2023-2024学年高一数学下学期 6.1余弦定理与正弦定理-三角函数与解三角形（北师大版2019必修第二册）
目录
题型一： 恒成立（有解）求参数
题型二： 三角函数“零点和”型
题型三：零点个数型求参
题型四：解三角形：计算角度与函数值
题型五：解三角形：双三角形等分点
题型六：解三角形：角平分线型
题型七：解三角形：四边形
题型八：最值范围：面积型
题型九：最值范围：周长与边长型
题型十：最值范围：非对称型
题型十一：最值范围：分式比值型
题型十二：最值范围：角与邻边型
题型一： 恒成立（有解）求参数
1.．（22-23高一下·河南安阳期中）已知函数，相邻两条对称轴的距离为．
(1)若为偶函数，设，求的单调递增区间；
(2)若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2).
【分析】（1）由得，进而写出解析式， 根据条件确定解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间；
（2）由题设有，设，结合二次函数性质、分类讨论研究的最值，即可求参数范围.
【详解】（1）由题设，所以，
由题设知为偶函数，且，所以，
所以，则，
所以 ，，即，，
所以单调递增区间为；
（2）因为过点，所以，可得，
所以，又，所以，所以，
对任意的，都有成立，
所以即，
，
由，设，
则有图象是开口向下，对称轴为的抛物线，
当时在上单调递增，，即，
解得，所以；
当时在上单调递减，，即，
解得，所以；
当时，，所以，解得，
所以，
综上所述：实数的取值范围为.
2.（22-23高一下·四川南充期中）已知．
(1)求函数的定义域和奇偶性；
(2)写出的单调性（只需写出结果即可）；
(3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)定义域为；奇函数
(2)在上单调递增
(3)或
【分析】（1）由对数函数的性质可得定义域，再由奇函数的性质和对数函数的运算可得函数为奇函数；
（2）由复合函数的单调性和对数函数的单调性可得的单调性；
（3）由对数的运算先求出当时；再由正弦函数的值域求出当时，分和时构造符合条件的不等式组，解出即可.
【详解】（1）由对数函数的真数大于零可得，
又恒成立，所以函数的定义域为；
，
所以为奇函数.
（2）在上单调递增.
（3）当时，，，
所以，
又，所以，
由题意可知，
当，有，
所以，解得，
当，有，
所以，解得，
综上，或.
3.（22-23高一下·河南驻马店期中）的部分图像如图所示，
(1)求函数的解析式.
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围.
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）结合图象，直接求出，再由求得，再由求出即可求出函数的解析式；
（2）结合正弦函数的性质求得的取值范围即可.
（3）由正弦函数的性质求出的值域，再分离参数得，求出
的最大值即可得出答案.
【详解】（1）由图可知，
，，，，
，
，即，
由图可知，即，可得，
，，.
（2），，
的值域为，，解得.
故的取值范围是.
（3）当时，，则,
即，于是，则，
等价于，
由，得的最大值为，故实数的取值范围是...
题型二： 三角函数“零点和”型
1.（2023下·辽宁丹东·高一统考期中）已知函数，．
(1)当时，求的值域；
(2)若满足，且在区间上单调递减，求：
①的最小正周期；
②方程的所有根之和．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再由的取值范围求出的取值范围，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）①依题意可得过点，即可得到，，再根据单调性得到，，最后由，即可求出的值，从而求出函数的最小正周期；
②依题意可得或，由的范围求出的范围，令，则，分别求出、时方程的根，即可得解.
【详解】（1）由题意，
当，，
当时，，所以，则，
即的值域为；
（2）①因为，
因为且在区间上单调递减，所以过点，
即，，所以，，
又，，解得，，
又，所以且，解得，
综上所述可得，所以函数的最小正周期为；
②由①可得，
由，解得或，
由于，所以，
令，即，
令，则，当时方程在上有两个根，
记作，，且两根关于对称，所以，
设方程的两根为，，则，
所以，
令，即，
则当时，方程在上有三个根，，，
则，，，
设方程的三根为，，，则，
所以，所以的所有根之和为．
2.（2023下·湖北十堰·高一统考期中）已知是定义在上的函数，且满足.
(1)设，若，求的值域；
(2)设，讨论（为常数，）在上所有零点的和.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出的解析式，分段取绝对值，利用正余弦函数的性质可得；
（2）先求，令转化为二次函数，分类讨论函数的零点，结合正弦函数的对称性和的周期性可解.
【详解】（1）由题意，，
，
所以
，
当时，，
在上单调递增，且，
则；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
且，则.
