第六章：计数原理章末综合检测卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（23-24高二下·江苏扬州·月考）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
2．（23-24高二下·重庆黔江·月考）高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，
故共有种选择方法.故选：D.
3．（23-24高二下·山东滨州·月考）展开式中的常数项为（ ）
A．60 B． C．30 D．
【答案】A
【解析】展开式通项为，
由题意令，解得，
从而展开式中的常数项为.故选：A.
4．（23-24高二下·江苏扬州·月考）某单位春节共有四天假期，现安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有（ ）
A．12种 B．14种 C．18种 D．24种
【答案】B
【解析】分两种情况讨论：①甲在第四天值班，则剩下的有种安排；
②甲不在第四天值班，则甲的安排有两种，乙的安排也有两种，
剩下两人有种，共有种；
所以一共有种安排，故选：B.
5．（23-24高二下·浙江·月考），则（ ）
A．180 B． C．45 D．
【答案】C
【解析】，的展开式通项为，
令，解得，故.故选：C．
6．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻，丙与丁互不相邻的不同排法有（ ）
A．72种 B．144种 C．216种 D．256种
【答案】B
【解析】先把甲与乙捆绑与另外两人排列，有种方法，
再把丙与丁插入空中，有种方法，由分步计数原理可得共有种排法.故选：B.
7．（23-24高二下·湖南娄底·月考）将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，
则有3人分到一个地区，分配方法共有种，
其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，
故所求的概率为，故选：D
8．（22-23高二下·黑龙江·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165 B．180 C．220 D．236
【答案】A
【解析】由题意得，，
则.故选：
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（23-24高二下·重庆·月考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：因为，
所以，故D错误.故选：BC
10．（23-24高二上·山东德州·月考）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】AC
【解析】对于A：由分步计数原理，五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，
共有种放法，故B错误；
对于C：将其中的个球投入一个盒子里共有种放法，故C正确；
对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，
共有：种不同的放法，故D错误．故选：AC
11．（23-24高二下·广东东莞·月考）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）
A．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法
B．甲乙丙三人选择同样课程有6种方案
C．恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种
D．若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式.
【答案】BCD
【解析】对于A，甲乙丙三人每人都有6种选择，共有种，故A错误，
对于B, 甲乙丙三人选择同样课程有6种方案，故B正确，
对于C,恰有三门课程没有被三名同学选中即3名学生选择了不同的三门，
故有种方案，故C正确，
对于D，若老师教2门课程，则有种，
若老师教1门课程，且教2门课的老师教“数”，则有种，
若老师教1门课程，且教2门课的老师不教“数”，则有种，
因此一共有种方案，故D正确，故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（23-24高二下·浙江湖州·月考）若满足关系式，则 ．
【答案】
【解析】由组合数性质可知：若满足关系式，
则或，解得或；
又因为与都为区间上的整数，
当时，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，所以.
13．（23-24高二下·广东东莞·月考）如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有 种不同的涂色方案？
【答案】24
【解析】仅用两种颜色涂四个区域时，则A，C区域同色，B，D区域同色，故有种选择，
用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域或A，D区域或B，D区域必同色，
当A，C同色时，有种，同理A，D、B，D分别同色时各有6种，
故用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案，
综上，共有种方案．
14．（23-24高二下·江苏南通·月考）设，且，若能被8整除，则 .
【答案】
【解析】
，故能被8整除，
由，故当时，即能被8整除.
四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）（22-23高二下·山东滨州·期中）（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，可得，可得.
可得，所以，即，
因为，，，
，，所以；
（2）
，
故，解得.
16．（15分）（22-23高二下·重庆荣昌·月考）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）－2；（2）1093；（3）2187
【解析】（1）当时，；
当时，；故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由展开式可知均为负值，均为正值，
结合（1）（2）可知，
故.
