2023-2024学年高一数学下学期- 第二章 平面向量及其应用 -向量综合题归类（北师大版2019必修第二册）
目录
题型一：极化恒等式
题型二： 极化恒等式综合
题型三： 奔驰定理
题型四：奔驰定理综合
题型五：向量夹角
题型六：复合型向量夹角
题型七：投影向量
题型八：向量模与长度最值型
题型九：建系法解向量难题
题型十：三角换元型建系法解向量综合题
题型一：极化恒等式
1．（21-22高一下·重庆沙坪坝期中）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
2．（22-23高一下·北京怀柔·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，因为D为BC的中点，所以，
，设，所以，
所以，可得，，
所以，
因为，所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积.
3．（22-23高一辽宁锦州·期中）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.
【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.
因为，而,所以，
在直角中，因为，，所以，，
则，设，
所以，
所以，
因为二次函数开口向上，对称轴为，且，
所以当时，取最小值，当时，取最大值，
所以的取值范围是.
故选：C
4.（22-23高一 ·江苏常州·期中）在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】
先建立平面直角坐标系，通过写出的坐标表示，再进行运算，最后根据取值范围得到最大值.
【详解】
如图建系，，所以，
设，则，
令，
则，
所以
当时取到等号.
故答案为：3
题型二： 极化恒等式综合
1.（多选）（22-23高一 云南·期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（ ）
A．-3 B． C．20 D．15
【答案】BD
【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，设，得到，式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，作出辅助线，得到到点距离最值，求出的取值范围，选出正确答案.
【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系，
所以，，圆C的方程为，
设，
则，
式子表示点圆上的点到点距离的平方减2，
连接直线，交圆C于两点，
当位于点时，到点距离最大，最大距离为，
此时最大，最大为，
当位于点时，到点距离最小，最小距离为，
此时最小，最小为，
所以的取值范围是，
其中，.
故选：BD.
2.（21-22高一上·湖南长沙期中）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将转化为，结合三角函数的有界性得到取值范围.
【详解】如图，连接，设为和的夹角．
则，且，，由，当时，有最小值；
当时，有最大值为10．
所以的取值范围为.
故答案为：
3.（21-22高一下·福建厦门期中）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 .
【答案】6
【分析】由已知有为△的旁心且，
法一：作于点，可得，再由，即可求值.
法二：应用特殊处理，假设△为等边三角形，根据已知条件易得且，再由，即可求值.
【详解】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，
又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，
法一：作于点，则，如下图示，
所以，又，
所以.
法二：不妨设△为等边三角形，即，则，
所以，故，而，
所以.
故答案为：6
4.（22-23高一下·广东潮州期中）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值；
(3)若为平面内一点，求的最小值.
【答案】(1)10；
(2)240；
(3)-32.
【分析】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解；
（2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（3）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值.
【详解】（1）因为，所以，
即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因为，，
由极化恒等式得
，
所以，
又，所以，
由极化恒等式得
；
（3）连接，，取的中点，连接，
由，，
则
，
所以当点与重合时， .
题型三： 奔驰定理
1.（20-21高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．
【详解】解：为三角形内一点，且满足，
，
．
，
故选：D．
2.（四川省凉山彝族自治州西昌市2020-2021学年高一下学期期中数学（理）试题）已知为内一点，且，则与面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算，数形结合可得点位置，进而得解.
【详解】设线段，的中点分别为，，如图所示，
由，得，
即，故，
所以点在的中位线上，即，
，，
故，故选：C.
3.（2023 ·河南安阳·高一统考期中）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔驰定理”有，
则，而与不共线，有，，即，
所以.
故选：A
4.（2023·陕西安康·统考期中）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
设，则.
由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵与反向共线，，∴，∴，
∴.
故选：D
题型四：奔驰定理综合
1.（21-22高一下·山东济宁·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
【答案】C
【分析】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：
由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：
由可知，，
又，所以
由可得，；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，则，
同理，，
因为O为的垂心，则，
所以，同理得，，
则，
令，
由，则，
同理：，
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：C
2.（多选）（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABC
【分析】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；
对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；
对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；
对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.
