2023-2024学年高一下册数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1. 平面:
（1）平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是 的，一个平面可以将空间分成 部分．
（2）平面是平的，是无限延展的，没有厚薄，大小之分
2.平面的基本性质：
（1）基本事实1：过 的三点，有且只有一个平面．
（2）基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）三个推论：
推论1：经过 ，有且只有一个平面．
推论2：经过 ，有且只有一个平面．
推论3：经过 ，有且只有一个平面．
3.空间中直线与直线的位置关系
（1）空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 有无公共点
相交 在同一平面内 有且只有一个公共点
平行 在同一平面内 没有公共点
异面 不同在任何一个平面内 没有公共点
（2）异面直线：不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线.
4.异面直线所成的角:
（1）如图，已知两异面直线，经过空间任一点，分别作直线，相交直线所成的锐
角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）异面直线所成的角必须是 ，即的取值范围为 ．
（3）如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条直线互相垂直．记作．
5.空间中直线与平面的位置关系:
（1）直线在平面内——有 个公共点；
（2）直线与平面相交—— 一个公共点；
（3）直线与平面平行—— 公共点．
注：直线与平面 的情况统称为直线在平面外．
6.平面与平面之间的位置关系:
（1）两个平面平行——没有 ；
（2）两个平面相交——有一条 ．
自检自纠：
1. （1）无限延展, 两部分（2）2.（1）不在一条直线上（2）两点（3）公共点（4）一条直线和这条直线外的一点，两条相交直线，两条平行直线 3. （2）任何 4.（1）锐角或直角（2）（3）直角
5.（1）无数 （2）有且只有 （3）没有，相交或平行 6.（1）公共点（2）公共直线
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．下列叙述中，正确的是（ ）．
A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【答案】D
【详解】A：因为，所以，故A错误；
B：因为，所以或，故B错误；
C：因为，所以，故C错误；
D：因为，所以，故D正确.
故选：D
2．已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】点A∈直线l，又A∈平面，则与平面至少有一个公共点，所以或．故选：D．
3．如果两条直线a与b有公共点，那么a与b（ ）
A．平行 B．是异面直线 C．共面 D．垂直
【答案】C
【详解】由两条直线a与b有公共点，可得两直线为相交直线，根据平面的性质，可得两直线在同一个平面内.故选：C.
4．根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A．不相交的直线是平行直线 B．经过两条平行直线有且只有一个平面
C．不共线的三点确定一个平面 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】A
【详解】对于A，在空间，不相交的两条直线可能是平行直线，也可能是异面直线，A错误；
对于B，两条平行直线确定一个平面，B正确；
对于C，不共线的三点确定一个平面，C正确；
对于D，棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面间的部分是棱台，因此棱台的各侧棱延长后必交于一点，D正确.
故选：A
5．下列图形中，不一定是平面图形的是（ ）
A．一组对边平行的四边形 B．两组对边延长后，都相交的四边形
C．四边相等的四边形 D．对角线相交的四边形
【答案】C
【详解】在A中，由平行线确定一个平面，得到一组对边平行的四边形一定是平面图形，故A一定是平面
图形；
在B中，由相交线确定一个平面，得两组对边延长后，都相交的四边形一定是平面图形，故B一定是平面图形；
在C中，四边相等的四边形有可能是空间四边形，不一定是平面图形，故C不一定是平面图形；
在D中，由相交线确定一个平面，得对角线相交的四边形一定是平面图形，故D一定是平面图形．
故选C．
6．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【详解】在题图②④中，直线GH，MN是异面直线；在题图①中，由G，M均为所在棱的中点，易得；
在题图③中，连接GM，由G，M均为所在棱的中点，所以,且，易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交．故选：D．
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．下列命题正确的是（ ）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B．四边形可以确定一个平面
C．若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b是异面直线
D．若直线a不平行于平面，且，则内不存在与a平行的直线
【答案】AD
【详解】设三条直线为,交于点,交于,相交直线确定一个平面，则故
由两点确定的直线在平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,可知A正确；
直线与平面相交,而且交平面于一点,平面上任何通过点的直线都与直线同面, 平面上其它不通过点的直线则与之异面，可知D正确；
只有平面四边形才可以确定一个平面，故B不正确；
若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b也可能平行，故C不正确．
故选：AD.
8．下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
【答案】BCD
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若点且，则由公理二知，故B正确；
对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，若点，且，则由公理一知l α，D正确.
故选：BCD．
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．空间中两条直线的位置关系有 .
【答案】平行、相交、异面
【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.
10．直线和平面相交于点A,用集合符号表示 .
【答案】
【详解】由题意可得,答案为：
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合.故选：B
2．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【详解】设正方体的棱长为，连接，，，因为，故或其补角为直线与直线所成角.而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，故选：A.
