2023-2024学年高一数学下学期-线性运算与基底（北师大版2019必修第二册）
目录
题型一：基底
题型二：双重基底
题型三：基底：类中线型（鸡爪型）
题型四：基底：二重“中点”型（风帆型）
题型五：基底：四边形
题型六：出发点不一样四边形
题型七：基底：赵爽“弦图”型
题型八：基底：相交线型
题型九：求参数
题型十：基底：系数最值型（均值型）
题型十一：基底：求数量积
题型十二：基底：数量积最值
题型一：基底
1.（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.
【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
2.（22-23高一下·山西·期中）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
【答案】C
【分析】利用平面向量基底的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，设，
因为、不共线，则，显然不成立，A中的两个向量可作一个基底；
对于B选项，设，
因为、不共线，则，显然不成立，B中的两个向量可作一个基底；
对于C选项，因为，C中的两个向量不能作一个基底；
对于D选项，设，
因为、不共线，则，显然不成立，D中的两个向量可作一个基底.
故选：C.
3.（22-23高一下·重庆万州·期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项.
【详解】若两向量平行，则不可以作为基底，
由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底，
C中的向量，满足，向量，不能作为基底.
故选：C
4.（22-23高一下·福建·期中）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】
利用向量共线定理逐一判断即可.
【详解】对于A：，和共线，A错误；
对于B：，和共线，B错误；
对于C：，和共线，C错误；
对于D：不存在实数使，和不共线，D正确.
故选：D.
题型二：双重基底
1.（2023高一·全国·期中）若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理和平面向量的坐标运算即可求得.
【详解】由已知条件知,，即，
设，则，所以，
解得：，
向量在基底，下的坐标为：．
故选：D．
2.（2023高一·全国·期中）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量基底与坐标关系列式求解即可得答案.
【详解】由题意，得；设，
即,,,,，
则，解得，
故选：．
3.（22-23高一·全国·期中若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
【答案】D
【分析】由题设，知，若 (x,y)为在基底下的坐标，则，即可得方程组求出坐标.
【详解】∵在基底，下的坐标为(－2，2)，
∴.
设(x,y)为在基底下的坐标，则，即，
∴，解得.
∴在基底下的坐标为(0,2)．
故选：D.
题型三：基底：类中线型（鸡爪型）
1.（22-23高一下·江西萍乡·期中）在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算结合图形的性质计算即可.
【详解】
如图所示，可知，
所以.
故选：A
2.（22-23高一下·福建泉州·期中）如图所示，向量，在一条直线上，且则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由得 ，即可得答案．
【详解】由得
．
即， 则．
故选：B．
3.（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值．
【详解】由可得，
所以，
，．
故选：C
4.（22-23高一下·山东菏泽·期中）在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.
【详解】因为，所以，因为，，所以
，故选：B
5.（22-23高一下·陕西延安·期中）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，推得，根据向量的线性运算即可求得答案.
【详解】在中，，则B，C，E三点共线，则，
故，
故选：A
题型四：基底：二重“中点”型（风帆型）
1.（22-23高一下·北京·期中）如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】因为为中点，为中点，
所以
，所以，则.故选：D
2.（22-23高一下·河北张家口·期中）如图，在中，D为BC上靠近B点的三等分点，若M为AD上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取向量作基底，结合向量线性运算表示，再利用平面向量基本定理求解作答.
【详解】由A，M，D三点共线，令，又，
于是，
因此，则，解得，，
所以.
故选：A
3.（22-23高一·山东青岛·期中）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据已知列等式计算即可求出.
【详解】由题意，是上一点，设，
则，
又，所以，
所以，
所以，解得.故选：C
4.（22-23高一 吉林通化·期中）如图，在三角形中，是线段上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量线性运算，用基底向量表示出即可求解作答.
【详解】在中，设，
则
，
因为，则有，解得，所以实数的值为.故选：A
题型五：基底：四边形
1.（22-23高一下·陕西安康·期中）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得E为中点，
故
，故选：C
2.（22-23高一下·云南大理·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可.
【详解】点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点，
则
，
故选：A.
3.（22-23高一下·浙江·期中）如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意知，
故
,
故选：A
4.（21-22高一下·全国·期中在平行四边形中，，是对角线的交点，是的中点，又，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】
所以，
故选：B
题型六：出发点不一样四边形
1.（21-22高一下·江苏常州·期中）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即.