【详解】对于A，取的中点，连接,如图所示
由，则，所以，
所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示
则，所以，
即，故B正确；
对于C ，如图所示 因为为的外心，所以,
所以，即，即,所以,
同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，
由为的垂心，，则，
又，则， 设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
3.（多选）（21-22高一下·湖南岳阳期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
【答案】ACD
【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得
，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求.
【详解】对于A选项，因为，
由“奔驰定理”可知，A对；
对于B选项，由 ，，可知，
又，所以，
由可得，，，
所以，B错；
对于C选项，若为的内心，，则，
又（为内切圆半径），
所以，，故，C对；
对D，若O为的垂心，则，，
又，
同理，
又，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，
故，D对.
故选：ACD
题型五：向量夹角
1.（21-22高一·四川巴中·期中）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先将等式两边平方，可得，再用平面向量的夹角公式计算即可.
【详解】
由等式，两边平方得：，
则，且，所以.
，即.
故选：B.
2.（22-23高一 ·河北沧州期中）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据向量的夹角为钝角，由且与不共线求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断..
【详解】
由已知可得，由可得，解得，
所以由与的夹角为钝角可得解得，且.
因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.
综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B．
3.（22-23高一全国期中）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】依题意，，解得.
故选：A.
4.（22-23高一·福建三明·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的数量积与模长公式求夹角即可.
【详解】由，
所以，
因为，所以.
故选：C.
题型六：复合型向量夹角
1.（22-23高一宁夏石嘴山期中）已知向量，向量满足，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数量积运算律、模的坐标公式得、，进一步求得的值，结合向量夹角公式即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
又，
，
设向量与的夹角为，则.
故选：C.
2.（2023·全国·期中）设向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据坐标进行向量的计算，分别计算出对应的坐标和模长，再根据向量的夹角公式代入即可.
【详解】由题意知，
，
．
故选：B
3.（22-23高一·福建福州·期中）已知向量满足，，，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积公式及求夹角公式可求解.
【详解】因为，，，
所以，
，
所以
故选：D
4.（2023·广东·期中）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数量积运算律及向量夹角公式可得，后可得.
【详解】由题可知，，所以，
，则为锐角，得，则.
故选：D
题型七：投影向量
1.（22-23高一·广东广州期中）已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的共线求得m的值，结合与方向相反确定m，根据向量的投影向量的定义即可求得答案.
【详解】由题意知向量，共线，
故，解得或，
又因为且与方向相反，故，
所以，而，
则在方向上的投影向量是，
即在方向上的投影向量的坐标是，
故选：B
2.（22-23高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由向量垂直求出，从而结合数量积坐标公式及投影向量的公式求解即可.
【详解】
因为向量，，所以，解得，
则，则，
所以在方向上的投影向量为.
故选：C
3.（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.
【详解】因为，所以，
又，，所以，得到，
所以，
设与的夹角为，则，
所以在上的投影向量为：，
故选：D.
4.（22-23高一下·河北保定期中）已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可先求出的值，从而可得的坐标，再用投影向量的定义即可求解.
【详解】依题意，，，
所以，解得或，
又与反向，则时，向量与同向，不合舍去，
故，此时，，，
则向量在向量上的投影向量为
.
故选：D
题型八：向量模与长度最值型
1.（22-23高一北京期中）已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的数量积运算求向量的模.
【详解】因为（当且仅当时取“”）.
故选：D
2.（2021·浙江·期中）已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二 设，，，易得，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，连接，然后又，，三点共线且在，中间时，取得最小值求解.
【详解】解法一 由题可得，，
所以要求的最小值，需求的最小值.因为，与的夹角为，
所以的最小值为，所以，即的最小值为，
解法二 如图，设，，，则，.
由，知，点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
连接，结合图形可知，当，，三点共线且在，中间时，取得最小值.
由正弦定理得：，所以，
故的最小值为.故选：A
3.（2022·河南信阳·期中）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】利用进行转化，把转化成二次函数，再用二次函数的性质求值域.
【详解】因为，
所以
所以，所以.
故选：C
4.（21-22高一下·浙江期中）已知点在所在平面内，为锐角，且，，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用数量积的定义可得，进而可得，利用基本不等式即得.
