第三单元《圆》 复习试题 2023--2024学年北师大版九年级数学下册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三单元《圆》 复习试题 2023--2024学年北师大版九年级数学下册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 531.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-15 19:04:44 | ||
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文档简介
北师大版数学九年级下第三单元《圆》复习试题
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A＝（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．如图，⊙O中，点C为弦AB的中点，连接OC，OA＝5，OC＝3，则AB的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE＝2BE，则∠E的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠A＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．90°
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，OD＝4，则AC等于（ ）
A．6 B．4 C． D．3
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦也相等D．相等的弦所对的圆心角也相等
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，连接AB、DB、CB、CD，AB⊥BC，BC＝8，∠BDC＝30°，则AB的长为（ ）
A． B． C．8 D．4
8．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F，若CE＝6，CD＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．已知⊙O的半径为13，弦AB＝10，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为1的点有 个．
12．已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 cm2．
13．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC＝ ．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10cm处．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 s后，⊙P与直线CD相切．
15．如图，⊙C过原点，且分别与两坐标轴交于点A，B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．
16．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC＝10，，AC⊥BD，垂足为E，则DE的长为 ．
18．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB经过圆心O，且与⊙O交于点B，C，若AP＝AB＝3，则直径BC的长为 ．
三．解答题（共10小题）
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，AE与⊙O相切点A．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD＝6，AD＝12，求AE的长．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点 D．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝2，求tan∠ACD．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠EAD；
（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）求证：∠DBC＝∠DCE；
（2）若AB＝8，sinD＝，求BE的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上的一点，以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O，且AB与⊙O相切于点H，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC．
（2）若AB＝5，tan∠OAC＝，求⊙O的半径．
26．如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝60°，AB＝AD，连接OB，OD，延长OD至点M，使得DM＝OD，连接AM．
（1）求证：四边形ABOD为菱形．
（2）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．
27．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若∠BEF＝∠CAE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BF＝10，EF＝20，求AC的长．
28．已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若PD＝4，tan∠DAB＝，求直径AB的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．C．
2．C．
3．B．
4．C．
5．C．
6．B．
7．A．
8．A．
9．B．
10．A．
二．填空题（共8小题）
11．3．
12．2π．
13．2．
14．3或7．
15．3．
16．．
17．3．
18．2．
三．解答题（共10小题）
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
（1）证明：∵∠P＝∠C，
而∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，AE与⊙O相切点A．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD＝6，AD＝12，求AE的长．
（1）证明：连接OA，则OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO＝90°，
∵AD＝CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠OBA＝90°，
∵∠EAB+∠OAB＝∠EAO＝90°，
∴∠EAB＝∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO＝90°，
∴AD2+OD2＝OA2，
∵BD＝6，AD＝12，
∴OD＝OB﹣6＝OA﹣6，
∴122+（OA﹣6）2＝OA2，
解得OA＝15，
∴OD＝15﹣6＝9，
∴tan∠AOE＝＝＝，
∴AE＝OA＝×15＝20，
∴AE的长为20．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点 D．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝2，求tan∠ACD．
（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
即∠OCA+∠DCA＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABC＝∠ACD，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得，
在Rt△ACD中，CD＝＝2，
∴在Rt△ACD中，．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠EAD；
（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．
（1）证明：∵AD＝ED，
∴∠EAD＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E+∠BCD＝180°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠EAD；
（2）解：如图，连接AC，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠ABD＝∠E，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴＝，即＝，
解得：AE＝2，
∴AB＝AE＝2．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连接DE，AD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED＝180°，
∵∠DEF+∠AED＝180°，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF＝FC＝1，AF＝4，
∴AC＝AF+CF＝5，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴＝，
∴DF2＝AF CF＝4×1＝4，
∴DF＝2，
在Rt△ADF中，
AD＝＝2，
∴sinC＝＝，
∴sin∠ABC＝．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）求证：∠DBC＝∠DCE；
（2）若AB＝8，sinD＝，求BE的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBC＝∠A＝90°﹣∠ABC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠DCE＝∠OCA，
∴∠DBC＝∠DCE．
（2）解：∵AB＝8，
∴OC＝OB＝AB＝4，
∵＝sinD＝，
∴OD＝OB＝×4＝6，
∴DC＝OD﹣OC＝6﹣4＝2，DB＝＝＝2，
∵∠DBC＝∠DCE，∠D＝∠D，
∴△DBC∽△DCE，
∴＝，
∴DE＝＝＝，
∴BE＝DB﹣DE＝2﹣＝，
∴BE的长是．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上的一点，以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O，且AB与⊙O相切于点H，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC．
（2）若AB＝5，tan∠OAC＝，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OH，
∵AB与圆相切于H，
∴OH⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC＝OH，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵tan∠CAO＝＝，
∴AC＝2OC＝2r，
∵半径OC⊥AC，
∴AC切圆于C，
∵AH切圆于H，
∴AH＝AC＝2r，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣r，
∵tanB＝＝，
∴＝，
∴BC＝10﹣4r，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴（2r）2+（10﹣4r）2＝52，
∴4r2﹣16r+15＝0，
∴r＝1.5或r＝2.5（bu不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径是1.5．
26．如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝60°，AB＝AD，连接OB，OD，延长OD至点M，使得DM＝OD，连接AM．
（1）求证：四边形ABOD为菱形．
（2）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．
（1）证明：如图，连接OA．
∵∠C＝60°，
∴∠BOD＝120°．
又∵AB＝AD，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°．
又∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD＝OD．
∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AB＝AD＝OB＝OD，
∴四边形ABOD为菱形．
（2）解：AM与⊙O相切．
理由：∵△AOD为等边三角形，
∴∠ADO＝∠OAD＝60°，
∴∠ADM＝120°．
又∵OD＝DM，OD＝AD，
∴DM＝AD，
∴∠DAM＝30°，
∴∠OAM＝90°，
∴AM与⊙O相切．
27．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若∠BEF＝∠CAE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BF＝10，EF＝20，求AC的长．
（1）证明：连接OE，交BC于点G，
∵EF与⊙O相切于点E，
∴∠OEF＝90°，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠OBE＝90°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠BEF＝∠EAB，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∵∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∴∠C＝∠OGB＝90°，
∴CG＝BG，
∵OA＝OB，
∴OG是△ACB的中位线，
∴AC＝2OG，
∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE，
∴△FEB∽△FAE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝40，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣10＝30，
∴OA＝OB＝OE＝AB＝15，
∵∠OGB＝∠OEF＝90°，
∴BC∥EF，
∴＝，
∴＝，
解得：OG＝9，
∴AC＝2OG＝18，
∴AC的长为18．
28．已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若PD＝4，tan∠DAB＝，求直径AB的长．
（1）证明：连接OD，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠DOP＝∠COP，
在△DOP和△COP中，
，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO＝∠PCO＝90°，
∵D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠PDB，
∵∠BPD＝∠BPD，
∴△PDB∽△PAD，
∴＝＝，
∵tan∠DAB＝＝，
∴＝＝，
∵PD＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝8﹣2＝6．
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A＝（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．如图，⊙O中，点C为弦AB的中点，连接OC，OA＝5，OC＝3，则AB的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE＝2BE，则∠E的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠A＝28°，则∠AOC的度数为（ ）
A．28° B．50° C．56° D．90°
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，OD＝4，则AC等于（ ）
A．6 B．4 C． D．3
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦也相等D．相等的弦所对的圆心角也相等
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，连接AB、DB、CB、CD，AB⊥BC，BC＝8，∠BDC＝30°，则AB的长为（ ）
A． B． C．8 D．4
8．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接AD，BE相交于点F，若CE＝6，CD＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．已知⊙O的半径为13，弦AB＝10，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为1的点有 个．
12．已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 cm2．
13．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC＝ ．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10cm处．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 s后，⊙P与直线CD相切．
15．如图，⊙C过原点，且分别与两坐标轴交于点A，B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．
16．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AC＝10，，AC⊥BD，垂足为E，则DE的长为 ．
18．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PB经过圆心O，且与⊙O交于点B，C，若AP＝AB＝3，则直径BC的长为 ．
三．解答题（共10小题）
