有 种可能．
分步乘法计数原理
6．（21-22高二下·北京·期中）将甲、乙、丙、丁四人排成一行，其中甲不排第一，乙不排第二，丙不排第三，丁不排第四，满足要求的不同排法有 种．
7．（22-23高二下·北京顺义·期中）乘积展开后的项数有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
8．（22-23高二下·北京大兴·期中）已知名同学分别从个社区中选择个社区参加垃圾分类宣传
活动，则不同选法的种数是（ ）
A． B．
C． D．
9．（22-23高二下·北京通州·期中）书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．24
10．（22-23高二下·北京·期中）将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（ ）
A．6 B．24 C．60 D．120
11．（19-20高二下·北京·期中）从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n种，则n的计算式可以是（ ）
A． B． C． D．
涂色问题
12．（22-23高二下·北京海淀·期中）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 ．（用数字作答）
13．（21-22高二下·北京大兴·期中）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红 蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色.有如下结论：
①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种.
则正确结论的序号是 .
14．（16-17高二下·北京东城·期中）如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，
每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
数字排列问题
15．（22-23高二上·甘肃兰州·期中）用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成 个没有重复数字的三位数.
16．（21-22高二下·北京·期中）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
17．（22-23高二下·北京通州·期中）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中奇数的个数为 ．
18．（22-23高二下·北京东城·期中）在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
19．（19-20高二下·北京西城·期中）从0、2、4中取一个数字，从1、3、5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （用数字作答）
元素（位置）有限制的排列问题
20．（21-22高二下·北京丰台·期中）2022年北京冬奥会共有109个比赛项目，甲、乙两名同学分别从冰上项目：短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰壶、冰球5个体育项目中，任意选取一个项目进
行学习，要求两人不能同时选报同一个项目，则不同的选取方法共有（ ）
A．7种 B．20种 C．25种 D．32种
21．（22-23高二下·北京大兴·期中）若甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不站两端，则不同排法的种数为 ．
22．（19-20高二下·北京·期中）2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为
23．（21-22高二下·北京东城·期中）为庆祝中国共产党成立100周年，某校合唱团组织“唱支山歌给党听”演唱快闪活动.合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有（ ）
A．24种 B．48种 C．120种 D．240种
24．（21-22高二下·北京·期中）2022年4月4日至2022年7月3日期间，北京本地燃油机动车尾号限行规定为
周一 周二 周三 周四 周五
3和8 4和9 5和0 1和6 2和7
已知甲、乙、丙各拥有一辆本地燃油机动车，车牌尾号分别为1,2,7三人住在同一小区且工作地点相近，故商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车只用一天，按此限行规定，周一到周五不同的用车方案种数为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
相邻问题的排列问题
25．（21-22高二下·北京通州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．20种
26．（20-21高二下·北京丰台·期中）一名同学有3本不同的数学书，2本不同的物理书．现将这些书全部放在一个单层的书架上，并且要求同类的书不分开，则不同放法有 种．（结果用数字作答）
27．（19-20高二上·北京·期中）将2红2白共4个球随机排成一列，则同色球均相邻的概率为 ．
28．（20-21高二下·北京·期中）某班上午有5节课，分别安排语文 数学 英语 物理 化学各1节课，要求语文与化学相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
不相邻排列问题
29．（22-23高二下·北京·期中）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有 种.
30．（21-22高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12 B．36 C．48 D．72
31．（21-22高二下·北京·期中）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排法共有 种
32．（21-22高二下·北京海淀·期中）8名学生和2位老师站成一排照相，2位老师不相邻且不在两端的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
33．（20-21高二下·北京·期中）有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)
（1）选4人排成一排;
（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;
（3）全体排成一排,女生必须站在一起;
（4）全体排成一排,男生互不相邻;
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.
34．（21-22高三上·北京通州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数
学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．192种 D．120种
35．（21-22高二上·北京·期中）马路上有依次编号为的9盏路灯，为节约用电，某个时段可以把其中3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
定序问题
36．（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有 种不同的排法．
37．（22-23高二下·北京东城·期中）一次演出，原计划要排个节目，因临时有变化，拟再添加个小品节目，若保持原有个节目的相对顺序不变，则这个节目不同的排列方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
38．（22-23高二下·北京海淀·期中）有个身高均不相等的学生排成一排合影，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边的身高都递减，则不同的排法有 种.（用数字作答）
组合问题
41．（22-23高二下·北京昌平·期中）学校需要在报名的2名男教师和3名女教师中，选取2人参加无偿献血，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为
42．（21-22高二下·北京·期中）从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，则不同的选法共有（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
43．（22-23高二上·北京顺义·期中）口袋中有形状、大小都相同的6个小球，其中有2个白球、2个红球和2个黄球，从中随机摸出2个球.则2个都是黄球的概率为 ；2个球颜色不同的概率为 .
44．（22-23高二下·北京通州·期中）从4名女生3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
45．（22-23高二下·北京顺义·期中）某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
分组分配问题
46．（22-23高二下·北京丰台·期中）把名新生安排到某个班级，要求每个班级至少有一名新生，则不同的安排方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
47．（21-22高二下·北京·期中）登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（ ）
A． B． C． D．
48．（22-23高二下·北京·期中）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ）
A．18 B．21 C．36 D．42
49．（22-23高二下·北京海淀·期中）首师大附中四月在园博园开展越野跑活动，沿途共设置3个“志愿服务站”.现有4名男同学和3名女同学，分配到这3个“志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为（ ）
A．432种 B．216种 C．108种 D．72种
50．（22-23高二下·北京·期中）我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种.
A． B． C． D．
51．（21-22高二下·北京·期中）下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ．
52．（21-22高二下·北京海淀·期中）2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有 种不同的安排方案．
53．（19-20高二下·北京西城·期中）某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 （用数字作答）
54．（19-20高二下·北京·期中）某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有 种.
55．（22-23高二下·北京东城·期中）名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．
(1)若这名女生不能相邻，有多少种不同的排法？
(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
56．（21-22高二下·北京通州·期中）高二年级某班第一小组有10名同学，现要从该小组中选出4
名同学组成一队，参加高二年级辩论赛．
(1)该小组共有多少种组队方法？
(2)若从该小组10名同学中选出4名同学，分别担任第一、二、三、四辩手，
（ⅰ）该小组有多少种选法？
（ⅱ）如果甲同学不担任第一辩手，乙同学不担任第三辩手，共有多少种选法？
57．（22-23高二·北京·期中）双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)只鞋子没有成双的；
(2)只鞋子恰成两双；
(3)只鞋中有只成双，另只不成双．