【详解】设，则，
由，，
∴，即
因为
，
当且仅当，即时，取得最小值，
∴当取得最小值时，.
故选：C.
题型九：建系法解向量难题
1.（2021高一·全国·期中）如图，以为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）
A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法及模的坐标运算求得，再根据角的范围利用正弦函数的性质求解最值即可判断.
【详解】
设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系.
则，，，，（其中），
所以，
因为，所以，所以，
故有最小值为0，无最大值.
故选：A
2.（22-23高一·辽宁锦州·期中）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.
【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.
因为，而,所以，
在直角中，因为，，所以，，
则，设，
所以，
所以，
因为二次函数开口向上，对称轴为，且，
所以当时，取最小值，当时，取最大值，
所以的取值范围是.
故选：C
3.（22-23高一下·四川成都·期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围.
【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，
，
，且，
时，取最小值；时，取最大值，
∴的取值范围是，
故选：A.
4.（22-23高一下·河北石家庄·期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，
，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先作垂直于于点，作垂直于于点，结合题意得，，，，再建立合适的平面直角坐标系，设，，从而得到，，进而根据二次函数的性质求解即可．
【详解】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点，
又，，，
则，，，，
则建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
又P为腰AD所在直线上任意一点，
则设，，
则点P的坐标为，
所以，，
又关于的二次函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．
故的最小值是．
故选：C．
题型十：三角换元型建系法解向量综合题
1.（20-21高一下·北京·期中）如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是 ；②若向量，则的最小值为 ．
【答案】 /0.5 /0.5
【分析】①由题知是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；
②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.
法一：结合图像，作，连接PF，设，利用三点共线可得，又三点共线，故可得，因此只需要考虑值最大的情况即可得到的最小值.
法二：由题知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，进而建立直角坐标系，设点,再利用向量坐标运算得，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.
【详解】解：①因为，，
所以是边长为1的等边三角形，
所以.
②法一：如图，作，连接PF，设，
由于共线，不妨设，又
故，
又由于共线，所以，故，
结合图像可知，当两点重合时，交于处，此时值最大，
易知，故，故.
.
法二：因为，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在正方体内的圆弧部分，
所以以点为坐标原点，如图建立坐标系，
因为正方体的边长为，
所以设点，，
所以由得，
所以，解得，
所以，
令，
所以
因为，所以，
所以在区间恒成立，
所以函数在区间单调递增，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：；.
.
【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将转化为，进而考虑特殊位置点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点，进而利用坐标运算得，再结合函数性质求解最值即可.
2.（22-23高一 ·福建福州·期中）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
【答案】
【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.
【详解】解：，设与的夹角为，
，
，又，则，
不妨设，再设，
则
，
即，
所以的最大值为.
故答案为：.
3.（20-21高一 ·浙江宁波·期中）已知向量，若对任意的单位向量，均有，则的取值范围是
【答案】
【分析】由于，，为单位向量，不妨设，，，则，令，结合的取值范围，即可求解．
【详解】解：，，为单位向量，
不妨设，，，
，
令，
当共线时，若，，此时不满足题意，
当不共线时，，
，
，
，
，
，即，
，即，
故答案为：．
4.（22-23高一·浙江宁波·期中）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出，由得到C在以为直径的圆上，表达出，设，利用辅助角公式得到的最值.
【详解】令，
不妨，所以中点坐标为，
因为，所以C在以为直径的圆上，即，
所以，
令，
则
，
因为，所以，
所以.
故选：C.
优选提升题
1.（22-23高一下·浙江·期中）如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】若为中点，令夹角为，由，将其化为关于和的关系式，讨论、结合求目标式的范围.
【详解】若为中点，令夹角为，如下图示，
，又，
由，则，
此时，当时最小值为；
由，则；
此时，当时最大值为；
综上，的取值范围是.
故答案为：
2.（21-22高一 全国·期中）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案.
【详解】由题意作图如下，设，
故向量，
因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则
又因为，所以，则，
故向量与的夹角为的夹角，故为.
故选：C.
3.（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考期中）在平行四边形中，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果.
【详解】，
所以，则.
