2023-2024学年高一下册数学8.6空间直线、平面的垂直（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1.异面直线所成的角:
（1）如图，已知两异面直线，经过空间任一点，分别作直线，相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
（2）异面直线所成的角必须是 ，即的取值范围为 ．
（3）如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条直线互相垂直．记作．
2．直线和平面所成的角:
（1）一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 ，斜线和平面的交点叫做 ．过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的 ．平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角的范围是 ．
3．二面角：
（1）平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为 ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 ，这两个半平面叫做 .
（2）在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的 .
（3）棱为，面分别为的二面角记为 ．如图所示，也可在内（棱以外的半平面
部分）分别取点，将这个二面角记作二面角．
（4）二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
4.两直线垂直：
如果两条直线所成的角是 ，就说这两条直线互相垂直，记作.
5.直线与平面垂直的定义:
如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
6．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
符号表示：.
7.直线与平面垂直的性质定理:垂直于 的两条直线平行.
符号表示：
8．直线与平面垂直的性质：
(1)Error! l⊥b；(2)Error! a∥b；(3)Error! b⊥α；(4)Error! a⊥β；(5)Error! α∥β.
9．平面与平面垂直:
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面垂直.平面与垂直，记作.
10．平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直.
符号表示：
11. 平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内 的直线与另一个平面垂直.
符号表示：
自检自纠：
1.（2）锐角或直角，（3）直角 2. （1）斜线，斜足，垂线，射影，斜线，射影（2）
3. （1）半平面，二面角的棱，二面角的面（2）垂直于棱，平面角（3），（4）平面角
4. 直角5. 任意 6. 相交 7. 同一个平面 9. 直二面角 10. 垂线 11. 垂直于交线
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
【答案】C
【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.故选：C.
2．过已知平面外一点作与垂直的直线的条数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】B
【详解】由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故平面外一点作与垂直的直线的条数有1条.故选：B
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内
【答案】A
【详解】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知线面关系为垂直.故选：A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则（ ）
A．B1B⊥l B．B1Bl C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
【答案】B
【详解】因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面A1B1C1D1，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，
所以B1Bl.故选：B
5．设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由面面垂直的判定定理知，若，，则，反之，若，，不一定垂直，故”是“”的充分不必要条件，故选：A
6．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条
【答案】A
【详解】过点P且与成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．已知空间中两个不同的平面，两条不同的直线满足，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若相交，则相交 D．若，则
【答案】CD
【详解】A选项，如图所示：，，与有可能只是相交，故A错误；
B选项，如图所示：若，，与有可能异面；
C选项，若，相交，则一定相交，故C正确；
D选项，由面面垂直的判定定理即可得若， ，则，
故D正确.
故选：CD.
8．若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ）
A．内存在一条直线垂直于平面 B．， C．， D．，
【答案】ABC
【详解】，，则与可能平行可能垂直，也可能只相交不垂直，不能得出，
D选项不正确，其他选项均能得出．故选：ABC
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．已知平面，和直线，且，则“”是“”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）
【答案】充分不必要
【详解】由题得，所以“”是“”的充分条件；当时，不一定有，有可能不与平面b垂直，也有可能在平面b内.所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分非必要条件.故答案为：充分不必要
10．在三棱锥P﹣ABC中，能证明AP⊥BC的条件是 ．
①AP⊥PB，AP⊥PC；②AP⊥PB，BC⊥PB；③平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC；④PB＝PC，AB＝AC．
【答案】①③④
【详解】对于①，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，平面，所以AP⊥平面PBC，因为BC 平面PBC，所以AP⊥BC，①满足条件；
对于②，AP⊥PB，BC⊥PB，无法证明AP⊥BC，②不满足条件；
对于③，因为平面BCP⊥平面PAC，平面BCP∩平面PAC＝PC，BC⊥PC，BC 平面BCP，所以BC⊥平面PAC，又AP 平面PAC，故AP⊥BC，③满足条件；
对于④，取BC的中点D，连接AD、PD，因为PB＝PC，D为BC的中点，故BC⊥PD，同理可得BC⊥AD，
因为AD∩PD＝D，平面，所以BC⊥平面PAD，因为AP 平面PAD，AP⊥BC，④满足条件．
故答案为：①③④．
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．已知两条不同的直线、及平面、，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】选项A：若，则可能相交、平行或异面，故A错误；
选项B：若，则可能相交、平行或异面，故B错误；
选项C：若，则，故C正确；
选项D：，则可能平行或异面，故D错误.
故选：C
2．设m、n为两条不重合直线，α、β是两个不重合平面，则正确命题为（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，且，则 D．若，，，则
【答案】C
【详解】若，，则m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；
因为，，所以，又，所以，故B错误；
若，且，则根据线面垂直的判定可知，故C正确；
因为，可设，若，，可能有，，此时，故D错误.
故选：C.
3．在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
①都垂直于平面r，那么；②都平行于平面r，那么；③都垂直于直线l，那么；④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】如图所示，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；
由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；
过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以，因为，，所以，同理，，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，，所以，故④正确.故选：D.
4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】对于A，若，则a，c的位置关系为平行 相交或异面，故不正确；
对于B，若，则α，γ的位置关系为平行或相交，故不正确；
对于C,若,可得,,过b的一个平面与β的交线m,可得,,则.故正确．
对于D，若，则或，故不正确；
故选：C
5．下列命题为真命题的个数为（ ）
① 两平面相交，若所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；
② 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；
③ 一直线与两平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】略
6．在正三棱锥中，点，，分别在棱，，上，，，
，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面 C． D．
【答案】B
【详解】取的中点为，连接、，，，，三棱锥为正三棱锥，所以，，因此，，又，平面，平面，
所以平面；因为平面，所以平面平面；又因为，，，所以，，则平面，平面，又，所以平面平面；所以平面平面；即B正确；因为平面与平面相交，所以平面与平面相交；即A错；因为与相交，所以与异面；即C错；因为，则，若，根据，平面，平面，可得平面，又平面，所以平面平面，这与该几何体是正三棱锥矛盾（正三棱锥的侧面不与底面垂直），所以和不垂直，故D错；故选：B.
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
【答案】ABD
【详解】矩形，矩形，，故正确．
若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，
故不正确，故不正确；
矩形，，，平面，，故正确；
矩形，由三垂线定理得，故正确；
故选：．
8．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，
，故不是直角，故不垂直，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是 ．
【答案】
【详解】若为中点，连接，由正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，故，且面，面，则，，面，所以面，故为与侧面所成角平面角，所以.故答案为：
10．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是PC上的一动点，当点满足 时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
【答案】
【详解】连接，因为底面各边都相等，所以，因为底面，底面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以．所以当（或时，则PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有平面，
而平面，平面平面．故答案为：（或等）．
2023-2024学年高一下册数学8.6空间直线、平面的垂直（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1.异面直线所成的角:
（1）如图，已知两异面直线，经过空间任一点，分别作直线，相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
（2）异面直线所成的角必须是 ，即的取值范围为 ．
（3）如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条直线互相垂直．记作．
2．直线和平面所成的角:
（1）一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 ，斜线和平面的交点叫做 ．过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的 ．平面的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角的范围是 ．
3．二面角：
（1）平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为 ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 ，这两个半平面叫做 .
（2）在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的 .
（3）棱为，面分别为的二面角记为 ．如图所示，也可在内（棱以外的半平面
部分）分别取点，将这个二面角记作二面角．
（4）二面角的大小可以用它的 来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
4.两直线垂直：
如果两条直线所成的角是 ，就说这两条直线互相垂直，记作.
5.直线与平面垂直的定义:
如果直线l与平面α内的 一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
6．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
符号表示：.
7.直线与平面垂直的性质定理:垂直于 的两条直线平行.
符号表示：
8．直线与平面垂直的性质：
(1)Error! l⊥b；(2)Error! a∥b；(3)Error! b⊥α；(4)Error! a⊥β；(5)Error! α∥β.
9．平面与平面垂直:
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面垂直.平面与垂直，记作.
10．平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直.
符号表示：
11. 平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内 的直线与另一个平面垂直.
符号表示：
自检自纠：
1.（2）锐角或直角，（3）直角 2. （1）斜线，斜足，垂线，射影，斜线，射影（2）
3.（1）半平面，二面角的棱，二面角的面（2）垂直于棱，平面角（3），（4）平面角
4. 直角5. 任意 6. 相交 7. 同一个平面 9. 直二面角 10. 垂线 11. 垂直于交线
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
2．过已知平面外一点作与垂直的直线的条数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则（ ）
A．B1B⊥l B．B1Bl C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
5．设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．已知空间中两个不同的平面，两条不同的直线满足，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若相交，则相交 D．若，则
8．若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ）
A．内存在一条直线垂直于平面 B．， C．， D．，
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．已知平面，和直线，且，则“”是“”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）
10．在三棱锥P﹣ABC中，能证明AP⊥BC的条件是 ．
①AP⊥PB，AP⊥PC；②AP⊥PB，BC⊥PB；③平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC；④PB＝PC，AB＝AC．
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．已知两条不同的直线、及平面、，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．设m、n为两条不重合直线，α、β是两个不重合平面，则正确命题为（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，且，则 D．若，，，则
3．在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
①都垂直于平面r，那么；②都平行于平面r，那么；③都垂直于直线l，那么；④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．下列命题为真命题的个数为（ ）
① 两平面相交，若所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；
② 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；
③ 一直线与两平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在正三棱锥中，点，，分别在棱，，上，，，，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面 C． D．
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
8．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是 ．
10．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是PC上的一动点，当点满足 时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
