2024辽宁中考数学二轮中考考点研究 2.3 一元二次方程及其应用 课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
辽宁近年中考真题精选
1
考点精讲
2
第三节 一元二次方程及其应用
重难点分层练
3
1
命题点
一元二次方程根的意义(本溪2考)
1. (2023本溪15题3分·源自北师九上P51习题2.8第3题改编)关于x的一元二次方程2x2－x－k＝0的一个根为1.则k的值是________．
辽宁近年中考真题精选
1
2
命题点
解一元二次方程
辽宁其他地市真题
2. (2020营口8题3分)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A. x1＝2，x2＝－3
B. x1＝－2，x2＝3
C. x1＝－2，x2＝－3
D. x1＝2，x2＝3
D
3. (2023朝阳4题3分·源自北师九上P47例题改编)方程2x2＝3x的解为
(　　)
A. 0　　
B. 　　　
C. 　　　
D. 0，
D
3
命题点
一元二次方程根的判别式
类型一　由判别式确定根的情况
4. (2020沈阳8题2分)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
B
5. (2023铁岭5题3分)下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(　　)
A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0
C. x2＋2x＋4＝0 D. x2－x－3＝0
D
类型二　由根的情况求字母取值
6. (2020辽宁12题3分)关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
7. (2021本溪辽阳葫芦岛14题3分)若关于x的一元二次方程3x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
m＜1
8. (2020抚顺本溪辽阳13题3分)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0无实数根，则k的取值范围是________．
k<－1
4
命题点
一元二次方程的实际应用
类型一　平均变化率问题
9. (2022辽阳7题3分)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(　　)
A. 1000(1＋x)2＝1000＋440
B. 1000(1＋x)2＝440
C. 440(1＋x)2＝1000
D. 1000(1＋2x)＝1000＋440
A
10. (2023沈阳21题8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
(1)求每个月生产成本的下降率；
解：(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，
根据题意，得400(1－x)2＝361，
解得x1＝ ＝5%，x2＝ ＝1.95，
∵1.95>1，
∴x2＝1.95不合题意舍去．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
(2)请你预测4月份该公司的生产成本．
类型二　“每每问题”
辽宁其他地市真题
11. (2023朝阳19题7分·源自北师九下P50第2题改编)为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．
解：设该粽子售价上涨了x元，
则(4＋x－3)(500－ ×10)＝800，
即x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴粽子售价为4＋1＝5(元)或4＋3＝7(元)．
∵3×200%＝6(元)，即售不超过6元，
∴粽子售价为5元时，满足题意．
答：售价为5元/个时，超市每天的销售利润为800元．
类型三　几何图形问题
(沈阳2021.21)
12. (2021沈阳21题8分)某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
解：设增加了x行x列，根据题意，得
(x＋6)(x＋8)＝6×8＋51.
整理，得 x2＋14x－51＝0.
解得x1＝3，x2＝－17(不合题意，舍去)．
所以，增加了3行3列．
辽宁其他地市真题
13. (2022大连8题3分)如图，有一张矩形纸片，长10 cm、宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为(　　)
第13题图
A. 10×6－4×6x＝32 B. (10－2x)(6－2x)＝32
C. (10－x)(6－x)＝32 D. 10×6－4x2＝32
B
定义
一元一次方程的解法
根的判别式
及根与系数
的关系
根的判别式
(选学)根与系数的关系
一元二次方程
及其应用
一元二次方程
的实际应用常
见类型及关系式
变化率问题
利润问题
面积问题
握手、单循环赛
与送礼物模型
考点精讲
【对接教材】北师：九上第二章P30～P58；
人教：九上第二十一章P1～P26.
定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)
一元二次方程的解法
解法 适用情况
公式法
适用于所有的一元二次方程，求根公式为x＝____________(b2－4ac≥0)
【易错警示】(1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式；(2)将a，b，c代入公式时应注意其符号
一元二次方程的解法
直接开 平方法 (1)方程缺少一次项，即ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)或ax2＝c(a≠0，ac>0)；
(2)(x＋n)2＝p(p≥0)的方程
配方法 适用于所有的一元二次方程，其中当二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，用配方法更简单．具体步骤如下：
(1)若二次项系数不为1，先把系数化为1；
(2)把常数项移到方程的右边，即x2＋px＝－q；
(3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2＋px＋( )2＝－q＋( )2；
(4)把方程整理成(x＋ )2＝－q＋( )2的形式；
(5)运用直接开平方法解方程
一元二次方程的解法
因式分解法 1.缺少常数项，即ax2＋bx＝0(a≠0)；
2．一元二次方程的右边为0，左边易于分解成两个一次因式的乘积；
3．方程两边含有相同的因式
注意：方程两边不能同时除以含未知数的因式，避免丢根
一元二次方程的解法
根的判别式及根与系数的关系
根的判别式：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根
_____________ 方程有两个相等的实数根
____________ 方程无实数根
方程有实数根
●
易错警示
在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，则要加上二次项系数不为0这个限制条件
根的判别式及根与系数的关系
*(选学)根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么 x1＋x2＝ ，x1x2＝
一元二次方程的实际应用常见类型及关系式
变化率问题：设a为基础量，x为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋x)2＝b；
设a为基础量，x为平均下降率，2为下降次数b为下降后的量，则a(1－x)2＝b
利润问题：利润＝售价－进价；总利润＝利润×销售总量
面积
问题
1.如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_______________
图1
图2
图3
2．如图2、3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝____________
(a－x)(b－x)
(a－2x)(b－2x)
一元二次方程的实际应用常见类型及关系式
一元二次方程的实际应用常见类型及关系式
握手、单循环赛与送礼物模型
握手、单循环赛总次数： (n为人数)
互送礼物总份数：n(n－1)(n为人数)
队列问题：总人数＝行数×列数
重难点分层练
一、一元二次方程的解
回顾必备知识
已知关于x的一元二次方程(m－3)x2－4x＋3＝0，请完成下列问题：
(1)m的取值范围为________；
(2)若一元二次方程的一个根为3，则m的值为________；
m≠3
4
例1
一题多设问
(3)当m＝2时，用配方法将方程化成(x＋h)2＝k的形式，则h的值为________，k的值为________；
(4)①若方程无实数根，则m的取值范围是________；
②若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________；
③若方程有两个相等的实数根，则m的值是________；
④若方程有实数根，则满足条件的最大整数m为________.