故选：D
4.（22-23高一 ·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，进而可得点C的轨迹，然后根据三角形相似将转为求线段和最短，然后根据数形结合即得.
【详解】设，，
则，，
即C在以为圆心，2为半径的圆上，
如图，取，则，又，
所以有～，所以，
又因为，，
所以．
故选：B.
5.（22-23高一·辽宁本溪·期中）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，根据三角函数定义写出点M的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标表示，结合余弦函数的有界性可得.
【详解】以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点，，，
设以轴非负半轴为始边，为终边的角为，
易知外接圆的半径为，
所以点，则，
所以，
因为，所以.
即的取值范围为.
故答案为：
2023-2024学年高一数学下学期- 第二章 平面向量及其应用 -向量综合题归类（北师大版2019必修第二册）
目录
题型一：极化恒等式
题型二： 极化恒等式综合
题型三： 奔驰定理
题型四：奔驰定理综合
题型五：向量夹角
题型六：复合型向量夹角
题型七：投影向量
题型八：向量模与长度最值型
题型九：建系法解向量难题
题型十：三角换元型建系法解向量综合题
题型一：极化恒等式
1．（21-22高一下·重庆沙坪坝期中）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
2．（22-23高一下·北京怀柔·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一辽宁锦州·期中）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（22-23高一 ·江苏常州·期中）在梯形中，已知，点分别在线段和上，则的最大值为 ．
题型二： 极化恒等式综合
1.（多选）（22-23高一 云南·期中）已知为直角三角形，且，.点P是以C为圆心，3为半径的圆上的动点，则的可能取值为（ ）
A．-3 B． C．20 D．15
2.（21-22高一上·湖南长沙期中）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是 ．
3.（21-22高一下·福建厦门期中）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满足，，，则 .
4.（22-23高一下·广东潮州期中）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值；
(3)若为平面内一点，求的最小值.
题型三： 奔驰定理
1.（20-21高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（ ）
A． B． C． D．
2.（四川省凉山彝族自治州西昌市2020-2021学年高一下学期期中数学（理）试题）已知为内一点，且，则与面积比为（ ）
A． B． C． D．
3.（2023 ·河南安阳·高一统考期中）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·陕西安康·统考期中）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：奔驰定理综合
1.（21-22高一下·山东济宁·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三
个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若，，则
D．若O为的垂心，则
2.（多选）（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
3.（多选）（21-22高一下·湖南岳阳期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
题型五：向量夹角
1.（21-22高一·四川巴中·期中）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
2.（22-23高一 ·河北沧州期中）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.（22-23高一全国期中）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．
4.（22-23高一·福建三明·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
题型六：复合型向量夹角
1.（22-23高一宁夏石嘴山期中）已知向量，向量满足，若，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·全国·期中）设向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一·福建福州·期中）已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·广东·期中）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：投影向量
1.（22-23高一·广东广州期中）已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2.（22-23高一下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4.（22-23高一下·河北保定期中）已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型八：向量模与长度最值型
1.（22-23高一北京期中）已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·浙江·期中）已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·河南信阳·期中）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为
（ ）
A．4 B．2 C． D．5
4.（21-22高一下·浙江期中）已知点在所在平面内，为锐角，且，，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
题型九：建系法解向量难题
1.（2021高一·全国·期中）如图，以为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）
A．无最大值，但有最小值 B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值 D．既无最大值，又无最小值
2.（22-23高一·辽宁锦州·期中）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一下·四川成都·期中）已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.（22-23高一下·河北石家庄·期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
题型十：三角换元型建系法解向量综合题
1.（20-21高一下·北京·期中）如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是 ；②若向量，
则的最小值为 ．
2.（22-23高一 ·福建福州·期中）已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值
3.（20-21高一 ·浙江宁波·期中）已知向量，若对任意的单位向量，均有，则的取值范围是
4.（22-23高一·浙江宁波·期中）若单位向量满足，向量满足，则（ ）.
A． B． C． D．
优选提升题
1.（22-23高一下·浙江·期中）如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是 .
2.（21-22高一 全国·期中）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考期中）在平行四边形中，．若，则（ ）
A． B． C． D．
4.（22-23高一 ·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.（22-23高一·辽宁本溪·期中）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .
