2023-2024学年高一数学8.1基本立体图形（人教A版2019必修第二册）
知识点1多面体
定义 图形及表示 结构特征
棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形
棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点
重难点1多面体的结构特征
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【答案】D
【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确；
对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确；
对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确；
对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确.
故选：D.
2．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD.
【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误；
两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误．
故选：D.
3．下列命题中成立的是（ ）
A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
【答案】A
【分析】
依据直棱柱、棱锥、正棱锥的概念来判断.
【详解】对A，以三棱柱为例，如图，若侧面和侧面为矩形，则.
又平面ABC，所以 面，
又棱柱侧棱互相平行，故其他侧棱也与底面垂直.
所以此三棱柱为直三棱柱，故A正确；
对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故B不正确；
对C，如图所示的三棱锥中有，满足侧面是全等的等腰三角形，
但它不是正三棱锥，故C不正确；
对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故D不正确.
故选：A
4．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】根据棱锥的定义和结构特征进行判断可得答案.
【详解】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.
故选：C
5．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】B
【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案.
【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥.
故选：B
6．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【答案】C
【分析】本题主要考查棱台的定义，根据棱台的上下底面互相平行，故两个底面对应边之间的比值是相等的，此条件是构成棱台的必要条件，逐个分析可得答案.
【详解】解：棱台是由棱锥截成的，上下两个底面互相平行，且对应边之间的比值相等.
A：，故A不正确；
B：，故B不正确；
C：，故C正确；
D：满足这个条件的是一个三棱柱，不是棱台，D不正确；
故选：C
重难点2展开图及最短距离问题
7．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C和D，再根据三角形的位置，即可得出答案，
故选：C
8．在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段为所求，再利用余弦定理即可得解.
【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，
由题意得，，
由余弦定理可得，
则，即蜗牛爬行的最短距离是.
故选：D.
9．如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】沿侧棱将正三棱柱的侧面展开，根据展开图，即可得出最小路径.
【详解】如图，沿侧棱将正三棱柱的侧面展开
由侧面展开图可知，当，，三点共线时，从点经点到的路线最短．
所以最短路线长为.
故选：B.
10．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .
【答案】
【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可.
【详解】如图，
沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处，
则线段的长度即为周长的最小值.
在中，，，
故，所以.
故答案为：.
11．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 .
【答案】 前 程
【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案.
【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.
故答案为：前；程.
12．如图所示，在长方体中，，对角线与底面所成角余弦值为，则从点沿表面到点的最短距离为 ．
【答案】
【分析】将正方体按不同位置侧面展开，分别计算平面图形中两点间的距离，比较可得出最小值．
【详解】由底面，得为对角线与底面所成角，设，则，
则，得，从点沿表面到点可以分为以卡三种情况：
①与相交，如图①所示，此时；②与相交，如图②所示，此时；
③与相交，如图③所示，此时．综上可知，从点沿表面到点的最短距离为．
故答案为：.
重难点3多面体的有关计算
13．长方体中，，为的中点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】连接，设，表示出，，，利用勾股定理计算可得.
【详解】如图连接，设，则，
，，
因为，所以，即，解得（负值舍去）.
故选：A
14．正四棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，上底面中心处高为h的旗杆顶点恰好为该四棱台四条侧棱的交点，则该四棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用正四棱台的结构特征，借助相似三角形性质计算即得.
【详解】正四棱台的侧棱延长线交于点，则是正四棱锥，
分别是正方形的中心，则共线，且是正四棱锥的高，
连接，则有，于是，
因此，即，解得，
所以该四棱台的高为.
故选：D
15．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，，，为其上三点，则在正方体盒子中，
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】还原几何体，进而求解即可.
【详解】解：根据题意，还原几何体如图，
由正方体的性质得为等边三角形，
所以等于.
故选：B
16．棱长都是3的三棱锥的高等于 .
【答案】
【分析】顶点P在底面上的射影为，在直角三角形中，利用勾股定理求棱锥的高.
【详解】如图，三棱锥棱长都是3，
设顶点P在底面上的射影为，则是等边的中心，
为外接圆半径，，
则在直角三角形中，，
所以三棱锥的高，
故答案为：
17．从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8，12，求这个长方体的对角线的长．
【答案】
【分析】根据三面面积可求长方体的长宽高，故可求对角线的长度.
【详解】设从长方体一个顶点出发的三条棱长分别为，
则，故，
故长方体的对角线的长为.
知识点2旋转体
定义 图形及表示 结构特征
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形．
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形．
球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．
知识点3组合体
由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成
重难点4旋转体的结构特征
18．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案.
【详解】解：
对于选项A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；
对于选项B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；
对于选项C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；
对于选项D：截面的形状不可能是等腰梯形；
故选：D
19．下列几何体是台体的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】侧棱没有相交于一点，故不是台体
两个底面没有平行，不是台体
是棱锥，不是台体
是圆台
故选：D
20．有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；
④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥．
【考查意图】空间几何体的结构特征．
21．下列说法中正确的个数是（ ）
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；
②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．
③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由棱柱，圆台的定义，旋转体的性质判断．
【详解】有两个侧面是矩形的棱柱中，如果这两个侧面相互平行，此时棱柱不一定是直棱柱，①错；
圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，②正确；
以直角梯形的不与底面垂直的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，③错．
只有一个命题正确．
故选：B．
22．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
【答案】AB
【分析】根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可.
【详解】A：圆柱的底面是圆面，故A正确；
B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确；
C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误；
D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误.
故选：AB
23．以下说法正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球；
B．球的大圆的半径等于球的半径；
C．球面和球是同一个概念；
D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.
【答案】B
【分析】
根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D
【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误，
对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确，
对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，
而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误，
对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误，
故选：B
重难点5组合体的结构特征
24．（多选）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤
C．②③④ D．①②③
【答案】ABC
【分析】根据选项逐一放入判断可得结果.
【详解】将模块①和②组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故A正确；
将模块①和④组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故B正确；
将模块②放在模块⑥上的四个小方块上，模块③的中间凸出的一小块倒放入模块⑥最右侧，然后再将模块④竖放入模块⑥最前侧即可，故C正确；
无论如何放入模块①②③都无法满足要求，故D不正确．
故选：ABC．
25．碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 .
【答案】
【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有个，正六边形有个，根据面数和棱数即可得关于的方程组，解得的值，即可求解.
【详解】根据题意， 碳（）由个顶点，有个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，
设正五边形有个，正六边形有个，
则，解得：，所以六元环的个数为个，
故答案为：
26．指出图中三个空间几何体的构成．
【答案】答案见解析
【分析】由几何体的定义以及题图观察可得结果.
【详解】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱．
题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥．
题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.
27．指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
【答案】答案见解析．
【分析】由组合体结合简单几何体判断．
【详解】第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体；
第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱．
重难点6展开图及最短距离问题
28．如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的结构特征采用将沿直线BC旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的长度问题，结合求解线段长度即得答案.
【详解】如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，
且在AB的延长线上．则，
由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，，
则，当三点共线时取等号，
当时，最小，最小值为，
即的最小值为，
故选：C
29．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 .
【答案】
【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果.
【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，
则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短，
圆柱体的底面周长为，；
最短路程为：.
故答案为：.
30．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.
【答案】50
【分析】将圆锥沿剪开得到扇形，根据圆锥的相关长度得出扇形的相关长度，根据展开图，求解即可得出答案.
【详解】
如图，将圆锥沿剪开，
则圆锥的母线即扇形的半径，
圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为，
所以圆心角，即.
又，，
所以，.
所以，这段铁路的长度为公里.
故答案为：50.
31．已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】设圆锥（底面积较小）的底面半径为，母线长为，圆锥（底面积较大）的底面半径为，母线长为，
依题意，
所以，
所以
，当且仅当时等号成立.
故选：B
32．如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.
【答案】
【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案.
【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，
则，，解得，，
故.
故BM间细绳的最短长度为.
重难点7圆柱、圆锥、圆台的有关计算
33．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．
【答案】12
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】设圆台的上底面半径为，圆锥的母线长为，
则圆台的下底面的半径为，
作出圆锥的轴截面如图，则，
所以，即．
解得，即圆锥的母线长为12．
故答案为：.
34．已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（ ）
A．的面积是定值 B．的面积没有最大值
C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2
【答案】C
【分析】AB长度不变，分析C到直线AB距离的取值范围，得到三角形面积的取值范围.
【详解】
如图，过C作CD垂直于AB，过D作DE垂直于底面，连接CE，
因为长为2，则的面积为，
，
因为CD垂直于AB，DE垂直于圆柱底面，所以DE垂直于AB，所以AB垂直于平面CDE，
所以CE垂直于AB，C是底面圆周上动点，所以CE最大等于底面半径，等于1，所以CD最大为，即面积最大为.
故选：C.
35．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
【答案】 2
【分析】
设正三角形的边长为，根据题意，列出方程求得轴截面正三角形的边长，进而求得圆锥的高和母线长.
【详解】
设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得，
由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为，
圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为.
故答案为：；；
36．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm．
【答案】
【分析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长.
【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面，
由题意知，四边形为正方形，设圆柱的底面半径为r，则．
轴截面的面积，解得．
故该等边圆柱的底面周长．
故答案为：
37．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意知，交于点，在中，求出，即可得答案；
【详解】由题意知，交于点，
∵，∴，
在中，∵，，
∴，∴．
故选：B．
38．若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.
【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，
因为，所以，
则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为，
故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，
故截面的面积的最大值为2.
故选：A.
重难点8球的简单计算
39．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面展开图是一个半圆可得，再根据勾股定理可得，进而可得球的半径.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
由圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得，得．
由圆锥的高为3，可得，即，故，
则球的半径．（根据圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，可知圆锥的母线长等于球的半径）
故选：B
40．已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，，且，那么A，B两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为 .
【答案】
【分析】由题意画图，三角形ABC截面圆心在AB中点，求出，然后求出两点的球面距离；球心到平面ABC的距离就是.
【详解】解：如图所示：
因为，所以是截面的直径，又，所以是等边三角形
所以，故两点的球面距离为
于是,所以球心到平面的距离：
故答案为：；
41．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.
【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为，
即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径，
则，所以甲、乙两地的球心角为，
故甲、乙两地的球面距离为.
故选：C.
42．北纬圈上有A，B两点，该纬度圈上劣弧长为（R为地球半径），则A，B两点的球面距离为 .
【答案】
【分析】先求北纬圈所在圆的半径，是、两地在北纬圈上对应的圆心角，得到线段的长，设地球的中心为，解三角形求的大小，利用弧长公式求、这两地的球面距离.
【详解】北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于为地球半径），
是、两地在北纬圈上对应的圆心角），故，
线段，若地球的中心为，则，
、这两地的球面距离是，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由北纬纬度圈上劣弧长求圆心角，进而求得弦长，即可求该弦与球心所成圆的圆心角.
43．若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径.
【详解】设球心为，半径为，
若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图：
设，
由题可得，，，，
则，解得．
故球的直径为．
若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图：
设，
由题可得，，，，
则，解得（不合题意舍去）．
故选：D．专题3.1基本立体图形
知识点1多面体
定义 图形及表示 结构特征
棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形
棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点
重难点1多面体的结构特征
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
2．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
3．下列命题中成立的是（ ）
A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
4．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
5．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
6．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
重难点2展开图及最短距离问题
7．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
8．在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A． B． C． D．
9．如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（ ）
A． B． C．4 D．
10．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 .
11．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 .
12．如图所示，在长方体中，，对角线与底面所成角余弦值为，则从点沿表面到点的最短距离为 ．
重难点3多面体的有关计算
13．长方体中，，为的中点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．正四棱台的上底面边长为a，下底面边长为b，上底面中心处高为h的旗杆顶点恰好为该四棱台四条侧棱的交点，则该四棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，，，为其上三点，则在正方体盒子中，等于（ ）
A． B． C． D．
16．棱长都是3的三棱锥的高等于 .
17．从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8，12，求这个长方体的对角线的长．
知识点2旋转体
定义 图形及表示 结构特征
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截
面是等腰三角形．
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形．
球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．
知识点3组合体
由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成
重难点4旋转体的结构特征
18．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列几何体是台体的是( )
A． B． C． D．
20．有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21．下列说法中正确的个数是（ ）
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；
②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．
③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
23．以下说法正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球；
B．球的大圆的半径等于球的半径；
C．球面和球是同一个概念；
D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.
重难点5组合体的结构特征
24．（多选）如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块组合有（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤
C．②③④ D．①②③
25．碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 .
26．指出图中三个空间几何体的构成．
27．指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
重难点6展开图及最短距离问题
28．如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
29．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 .
30．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.
31．已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
32．如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.
重难点7圆柱、圆锥、圆台的有关计算
33．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为，母线长为9，则圆锥的母线长是 ．
34．已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（ ）
A．的面积是定值 B．的面积没有最大值
C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2
35．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
36．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为，则该等边圆柱的底面周长为 cm．
37．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
38．若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
重难点8球的简单计算
39．已知圆锥的底面圆周在球的表面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
40．已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，，且，那么A，B两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为 .
41．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
42．北纬圈上有A，B两点，该纬度圈上劣弧长为（R为地球半径），则A，B两点的球面距离为 .
43．若球的两个平行截面的面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（ ）
A． B． C． D．