3．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，
，即EF与AC所成的角为45°．故选：B．
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题．
4．在直棱柱中，，其中，点是的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】取的中点，连结，，，且，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角是或其补角， ，，，则，所以，所以异面直线与所成角的大小为.故选：A
5．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
【答案】A
【详解】由延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
故选A.
6．如图正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如上图，连接、，∵在正方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，设正方体棱长为1，则在正方形中对角线，在正方形中对角线，在正方形中对角线，∴是等边三角形，∴..故选：C.
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（ ）
A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能
【答案】AC
【详解】直线上两点到平面的距离相等且均为5，显然，BD错误；
当点在平面的同侧时，，A正确；
当点在平面的异侧时，直线与平面相交，C正确.
故选：AC
8．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A． B． C．与是异面直线 D．与所成的角为90°
【答案】BCD
【详解】还原之后如图所示：
选项A：显然与不平行，错误；
选项B：，，故，正确；
选项C：显然与异面，正确；
选项D：，，故，正确；
故选：BCD.
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．下列图形中，不一定是平面图形的是 ．（填序号）
①三角形；②四边形；③圆；④梯形．
【答案】②
【详解】①三角形：由平面上三个不同点首尾相连所成的图形，是平面图形；
②四边形：可能为平面四边形，也有空间四边形，不一定在一个平面上；
③圆：同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合所成图形，是平面图形；
④梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，是平面图形；
故答案为：②
10．如图，正方体中，异面直线与所成角的大小是 .
【答案】
【详解】 由题意可得，，则异面直线与所成角即为与所成角，即为，且为等腰直角三角形，所以.故答案为：2023-2024学年高一下册数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（人教A版2019必修第二册）
一、知识归纳：
1. 平面:
（1）平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是 的，一个平面可以将空间分成 部分．
（2）平面是平的，是无限延展的，没有厚薄，大小之分
2.平面的基本性质：
（1）基本事实1：过 的三点，有且只有一个平面．
（2）基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）三个推论：
推论1：经过 ，有且只有一个平面．
推论2：经过 ，有且只有一个平面．
推论3：经过 ，有且只有一个平面．
3.空间中直线与直线的位置关系
（1）空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 有无公共点
相交 在同一平面内 有且只有一个公共点
平行 在同一平面内 没有公共点
异面 不同在任何一个平面内 没有公共点
（2）异面直线：不同在 一个平面内的两条直线叫做异面直线.
4.异面直线所成的角:
（1）如图，已知两异面直线，经过空间任一点，分别作直线，相交直线所成的锐
角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）异面直线所成的角必须是 ，即的取值范围为 ．
（3）如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条直线互相垂直．记作．
5.空间中直线与平面的位置关系:
（1）直线在平面内——有 个公共点；
（2）直线与平面相交—— 一个公共点；
（3）直线与平面平行—— 公共点．
注：直线与平面 的情况统称为直线在平面外．
6.平面与平面之间的位置关系:
（1）两个平面平行——没有 ；
（2）两个平面相交——有一条 ．
自检自纠：
1. （1）无限延展, 两部分（2）2.（1）不在一条直线上（2）两点（3）公共点（4）一条直线和这条直线外的一点，两条相交直线，两条平行直线 3. （2）任何 4.（1）锐角或直角（2）（3）直角
5.（1）无数 （2）有且只有 （3）没有，相交或平行 6.（1）公共点（2）公共直线
二、分层小练
A.基础训练
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．下列叙述中，正确的是（ ）．
A．因为，，所以 B．因为，，所以
C．因为，，，所以 D．因为，，所以
2．已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ）
A． B． C． D．或
3．如果两条直线a与b有公共点，那么a与b（ ）
A．平行 B．是异面直线 C．共面 D．垂直
4．根据所学知识判断下列描述错误的是（ ）
A．不相交的直线是平行直线 B．经过两条平行直线有且只有一个平面
C．不共线的三点确定一个平面 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
5．下列图形中，不一定是平面图形的是（ ）
A．一组对边平行的四边形 B．两组对边延长后，都相交的四边形
C．四边相等的四边形 D．对角线相交的四边形
6．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．下列命题正确的是（ ）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B．四边形可以确定一个平面
C．若a，b是两条直线，是两个平面，且，则a，b是异面直线
D．若直线a不平行于平面，且，则内不存在与a平行的直线
8．下列叙述中正确的是（ ）
A．三点能确定一个平面
B．若点且，则
C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面
D．若点，且，则
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．空间中两条直线的位置关系有 .
10．直线和平面相交于点A,用集合符号表示 .
B.提升强化
一、单选题：（每小题5分，共30分）
1．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在直棱柱中，，其中，点是的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
6．如图正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分）
7．直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（ ）
A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能
8．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A． B． C．与是异面直线 D．与所成的角为90°
三、填空题（每小题5分，共10分）
9．下列图形中，不一定是平面图形的是 ．（填序号）
①三角形；②四边形；③圆；④梯形．
10．如图，正方体中，异面直线与所成角的大小是 .