故选：D.
2.（2022·全国·期中）如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算可求的值.
【详解】，而，
故，
而且不共线，故，
故选：C.
3.（21-22高一下·山东济宁·期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由比例关系可知，并得到，由向量线性运算可得结果.
【详解】设，则，
，，
，，，
.
故选：B.
4.（22-23高一·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】选取为基底，表示出，结合平行向量基本定理设，即可求解.
【详解】选取为基底，
，
，
，
设，
，，即.故选：A
题型七：基底：赵爽“弦图”型
1.（21-22高一 ·江苏镇江·期中）我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，在“赵爽弦图”中，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据和得到，最后利用进行基底表示，进而可解.
【详解】
，，则
故选：A
2.（21-22高一下·黑龙江·期中）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解.
【详解】
如图所示，过点分别作，，分别交，于点，，
则，，
所以，，，，
由已知得，则在中，，
所以，，即，，
所以，，即，，
所以，故选：A.
3.（22-23高一下·云南·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合方程的思想求解作答.
【详解】依题意，，而，
因此，解得，
所以.
故选：C
4.（2022高一·全国·期中）图1是我国古代数学家赵爽创造的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个三角形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2所示，已知，若在这个图形中随机取一点，此点取自小正三角形（阴影部分）的概率为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设小正三角形的边长为，大正三角形的边长为，根据条件得到，再在中，由余弦定理建立方程，即可求出结果.
【详解】设小正三角形的边长为，大正三角形的边长为，则，得到，
则，
在中，由余弦定理得，
即，整理得到，
解得或（舍），所以，
故选：C.
题型八：基底：相交线型
1.（22-23高一下·湖南·期中）在中，，，且与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.
【详解】依题意、、三点共线，故，
所以
，
、、三点共线，故，
则
，
所以，解得，
所以，又，所以，
所以.
故选：B
2.（21-22高一下·天津宁河·期中）如图，在中，，，交于F，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用共线向量定理的推论结合已知条件可得，，从而可得，求出可得答案
【详解】因为，，所以，因为三点共线，
所以，因为三点共线，所以，所以，解得，所以，故选：B
3.（20-21高一下·福建厦门·期中）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】假设甲为假，则丙为真，利用面积的关系得到，利用向量的加减法得到，矛盾，判断出甲正确；
甲为真，推导出，得到丙真；
过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，利用平行线分线段成比例定理得到边长的关系，证明出，即可得到和，可判断出乙正确；
由，得到，可判断出不成立，故丁不正确.
【详解】假设甲为假，其余为真，
所以丙为真.
由丙：知，.
因为,而,
所以，
这与甲为假矛盾，所以甲为真；
同理，甲：为真时，即，所以，
所以，所以，即丙为真.
甲：为真时，有.
过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，得到,.
而，所以,所以.
因为QN//AB，所以,
又，所以，所以，
因为，，所以，故乙正确；
由得到，故丁错误.
故选：D
4.（21-22高一下·全国·期中）如图，在中分别是的中点，是的交
点, ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分别是的中点，得到，再利用表示，然后由，利用待定系数法求解.
【详解】解：∵分别是的中点，
∴F是ABC的重心，则，
所以，
，
又因为，
所以，则，
故选：C
题型九：求参数
1.（20-21高一下·重庆北碚·期中）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理计算即可.
【详解】设，则
，
又因为G是的重心，故，
所以有.故选：A
2.（23-24高一 ·辽宁大连·期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC
边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】直线CD和直线BE交于点F，根据向量加，减法的法则，共线定理求出，再利用三点共线，设，根据系数对应相等可得的值.
【详解】由已知，
则
同理可得，
因为直线CD和直线BE交于点F，
所以设即解得.故选：C.
3.（22-23高一下·湖南·期中）在中，是对角线上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理，由对应系数相等求解即可.
【详解】由题可知，∵点是的中点，
∴，∴∴，
∴．故选：C．
4.（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的中点，分别为上的点，，，交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，用、作为基底表示，再根据向量相等，列方程求解即可.
【详解】设，则，则，
则，又为的中点，所以，所以，所以，解得，故.
故选：A
题型十：基底：系数最值型（均值型）
1.（21-22高一下·重庆万州·期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设，根据向量的线性运算，利用表示出，求出和，然后利用双钩函数的单调性求出的取值范围.
【详解】解：由题可知，，设，
则，
所以，而，可得：，
所以，设，
由双钩函数性质可知，在上单调递减，则，
所以的取值范围是.故答案为：.
2.（22-23高一下·广东揭阳·期中）在中，点满足，若线段上的一点满足（，），则 ，的最小值为 ．
【答案】 1 12
【分析】第一空，根据平面向量基本定理，由，，三点共线可得，可得；第二空，利用基本不等式可得.
【详解】如图，
，，，
，，三点共线，
，且，，
，
当且仅当，即时等号成立，的最小值为12．
故答案为：1，12．
3.（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先由A、B、C三点共线，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】由题意，A、B、C三点共线
所以存在实数λ使得，即，
所以而所以则，所以
当且仅当,即时取等号因此的最小值为．
故答案为：．
题型十一：基底：求数量积
1.（22-23高一上·江苏泰州·期中）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
【答案】18
【分析】
表达出，，利用数量积运算法则求出答案.
【详解】因为平行四边形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案为：18
2.（22-23高一 ·上海杨浦·期中）如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 .
【答案】
【分析】由图可知，利用向量数量积定义代入夹角和模长即可得出结果.
【详解】根据题意可知，，；
所以可得
，
即的值为.
故答案为：
3.（21-22高一 上海黄浦·期中）正方形的边长是是的中点，则 .
【答案】3
【分析】以为基底向量表示，，再结合数量积的运算律运算求解即可.
【详解】由题意，，，
则，，
所以
.
故答案为：3.
4.（22-23高一 ·北京海淀·期中）在边长为2的正方形中，E是的中点，则 .
【答案】0
【分析】根据向量加法的三角形法则化简计算.
【详解】如图，
，
因为，所以.
故答案为：0.
题型十二：基底：数量积最值
1.．（22-23高一 ·天津东丽·期中）在中，，面积为，点D为的中点，，设，，则用，表示为 ；若点F为的中点，则的最小值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】因为，则，可得;
因为点F为的中点，，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，，
由基本不等式,于是，
当且仅当取得等号，
则时，有最小值.
故答案为：；.
2.．（22-23高一 ·北京大兴·期中）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值.
【详解】
;
若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，
设，
，
当时，取最小值，且为.
故答案为：；.
3.（22-23高一 ·上海普陀·期中）正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点（与四点不重合），且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合图形的性质和平面向量的运算法则即可求得的取值范围.
【详解】连接交于，
由是正方形，且，可得，
所以，从而，
又因为正方形的边长为2，所以，，
则，因为，
所以，
即，
因为，所以
又因为，
所以当时，取到最大值，
当时，取到最小值，
所以的取值范围为.
故答案为：.
4.（21-22高一 ·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
【答案】/-0.75
【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.
【详解】由题菱形边长为2，
则，，所以，
又因为，
所以，
所以，
令，
则，
所以，
则当时，取最小值为.
故答案为：
优选提升题
1.（2023·河北·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.
【详解】注意到.
又为DC中点，则；
F为AD中点，则.
则；
.
则.
故选：D
2.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
设，可以用表示和，从而得到与的关系，再利用均值不等式求解.
【详解】设因为
所以
所以，所以
当且仅当，即取等，此时，与重合，符合题意.故选：C.
3.（河南省青桐鸣2023届高一第三次大联考数学试题）在中，，，交于，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算得到、，再由、、三点共线，即可得到，从而求出、.
【详解】解：依题意，
，
又、、三点共线，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以，解得.故选：C
4.（广东省肇庆市2023届高一上学期第一次教学质量检测数学试题）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【分析】先在中，利用余弦定理求解，再在中结合勾股定理求解，继而分析即得解.
【详解】由条件可得.在中，由余弦定理得，
∴，∴，，
∴，
∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为，∴面积为4.故选：B
5.（21-22高一上·天津·期中）设是边长为1的等边三角形，为所在平面内一点，且，则当取最小值时，的值为 .
【答案】
【分析】由可推出，进而可得，令，则，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案.
【详解】因为，
所以，即
所以，所以
令，则，即，
所以，
所以，
所以当，即时取得最小值，
故答案为：.2023-2024学年高一数学下学期-线性运算与基底（北师大版2019必修第二册）
目录
题型一：基底
题型二：双重基底
题型三：基底：类中线型（鸡爪型）
题型四：基底：二重“中点”型（风帆型）
题型五：基底：四边形
题型六：出发点不一样四边形
题型七：基底：赵爽“弦图”型
题型八：基底：相交线型
题型九：求参数
题型十：基底：系数最值型（均值型）
题型十一：基底：求数量积
题型十二：基底：数量积最值
题型一：基底
1.（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2.（22-23高一下·山西·期中）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
3.（22-23高一下·重庆万州·期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（22-23高一下·福建·期中）设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
题型二：双重基底
1.（2023高一·全国·期中）若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023高一·全国·期中）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一·全国·期中若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
题型三：基底：类中线型（鸡爪型）
1.（22-23高一下·江西萍乡·期中）在中，，，若，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（22-23高一下·福建泉州·期中）如图所示，向量，在一条直线上，且则（ ）
A． B．
C． D．
3.（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4.（22-23高一下·山东菏泽·期中）在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（ ）
A． B．
C． D．
5.（22-23高一下·陕西延安·期中）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四：基底：二重“中点”型（风帆型）
1.（22-23高一下·北京·期中）如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为，则（ ）
A． B． C． D．
2.（22-23高一下·河北张家口·期中）如图，在中，D为BC上靠近B点的三等分点，若M为AD上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一·山东青岛·期中）如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
4.（22-23高一 吉林通化·期中）如图，在三角形中，是线段上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：基底：四边形
1.（22-23高一下·陕西安康·期中）如图，在梯形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（22-23高一下·云南大理·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一下·浙江·期中）如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（21-22高一下·全国·期中在平行四边形中，，是对角线的交点，是的中点，又，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
题型六：出发点不一样四边形
1.（21-22高一下·江苏常州·期中）如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·全国·期中）如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（ ）
A．1 B． C． D．2
3.（21-22高一下·山东济宁·期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（22-23高一·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
题型七：基底：赵爽“弦图”型
1.（21-22高一 ·江苏镇江·期中）我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，在“赵爽弦图”中，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（21-22高一下·黑龙江·期中）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一下·云南·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（ ）
A． B．
C． D．
4.（2022高一·全国·期中）图1是我国古代数学家赵爽创造的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个三角形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2所示，已知，若在这个图形中随机取一点，此点取自小正三角形（阴影部分）的概率为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型八：基底：相交线型
1.（22-23高一下·湖南·期中）在中，，，且与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．1
2.（21-22高一下·天津宁河·期中）如图，在中，，，交于F，设，，则（ ）
A． B． C． D．
3.（20-21高一下·福建厦门·期中）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4.（21-22高一下·全国·期中）如图，在中分别是的中点，是的交点, ，则（ ）
A． B． C． D．
题型九：求参数
1.（20-21高一下·重庆北碚·期中）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（23-24高一 ·辽宁大连·期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（22-23高一下·湖南·期中）在中，是对角线上靠近点的三等分点，点是的
中点，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
4.（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，为的中点，分别为上的点，，，交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型十：基底：系数最值型（均值型）
1.（21-22高一下·重庆万州·期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
2.（22-23高一下·广东揭阳·期中）在中，点满足，若线段上的一点满足（，），则 ，的最小值为 ．
3.（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知 三点共线于直线，对直线外任意一点，都有，则的最小值为 ．
题型十一：基底：求数量积
1.（22-23高一上·江苏泰州·期中）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
2.（22-23高一 ·上海杨浦·期中）如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则的值为 .
3.（21-22高一 上海黄浦·期中）正方形的边长是是的中点，则 .
4.（22-23高一 ·北京海淀·期中）在边长为2的正方形中，E是的中点，则 .
题型十二：基底：数量积最值
1.．（22-23高一 ·天津东丽·期中）在中，，面积为，点D为的中点，，设，，则用，表示为 ；若点F为的中点，则的最小值为 ．
2.．（22-23高一 ·北京大兴·期中）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
3.（22-23高一 ·上海普陀·期中）正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点（与四点不重合），且，则的取值范围为 .
4.（21-22高一 ·北京顺义·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
优选提升题
1.（2023·河北·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
3.（河南省青桐鸣2023届高一第三次大联考数学试题）在中，，，交于，，则（ ）．
A． B． C． D．
4.（广东省肇庆市2023届高一上学期第一次教学质量检测数学试题）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．8
5.（21-22高一上·天津·期中）设是边长为1的等边三角形，为所在平面内一点，且，则当取最小值时，的值为 .