综上，时，的值域为.
（2）由题意，，
所以，
，
因为，
所以函数是以为周期的周期函数.
设化为.
由于必有两个实数根，
设为，有，，
由得无解，即至少一个在内.
①当只有一个在内时，，解得或.
若，则，得，
在内，有两个根，且，
函数是以为周期的周期函数，在上有2022个零点，
，，，，，
故在上所有零点的和为；
若，则，得，
在内，有两个根，且，
函数是以为周期的周期函数， 在上有2024个零点，
，，，，，
所以在上所有零点的和为；
②当时，，此时.
在内，共有三个根，且，
函数是以为周期的周期函数， 在上有3035个零点，
，，，，，，，
则在上所有零点的和为；
③当时，，此时.
在内，共有三个根，且，
函数是以为周期的周期函数， 在上有3034个零点，
，，，，，
，
则在上所有零点的和为；
④当时，，得.
在内，有两个根且有两个根且，
函数是以为周期的周期函数， 在上有4046个零点，
，，，，，，，
则在上所有零点的和为.
综上，当时，在上所有零点的和为；
当时，在上所有零点的和为；
当时，在上所有零点的和为；
当时，在上所有零点的和为；
当时，在上所有零点的和为.
3.（2023下·山东济宁·高一济宁一中校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的最大值．
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为，，，．．．．．．，试确定n的值，并求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换的公式化简的解析式，利用正弦函数的周期性，奇偶性求得函数的解析式，令，利用换元法转化为求最大值即可；
（2）利用三角函数的图象变换规律，求得的解析式，由方程，得，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，所以，
因为，所以，所以函数，，
令，，则，，，
因为对称轴，所以当时，，即的最大值为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，
由方程，即，即，，，
设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图，
可得方程在有5个解，即，
其中，，，，
即，，，，
解得，，，，
所以．
题型三：零点个数型求参
1.（2022 ·四川资阳·高一统考期中）已知函数的图象关于点对称．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（其中），所得图象的解析式为．若函数在有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得，可得出函数的解析式，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）求得，由可求得，根据题中条件可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数的图象关于点对称，
则，可得，，故，
所以，，
当时，，则，则.
因此，当时，函数的值域为.
（2）解：由题可得，，
当时，因为，则，
因为函数在有两个零点，则，解得.
因此，的取值范围是.
2.（2023下·北京·高一中关村中学校考期中）已知函数，振幅为2，初相为.
(1)若函数相邻的两条对称轴的距离为，
①求的值以及函数的单调递减区间；
②求在区间［0，］上的最值，以及相对应得的值.
(2)若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围.
【答案】(1)①，（kZ）②当x＝时，最大值为2，当x＝时，最小值为-1.
(2)
【分析】（1）① 首先根据三角函数图像对称轴性质特征解得=，然后结合正弦函数图像的单调性，利用整体代入求得的单调递减区间为（kZ）②将x∈［0，］代入求得整体范围，然后分别找到对应的最大值和最小值以及相对应得的值即可；
（2）将，求得大范围，然后结合函数图像以及条件5个零点，确定范围，最后求解 的取值范围.
【详解】（1）由题知，，所以=
①由题函数相邻的两条对称轴的距离为，所以，
所以，=.
因为y＝sinx的单调递减区间为（kZ），
令（kZ），得（kZ）.
所以的单调递减区间为（kZ）.
②因为x∈［0，］，所以2x＋.
当2x＋=，即x＝时，最大值为2，
当2x＋=，即x＝时，最小值为-1.
（2）由题可得，所以，
因为，所以，
若有5个零点，则，即，
解得：，
所以的取值范围是.
3.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据最小正周期求出，若选①，则根据三角函数的图象平移变换求得，可得解析式；若选②，则根据三角函数的对称性求得，即得解析式；
（2）根据三角函数的伸缩变换可得，结合x的取值范围，确定，结合函数的零点个数即可求得t的取值范围.
【详解】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故.
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
题型四：解三角形：计算角度与函数值
1.（2022·全国·高一期中）已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理可求解答案；
（2）由余弦定理可求解答案；
（3）由正弦的两角差公式再结合二倍角公式可求得答案.
(1)
由于，所以，
由得，
所以，且三角形为锐角三角形，
所以.
(2)
在中，由余弦定理有，
解得或（舍），
故.
(3)
由，可得，，
.
所以
.
2.（2022·辽宁·东北育才学校期中）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，是方程的两个实根.