17．（15分）（23-24高二下·山西长治·月考）晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
【答案】（1）1200；（2）3600；（3）3456
【解析】（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：
先排第1个节目，有种安排方法，
再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，
最后余下的节目随便排，有种排法，
由分步计数原理得共有种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，
将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：
一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，
另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，
最后一种为歌唱节目，舞蹈节目 相声节目各1个，有种排法，
故共有种排法.
18．（17分）（23-24高二下·吉林延边·月考）有0，1，2，3，4，5这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数
【答案】（1）156；（2）21；（3）270
【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时，有种方法；
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5,中选1个（有个），
十位和百位从余下的数字中选（有个），共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，共有个；
由分类加法计数原理，知四位偶数共有个.
（2）符合要求的四位数可分为两类：
第一类：十位和个位分别为2和5时，需要从余下的非0数字中选1个放在千位，
剩下的3个数字选1个放在百位，共有个；
第二类：十位和个位分别为5和0时，共有个；
由分类加法计数原理，知符合题意的四位数共有个.
（3）符合要求的四位数可分为三类：
第一类：千位是2,3,4,5中任意1个，余下的三位任意排，有个；
第二类：千位是1，且百位是4,5中任意1个，余下的两位任意排，有个；
第三类：千位是1，且百位是3，十位是4,5中任意1个，个位任意排，有个；
由分类加法计数原理，知符合题意的四位数共有个.
19．（17分）（23-24高二下·河南平顶山·月考）（1）已知，求展开式中的第二十九项；
（2）已知展开式中各项二项式系数之和为64，求展开式所有项的系数之和；
（3）已知，求展开式中系数最大的项（结果中项的系数可以不计算）．
【答案】（1），（2）；（3）和.
【解析】（1）由得，即，解得，
则展开式的通项为，其中，
所以.
（2）根据题意可得，解得，
所以令中，则所有项的系数之和为.
（3）若，展开式的通项为
，其中，
设展开式中第项的系数最大，
则，即，
化简得，解得，因为，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.第六章：计数原理章末综合检测卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（23-24高二下·江苏扬州·月考）可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重庆黔江·月考）高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（23-24高二下·山东滨州·月考）展开式中的常数项为（ ）
A．60 B． C．30 D．
4．（23-24高二下·江苏扬州·月考）某单位春节共有四天假期，现安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有（ ）
A．12种 B．14种 C．18种 D．24种
5．（23-24高二下·浙江·月考），则（ ）
A．180 B． C．45 D．
6．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻，丙与丁互不相邻的不同排法有（ ）
A．72种 B．144种 C．216种 D．256种
7．（23-24高二下·湖南娄底·月考）将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高二下·黑龙江·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第
行的第3个数字为，则（ ）
A．165 B．180 C．220 D．236
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（23-24高二下·重庆·月考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高二上·山东德州·月考）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
11．（23-24高二下·广东东莞·月考）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）
A．甲乙丙三人选择课程方案有120种方法
B．甲乙丙三人选择同样课程有6种方案
C．恰有三门课程没有被三名同学选中的选课方案有120种
D．若有五名教师教这6门课程，每名老师至少教一门，且老师不教“数”，则有1440种排课方式.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（23-24高二下·浙江湖州·月考）若满足关系式，则 ．
13．（23-24高二下·广东东莞·月考）如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有 种不同的涂色方案？
14．（23-24高二下·江苏南通·月考）设，且，若能被8整除，则 .
四．解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）（22-23高二下·山东滨州·期中）（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
16．（15分）（22-23高二下·重庆荣昌·月考）已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
17．（15分）（23-24高二下·山西长治·月考）晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
18．（17分）（23-24高二下·吉林延边·月考）有0，1，2，3，4，5这六个数字.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数
（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数
19．（17分）（23-24高二下·河南平顶山·月考）（1）已知，求展开式中的第二十九项；
（2）已知展开式中各项二项式系数之和为64，求展开式所有项的系数之和；
（3）已知，求展开式中系数最大的项（结果中项的系数可以不计算）．
