2023-2024学年高一下册数学8.5空间直线、平面的平行（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1．基本事实4：
平行于 的两条直线互相平行．
符号表示：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
2．等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．
符号表示：
若∠AOB与∠A′O′B′中,OA∥O′A′,OB∥O′ B′,则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°.
3.直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面平行.
符号表示：．
4.直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线平行．
符号表示：．
5.平面与平面平行的判定定理:
一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号表示：.
6.平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 平行．
符号语言：
7.两个平面平行的其他性质：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的 都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的 相等．
（3）经过平面外一点 一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段 ．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相 ．
自检自纠：
1. 同一条直线 2. 相等或互补 3. 平行 4. 交线 5. 相交 6. 交线
7. 任意一条直线，平行线段，有且只有，成比例，平行
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（ ）
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°
【答案】D
【详解】根据等角定理,两个角的两边分别对应平行,则两个角相等或互补,所以为或,故选D.
2．已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（ ）
A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D．
【答案】A
【详解】依题意可知，而，所以没有公共点，与可能异面、平行、垂直，所以A选项正确，BCD选项错误.故选：A
3．能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A．b α，ab B．b α，cα，ab，ac
C．b α，A、B∈a，C、D∈b，且ACBD D．a α，b α，ab
【答案】D
【详解】根据线面平行的判定定理知
选项A：条件缺少，所以不成立，故A错误
选项B：同上，条件缺少，所以不成立，故B错误
选项C：b α，A、B∈a，C、D∈b，要加且ABCD，所以不成立，故C错误
选项D：根据线面平行的判定定理知结论成立，故D正确
故选：D
4．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；
④若，，则；⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
【答案】D
【详解】因为，，根据空间中直线平行的传递性，得，故①正确；
因为，，所以直线平行，异面，相交均有可能，故②错误；
若，，则或，故③错误；
若，，则平面平行或相交，故④错误；
若，，则或，故⑤错误.
所以错误的命题是②③④⑤.
故选：D.
5．若直线平面，则过作一组平面与相交，记所得的交线分别为，，，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
【答案】A
【详解】由直线平面，过作平面且，则，同理有，，…，∴，即交线均平行.故选：A
6．已知平面，，则的一个充分条件是（ ）
A．平面内有无数条直线与平行 B．平面内有两条相交的直线与平行
C．平面，平行于同一条直线 D．平面，垂直于同一平面
【答案】B
【详解】对于A，平面内有无数条直线与平行，若这些直线都平行，不一定能推出，A错误；
对于B，根据面面平行的判定定理可知B正确；
对于C，若平面，平行于同一条直线，则平面既可能平行，也可能相交，C错误；
对于D，若平面，垂直于同一平面，则平面既可能平行，也可能相交，D错误．
故选：B．
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（ ）
A．a平行于α内的有限条直线 B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a成90°角
【答案】BCD
【详解】因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，选项A错误；选项B，C，D正确.故选：BCD.
8．（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
【答案】CD
【详解】一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线是平行的，则这两个平面可能相交，因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，A错误；
一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，如果这无数条直线是平行的，则这两个平面可能相交，
因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，B错误；
一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的定义知，C正确；
一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的判定定理知，D正确.故选：CD
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．平面外的两条直线a、b，且a∥，则a∥b是b∥的 条件（填充分必要性）．
【答案】充分不必要
【详解】平面外的两条直线a、b，若a∥且a∥b，则根据直线与平面平行的判定定理可知b∥；
若a∥且b∥，则不一定有a∥b.故答案为：充分不必要．
10．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 .
【答案】平行或异面
【详解】解：直线平面，直线在平面内，则直线与平面内任意直线无交点，，或与异面.故答案为：平行或异面.
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．已知，是空间中不重合的两平面，，，是空间中不同的三条直线，A，B是空间中不同的两点，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，，，
C．， D．，，
【答案】D
【详解】由直线与平面平行的判定定理知A错误（需要加条件）；由平面与平面平行的判定定理知B错误（需加条件两直线相交）；直线与平面平行不具备传递性，C错误（可以平行、可能异面也可能相交）；由平面公理知D正确，故选：D．
2．在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（ ）
A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误
【答案】C
【详解】连接相交于，当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故①错误，连接相交于，当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故②正确，故选：C
3．在如图所示的正四棱柱中，分别是棱的中点，直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面
【答案】A
【详解】取的中点为，连，则，∵
则，是平行四边形，所以，平面，平面
∴平面.故选：A．
4．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【答案】B
【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.