(1)求和；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用韦达定理及其同角三角函数平方关系即可求解；
（2）先利用余弦的二倍角公式恒等变形，再利用正弦定理角化边，最后结合余弦定理即可求解.
(1)
由题意可知，，即，
由韦达定理得， ，
将代入解得，
又∵是△的内角，
∴，
∴，解得，
(2)
由得，
根据正弦定理可得，
由余弦定理可得，即，∴，
又∵ ，∴△是等边三角形，
因此.
3..（2022·全国·高一期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
（1）
因为，即，而，代入得，解得：．
（2）
由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）
因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
题型五：解三角形：双三角形等分点
1.（2023·全国·期中）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若点在线段上，且满足，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）借助三角形内角和为与两角和的正弦公式计算即可得；
（2）可借助余弦定理与基本不等式计算，或借助向量，结合数量积公式与基本不等式计算.
【详解】（1）由题意得，
即，
，，，又；
（2）解法一：令，则，
，，
即，①，
又，②，
联立①②，得（当且仅当时取等号），
即，，
面积的最大值为.
解法二：依题意，
，
即，
（当且仅当时取等号），
，
，
面积的最大值为．
2.（2023·全国·期中）已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到的正切值，进而求解即可；
（2）解法一利用已知条件和向量的知识得到，进而实数化得到和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二直接由第一问的结果结合余弦定理得出和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为
故，
即，
即．
而，故，
又因为所以．
而，故．
（2）解法一：由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面积为．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面积为．
3.（2023·广东佛山·期中）在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)．
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，再利用三角恒等变换得到，从而利用余弦定理列出关系式即可得解.
（2）在中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函数的关系求.
【详解】（1）如图，在中，由正弦定理知，
所以，所以，因为，所以，则①，
由，则，
因为，所以，则，
在中，由余弦定理知，则②，由①②得，．
（2）因为，所以，，
在中，由余弦定理知
同理在中，，因为，所以，则，由（1）知，，所以，
在中，由余弦定理知，所以．
题型六：解三角形：角平分线型
1.（22-23高一 ·重庆期中）已知中内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且是的平分线，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式可得，再利用余弦定理即可求得答案；
（2）利用余弦定理求得BC的表达式，利用三角形等面积法即，求得，即可得的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）由正弦定理及，
得：，即：，
所以，且，
所以.
（2）由余弦定理：.
又，所以，
所以：.
所以：，
（或：），
当且仅当时，取等号，
即的最小值为.
2.（2023·全国·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理求角；
（2）由三角形的面积结合角平分线的性质可得，再利用基本不等式可得最值.
【详解】（1）由已知，
得，
在中，由正弦定理得，
即，
再由余弦定理得，
又，所以；
（2）由是角的平分线，
则，
所以，
又，
所以，即，
所以，解得，即，
当且仅当时等号成立，
所以，
即面积的取值范围是.
3.（22-23高一上·山西·期中）在中，，，分别是，，的对边.已知，
，______.从①，②，这两个条件中任选一个，填在上面横线上作为已知条件，解答下面的问题.
(1)求的三边长及面积；
(2)若角的平分线交于点，求的长.
【答案】(1)，，，
(2).
【分析】（1）①由余弦定理和已知得出，，再用三角形的面积公式求出面积即可；②由同角的三角函数关系得出对应的正弦值，再由三角恒等变换和正弦定理解出，，最后利用角形的面积公式求出面积即可.
（2）用余弦定理和三角形的面积公式再结合角平分线求出即可.
【详解】（1）若选择①，由，代入，整理得，
代入，解得，
故；
若选择②，由得
故，
由正弦定理知，而，故，
，
于是；
（2）设，则，
由（1）知，
解得，
设，由，得，
故，
即.
题型七：解三角形：四边形
1.（2022·河北秦皇岛期中从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．
(1)求；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，先用正弦定理算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算；若选②，先用面积公式算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算.
（2）先用两角和的正弦公式算出，然后利用正弦定理计算的长.
(1)
选①
因为，所以，解得，
所以，
解得．
由，得．
选②
由，得，
所以，解得．
由，得．
(2)
由（1）知，又，
所以，从而，
所以，
由，得．
2.（2021·山东·高一期中）在梯形ABCD中，，，．
(1)求；
(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接BD，在梯形中可得，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得的值，即可求解的值；
（2）根据（1）的结论，结合已知条件可判断为等边三角形，进而得到的值，利用勾股定理求解的值，利用三角形面积公式求解的面积，即可得到梯形的面积.
（1）
解：连接BD，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
又，，
所以，化简得．
因为，所以．
（2）解：因为，．
所以为等边三角形，且，
，且，
又
所以的面积为，
的面积为，
所以梯形ABCD的面积为.
3.（2023·全国·高一期中）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，
(1)求B；
(2)设，，求函数的值域．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入计算可得
，化简即可得解；
（2）首先找到各个角之间的关系，，，再由正弦定理可得，再在三角形ABC中，由正弦定理得，
所以，利用三角函数求最值即可得解.
(1)
由，可得，
即，可得，因为，所以，
(2)
∵，则，，在三角形ACD中，由正弦定理得，
可得，在三角形ABC中，由正弦定理得，
可得
，因为，
可得，当时，即，可得，
当时，即，可得，所以的值域为．
题型八：最值范围：面积型
1.（广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，的面积为，求的值；
(2)若为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记与的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到，从而解得，再根据，利用正弦定理得到，再根据的面积为，得到，然后利用余弦定理求解；
（2）利用三角形面积公式结合BD为角B的角平分线，得到，然后利用为锐角三角形求解.
【详解】（1）解：在中，，
所以，A+B+C=π，
而，
所以，
因为，
所以，且，所以，
又，所以，即，
又的面积为，所以，则，
由余弦定理得，
，
所以，
所以；
（2）由题意知：，
，
因为BD为角B的角平分线，所以，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，即，解得，
所以，
所以.
2.（2023·全国·高一期中）已知函数，在锐角中，．
(1)求A的值；
(2)角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求面积最大值．
【答案】(1)；
(2)2+.
【分析】（1）利用给定条件，求出即可得解.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即得.
【详解】（1）函数，由，得，
在锐角中，，则，于是，
所以.
（2）在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，
显然当时，是锐角三角形，因此，
所以面积最大值为.
3.（2023·全国·期中）已知的内角，，的对边分别是，，，且不是等腰三角形，.
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由化简可得，，再根据三角形不是等腰三角形，可得；
（2）解法一：由（1）得，根据面积公式及余弦定理可得，结合二次函数性质可得最值；解法二：建立直角坐标系，设点坐标，可得点的轨迹方程，进而确定面积及其最值.
【详解】（1）由，
得，
即，
即.
而，所以，即；
（2）解法一：由（1）及正弦定理知，
当时，
，
当，即，时，的面积最大，最大值为.
解法二：如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，设，
则，，
由（1）及正弦定理知，
所以，
即，即.
因为，
所以当取最大值时，的面积最大，最大值为.
题型九：最值范围：周长与边长型
1.．（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B；
（2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，利用角的范围和正弦函数的性质即可求得周长的取值范围.
【详解】（1）∵，由余弦定理得，
即，即，又，则；
（2）因为，，由正弦定理可得，
则
，由，所以，，
所以，可得，所以周长的取值范围为．
2.（2023 ·湖北·高一孝感高中校联考期中）已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，且满足：
(1)求角；
(2)若的外接圆半径为求的周长的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得.
（2）利用正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得的周长的最大值.
【详解】（1）由已知可得：
，
由于，则有，
又，则有，所以有.
（2）由正弦定理可知：，则由，
又有余弦定理可知：，
由于，则有，即，
又，即，
从而（当等号成立），
则，故的周长的最大值为.
3.（2023·江西景德镇·统考期中）在中，内角，，的对边分别是，，.已知.
(1)求角；
(2)若是钝角三角形，且，求边的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由商数关系及和角正弦公式、三角形内角关系化简整理得，即可确定角的大小；
（2）根据已知有为钝角，应用余弦定理及已知条件求c的范围即可.
【详解】（1），则，
又，则且，可得，
由，故.
（2）由，即，又是钝角三角形且，故为钝角，
则，故.
题型十：最值范围：非对称型
1.（2023 ·辽宁沈阳·高一新民市高级中学校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质即可求解取值范围.
【详解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面积公式，
得，即，若，则，不符合题意，故，
所以，由，得.
（2），，，由正弦定理，
，
由，则，得，
所以，即的取值范围.
2.（2023春·云南保山·高一统考期中）已知在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知变形为后结合余弦定理即可求得答案；
（2）由正弦定理求得，即可得的表达式，结合三角恒等变换化简以及正弦函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）由，得，
即，又由余弦定理，∴，
由于；
（2）由（1）知，，由正弦定理 ，
，
， ，，
的取值范围为.
3.．（2023春·辽宁朝阳·高一校联考期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到角的余弦值，即可求出答案；
（2）利用正弦定理表示出，，利用三角函数求出最值.
【详解】（1）在中，由正弦定理，且，
则，，
由，则，，
由，则，，
，，
，由锐角中，，则.
（2）由（1）可知，则，
在中，由正弦定理可得：，由，则，
解得，，，
由，且，则，
，
由锐角，，，则，解得，
由余弦函数的单调性，可得，解得.
题型十一：最值范围：分式比值型
1.（2023·山东潍坊·期中）在锐角中，角所对的边分别为，满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）由（1）知，得到且，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：在锐角中，因为，
由正弦定理得，可得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
（2）解：在锐角中，由（1）知，可得，且，
可得，所以，所以，
又，所以，所以，
则，
因为且，可得且，
所以且，
所以的取值范围为.
2.（22-23高一下·辽宁锦州·期中）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.
（2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范围为.
3.（2023高一·全国·期中）在中，，，且．
(1)求的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理及，结合题意，化简得到，得到，即可求解.
（2）在中，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，，
因为，可得，
又因为，，所以，
所以，可得，所以，
又因为，所以．
（2）解：在中，由正弦定理，得
，
因为，可得，
所以，可得，
所以，即的取值范围为．
题型十二：最值范围：角与邻边型
1.已知中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
湖南省岳阳地区2023届高一期中数学试题
【答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理角化边再结合余弦定理可求解;(2) 由为锐角三角形确定,用正弦定理以及面积公式即可求解.
（1）
由题知：，由正弦定理可化为：，
即，由余弦定理知，故.
（2）由题知为锐角三角形且，则 ，即，
则，又由正弦定理，
，又，则，故.
2.（2023·全国·期中）已知锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得，结合正弦定理化角为边以及余弦定理即可求出的大小.
（2）利用正弦定理、诱导公式及两角和与差的正弦公式得，再求出的范围，则得到的范围，最后利用三角形面积公式即可求出面积范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
由正弦定理得，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由（1）可知，，故，因为，
所以
因为，，
所以，故，所以，则.
所以，
所以面积的取值范围是.
优选提升题
1.（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且．
(1)求角A；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）应用三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式即可求解;
（2）应用余弦定理及正弦定理，结合辅助角公式，二倍角公式即可求解.
【详解】（1）由三角形面积公式可得：，
即，则，即，
则，则
因为，所以.
（2）
，则，由正弦定理得，
，又，则，
所以
2.（2023 ·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考期中）已知的内角的对边分别为，其面积为，且.
(1)求角；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式代入已知，然后化简可得；
（2）利用正弦定理表示，然后利用和差公式和辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得.
【详解】（1）由题知，
由余弦定理得，所以，
又，所以；
（2）由正弦定理知，即，
由（1）知，
因此
，
其中，故，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
3.（江苏省连云港市2023-2024学年高一上学期教学质量调研 ）在中，，，所对的边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解.
（2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得，再把化简到同一个角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围.
【详解】（1）在中，，据余弦定理可得，
又，故，即，
又，故，得.
（2）在中，据余弦定理可得，
又，故，即，
又，故.
据正弦定理，可得，
所以，
即，
所以，，
因为，所以，或，
即或（舍）.
所以.
因为是锐角三角形，所以得，
所以，故，
，
所以的取值范围是.
4.（2023·全国·高一期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案；
（2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得.
(1)，由正弦定理得：，
所以，因为，所以，
所以，即，因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，因为，所以，
其中，所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，由题意得：，
所以.
(2)由（1）知：，又，由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，故，面积为故面积的取值范围是.2023-2024学年高一数学下学期 6.1余弦定理与正弦定理-三角函数与解三角形（北师大版2019必修第二册）
目录
题型一： 恒成立（有解）求参数
题型二： 三角函数“零点和”型
题型三：零点个数型求参
题型四：解三角形：计算角度与函数值
题型五：解三角形：双三角形等分点
题型六：解三角形：角平分线型
题型七：解三角形：四边形
题型八：最值范围：面积型
题型九：最值范围：周长与边长型
题型十：最值范围：非对称型
题型十一：最值范围：分式比值型
题型十二：最值范围：角与邻边型
题型一： 恒成立（有解）求参数
1.．（22-23高一下·河南安阳期中）已知函数，相邻两条对称轴的距离为．
(1)若为偶函数，设，求的单调递增区间；
(2)若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
2.（22-23高一下·四川南充期中）已知．
(1)求函数的定义域和奇偶性；
(2)写出的单调性（只需写出结果即可）；
(3)设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．
3.（22-23高一下·河南驻马店期中）的部分图像如图所示，
(1)求函数的解析式.
(2)若在区间上的值域为，求的取值范围.
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型二： 三角函数“零点和”型
1.（2023下·辽宁丹东·高一统考期中）已知函数，．
(1)当时，求的值域；
(2)若满足，且在区间上单调递减，求：
①的最小正周期；
②方程的所有根之和．
2.（2023下·湖北十堰·高一统考期中）已知是定义在上的函数，且满足.
(1)设，若，求的值域；
(2)设，讨论（为常数，）在上所有零点的和.
3.（2023下·山东济宁·高一济宁一中校考期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的最大值．
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，记方程在上的根从小到依次为，，，．．．．．．，试确定n的值，并求的值．
题型三：零点个数型求参
1.（2022 ·四川资阳·高一统考期中）已知函数的图象关于点对称．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（其中），所得图象的解析式为．若函数在有两个零点，求的取值范围．
2.（2023下·北京·高一中关村中学校考期中）已知函数，振幅为2，初相为.
(1)若函数相邻的两条对称轴的距离为，
①求的值以及函数的单调递减区间；
②求在区间［0，］上的最值，以及相对应得的值.
(2)若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围.
3.（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
题型四：解三角形：计算角度与函数值
1.（2022·全国·高一期中）已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求的值．
2.（2022·辽宁·东北育才学校期中）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，是方程的两个实根.
(1)求和；
(2)若，求的值.
3..（2022·全国·高一期中）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
题型五：解三角形：双三角形等分点
1.（2023·全国·期中）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若点在线段上，且满足，求面积的最大值．
2.（2023·全国·期中）已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
3.（2023·广东佛山·期中）在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求．
题型六：解三角形：角平分线型
1.（22-23高一 ·重庆期中）已知中内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若是边上一点，且是的平分线，求的最小值.
2.（2023·全国·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交于点，且，求面积的取值范围．
3.（22-23高一上·山西·期中）在中，，，分别是，，的对边.已知，，______.从①，②，这两个条件中任选一个，填在上面横线上作为已知条件，解答下面的问题.
(1)求的三边长及面积；
(2)若角的平分线交于点，求的长.
题型七：解三角形：四边形
1.（2022·河北秦皇岛期中从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．
(1)求；
(2)若，且，求的长．
2.（2021·山东·高一期中）在梯形ABCD中，，，．
(1)求；
(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD的面积．
3.（2023·全国·高一期中）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，
(1)求B；
(2)设，，求函数的值域．
题型八：最值范围：面积型
1.（广东省东莞市东莞高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，的面积为，求的值；
(2)若为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记与的面积分别为，，求的取值范围.
2.（2023·全国·高一期中）已知函数，在锐角中，．
(1)求A的值；
(2)角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求面积最大值．
3.（2023·全国·期中）已知的内角，，的对边分别是，，，且不是等腰三角形，.
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值.
题型九：最值范围：周长与边长型
1.．（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围.
2.（2023 ·湖北·高一孝感高中校联考期中）已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，且满足：
(1)求角；
(2)若的外接圆半径为求的周长的最大值.
3.（2023·江西景德镇·统考期中）在中，内角，，的对边分别是，，.已知.
(1)求角；
(2)若是钝角三角形，且，求边的取值范围.
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题型十：最值范围：非对称型
1.（2023 ·辽宁沈阳·高一新民市高级中学校考期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知
(1)求角A；
(2)若，求的取值范围.
2.（2023春·云南保山·高一统考期中）已知在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
3.．（2023春·辽宁朝阳·高一校联考期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的取值范围．
题型十一：最值范围：分式比值型
1.（2023·山东潍坊·期中）在锐角中，角所对的边分别为，满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
2.（22-23高一下·辽宁锦州·期中）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围
3.（2023高一·全国·期中）在中，，，且．
(1)求的大小；
(2)求的取值范围．
题型十二：最值范围：角与邻边型
1.已知中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
湖南省岳阳地区2023届高一期中数学试题
2.（2023·全国·期中）已知锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
优选提升题
1.（22-23高一上·辽宁辽阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且．
(1)求角A；
(2)求的取值范围．
2.（2023 ·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考期中）已知的内角的对边分别为，其面积为，且.
(1)求角；
(2)若，求的最大值.
3.（江苏省连云港市2023-2024学年高一上学期教学质量调研 ）在中，，，所对的边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
4.（2023·全国·高一期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