2
7
m＞
m＜ 且m≠3
4
提升关键能力
例2　解方程：x2－2x－15＝0.
公式法：　　　　　　　　　　　　　　
解：公式法：∵a＝1，b＝－2，c＝－15，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－15)＝64＞0，
则x＝ ＝ ＝1±4，
解得x1＝5，x2＝－3.
配方法：方程整理得(x－1)2＝16，
开方得x－1＝4或x－1＝－4，
解得x1＝5，x2＝－3.
配方法：
因式分解法：
因式分解法：方程分解因式得(x－5)(x＋3)＝0，
可得x－5＝0或x＋3＝0，
解得x1＝5，x2＝－3.
满分技法
解一元二次方程的常用方法为：公式法、配方法、因式分解法．
体验辽宁考法
1. 一元二次方程x2－3x＝0的解是(　　)
A. 0　　　　　 B. 3　　　　　
C. 0，3　　　　　 D. 0，－3
2. 一元二次方程(3x－1)2＝1的解是(　　)
A. x1＝x2＝ B. x1＝x2＝
C. x1＝0，x2＝ D. x1＝0，x2＝
C
C
二、一元二次方程的实际应用
回顾必备知识
基本关系式：现价＝原价×(1－平均下降率)下降次数
例3　(1)某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格为________；
基本关系式：卡片数＝总人数×每人送出去的卡片数
(2)在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠卡片，设参加活动的学生人数为x人，则共送出________张卡片；
5(1－x)2
x(x－1)
基本关系式：利润＝单价×数量－成本
(3)某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天房价定为x元，每间房间的利润为________，共有________个空房间，宾馆每天利润为________________________；
(x－20)
基本关系式：面积＝长×宽
(4)矩形ABCD的长比宽多5，设长为x，则矩形ABCD的面积为________.
x(x－5)
例4　某零件生产厂生产的某型号零件①1月份平均月产量为2000个，由于市场需求量大增，工厂决定从2月份起扩大产能，②3月份平均月产量达到2420个．假设该型号零件2，3，4每月平均月产量增长率相同．
(1)③求该型号零件产量的月平均增长率；
提升关键能力
【分层分析】
第一步：读完题，先看设问；怎么设？看设问③，设该型号零件产量的月平均增长率为x.
第二步：转化题干信息：
a．根据信息③，结合基本公式，可得转换关系式为_______________
___________________________；
b．从信息①、②代入转化后的关系式从题干信息列方程_________
___________________．
3月份产量＝
1月份产量×(1＋平均增长率)2
2000(1＋x)2＝2420
第三步：解方程及作答
求得x的值作答即可．
解：(1)设该型号零件产量的月平均增长率为x，根据题意可得
2000(1＋x)2＝2420，
解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%，
答：该型号零件产量的月平均增长率为10%；
(2)预计4月份该型号零件平均产量为多少个？
(2)2420×(1＋0.1)＝2662(个)．
答：预计4月份该型号零件平均日产量为2662个．
体验辽宁考法
3. 某快递公司今年1月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，设平均每月增长的百分率为x，根据题意可列方程为(　　)
A. 10(1＋x)2＝33.1　　 B. 10(1＋x)＋10(1＋x)2＝33.1
C. 10＋10(1＋x)2＝33.1 D. 10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝33.1
D
4. 某社区利用一块长方形空地建了一个小型的停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640平方米．
(1)求通道的宽；
第4题图
解：(1)设通道的宽是x 米，则阴影部分可合成长为(52－2x)米，宽为(28－2x)米的长方形，
依题意得(28－2x)(52－2x)＝640，
整理得x2－40x＋204＝0，
解得x1＝6，x2＝34.
又∵28－2x＞0，
∴x＜14，
∴x＝6.
答：通道的宽是6米；
第4题图
(2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为26400元？
第4题图
(2)设当每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为w元，则可租出(64－ )个车位，
依题意得w＝(400＋y)(64－ )＝26400，
整理得－ y2＋24y＋25600＝26400，
解得x1＝40，x2＝200，
∴停车场的月租金上涨40元或200元时，月租金收入为26400元．
第4题图