5．如图，平面平面，过平面，外一点引直线分别交平面，平面于、两点，，，引直线分别交平面，平面于、两点，已知，则的长等于（ ）
A．9 B．10 C．8 D．7
【答案】A
【详解】因为平面平面，直线与构成的平面分别交平面，平面于直线，根据面面平行的性质定理，可得：，所以，，又，所以，因此，又，所以.故选：A
6．三棱锥中，为的重心，在棱上，且，则与平面的位置关系为（ ）
A．在平面内 B．在平面外
C．与平面相交 D．与平面平行
【答案】D
【详解】如图，延长交于点，连接，因为为的重心，所以，又
，平面，平面，平面.故选：D
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．如图，在正方体 中，分别是的中点，则下列命题正确的是（ ）
A． B．与是异面直线
C．平面平面 D．平面
【答案】ABC
【详解】如图，连接，对于，分别为中点，
，又，故A正确；
对于B，平面平面平面，
直线与为异面直线，故B正确；
对于C，由知：，又平面平面，
平面，同理可证：平面，
平面，平面平面，故C正确；
对于D，，且平面，
与相交，又平面与平面相交，故D错误.
故选：ABC.
8．如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，所以、、、四点共面，同理可证，即、、、四点共面，平面，故A错误；
对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，
平面，平面，所以平面，同理可证平面
又，、平面，平面平面，
又平面，平面，故B正确；
选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，
平面，平面，故C正确；
对于D，连接，则，，，，四点共面，
平面，与平面相矛盾，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．如图，是平行四边形所在平面外一点，为的中点，为，的交点，则图中与平行的平面有 .
【答案】平面，平面
【详解】试题分析：根据中位线的性质，有，所以平面，平面.
10．如图所示，平面平面，，则 ．
【答案】9
【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，故，得，得，故答案为：9.
2023-2024学年高一下册数学8.5空间直线、平面的平行（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1．基本事实4：
平行于 的两条直线互相平行．
符号表示：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
2．等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．
符号表示：
若∠AOB与∠A′O′B′中,OA∥O′A′,OB∥O′ B′,则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°.
3.直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线 ，则该直线与此平面平行.
符号表示：．
4.直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线平行．
符号表示：．
5.平面与平面平行的判定定理:
一个平面内的两条 直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号表示：.
6.平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 平行．
符号语言：
7.两个平面平行的其他性质：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的 都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的 相等．
（3）经过平面外一点 一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段 ．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相 ．
自检自纠：
1. 同一条直线 2. 相等或互补 3. 平行 4. 交线 5. 相交 6. 交线
7. 任意一条直线，平行线段，有且只有，成比例，平行
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（ ）
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°
2．已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（ ）
A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D．
3．能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A．b α，ab B．b α，cα，ab，ac
C．b α，A、B∈a，C、D∈b，且ACBD D．a α，b α，ab
4．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；
④若，，则；⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
5．若直线平面，则过作一组平面与相交，记所得的交线分别为，，，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
6．已知平面，，则的一个充分条件是（ ）
A．平面内有无数条直线与平行 B．平面内有两条相交的直线与平行
C．平面，平行于同一条直线 D．平面，垂直于同一平面
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（ ）
A．a平行于α内的有限条直线 B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a成90°角
8．（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．平面外的两条直线a、b，且a∥，则a∥b是b∥的 条件（填充分必要性）．
10．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 .
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．已知，是空间中不重合的两平面，，，是空间中不同的三条直线，A，B是空间中不同的两点，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，，，
C．， D．，，
2．在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（ ）
A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误
3．在如图所示的正四棱柱中，分别是棱的中点，直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面
4．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
5．如图，平面平面，过平面，外一点引直线分别交平面，平面于、两点，，，引直线分别交平面，平面于、两点，已知，则的长等于（ ）
A．9 B．10 C．8 D．7
6．三棱锥中，为的重心，在棱上，且，则与平面的位置关系为（ ）
A．在平面内 B．在平面外
C．与平面相交 D．与平面平行
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．如图，在正方体 中，分别是的中点，则下列命题正确的是（ ）
A． B．与是异面直线
C．平面平面 D．平面
8．如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．如图，是平行四边形所在平面外一点，为的中点，为，的交点，则图中与平行的平面有 .
10．如图所示，平面平面，，则 ．