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，AE与⊙O相切点A．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD＝6，AD＝12，求AE的长．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点 D．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝2，求tan∠ACD．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠EAD；
（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）求证：∠DBC＝∠DCE；
（2）若AB＝8，sinD＝，求BE的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上的一点，以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O，且AB与⊙O相切于点H，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC．
（2）若AB＝5，tan∠OAC＝，求⊙O的半径．
26．如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝60°，AB＝AD，连接OB，OD，延长OD至点M，使得DM＝OD，连接AM．
（1）求证：四边形ABOD为菱形．
（2）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．
27．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若∠BEF＝∠CAE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BF＝10，EF＝20，求AC的长．
28．已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若PD＝4，tan∠DAB＝，求直径AB的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．C．
2．C．
3．B．
4．C．
5．C．
6．B．
7．A．
8．A．
9．B．
10．A．
二．填空题（共8小题）
11．3．
12．2π．
13．2．
14．3或7．
15．3．
16．．
17．3．
18．2．
三．解答题（共10小题）
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
（1）证明：∵∠P＝∠C，
而∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD；
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD＝CD，AE与⊙O相切点A．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD＝6，AD＝12，求AE的长．
（1）证明：连接OA，则OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO＝90°，
∵AD＝CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠OBA＝90°，
∵∠EAB+∠OAB＝∠EAO＝90°，
∴∠EAB＝∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO＝90°，
∴AD2+OD2＝OA2，
∵BD＝6，AD＝12，
∴OD＝OB﹣6＝OA﹣6，
∴122+（OA﹣6）2＝OA2，
解得OA＝15，
∴OD＝15﹣6＝9，
∴tan∠AOE＝＝＝，
∴AE＝OA＝×15＝20，
∴AE的长为20．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点 D．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝2，求tan∠ACD．
（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
即∠OCA+∠DCA＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABC＝∠ACD，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得，
在Rt△ACD中，CD＝＝2，
∴在Rt△ACD中，．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，AE＝AB，AD＝ED，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠EAD；
（2）连接AC，若CD＝1，DE＝3，求AB的长．
（1）证明：∵AD＝ED，
∴∠EAD＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E+∠BCD＝180°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠EAD；
（2）解：如图，连接AC，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴∠ABD＝∠E，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△DAE，
∴＝，即＝，
解得：AE＝2，
∴AB＝AE＝2．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连接DE，AD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED＝180°，
∵∠DEF+∠AED＝180°，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF＝FC＝1，AF＝4，
∴AC＝AF+CF＝5，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴＝，
∴DF2＝AF CF＝4×1＝4，
∴DF＝2，
在Rt△ADF中，
AD＝＝2，
∴sinC＝＝，
∴sin∠ABC＝．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
（1）求证：∠DBC＝∠DCE；
（2）若AB＝8，sinD＝，求BE的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵BD与⊙O相切于点B，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBC＝∠A＝90°﹣∠ABC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠DCE＝∠OCA，
∴∠DBC＝∠DCE．
（2）解：∵AB＝8，
∴OC＝OB＝AB＝4，
∵＝sinD＝，
∴OD＝OB＝×4＝6，
∴DC＝OD﹣OC＝6﹣4＝2，DB＝＝＝2，
∵∠DBC＝∠DCE，∠D＝∠D，
∴△DBC∽△DCE，
∴＝，
∴DE＝＝＝，
∴BE＝DB﹣DE＝2﹣＝，
∴BE的长是．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC上的一点，以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O，且AB与⊙O相切于点H，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC．
（2）若AB＝5，tan∠OAC＝，求⊙O的半径．
（1）证明：连接OH，
∵AB与圆相切于H，
∴OH⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC＝OH，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵tan∠CAO＝＝，
∴AC＝2OC＝2r，
∵半径OC⊥AC，
∴AC切圆于C，
∵AH切圆于H，
∴AH＝AC＝2r，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣r，
∵tanB＝＝，
∴＝，
∴BC＝10﹣4r，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴（2r）2+（10﹣4r）2＝52，
∴4r2﹣16r+15＝0，
∴r＝1.5或r＝2.5（bu不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径是1.5．
26．如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝60°，AB＝AD，连接OB，OD，延长OD至点M，使得DM＝OD，连接AM．
（1）求证：四边形ABOD为菱形．
（2）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．
（1）证明：如图，连接OA．
∵∠C＝60°，
∴∠BOD＝120°．
又∵AB＝AD，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°．
又∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD＝OD．
∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AB＝AD＝OB＝OD，
∴四边形ABOD为菱形．
（2）解：AM与⊙O相切．
理由：∵△AOD为等边三角形，
∴∠ADO＝∠OAD＝60°，
∴∠ADM＝120°．
又∵OD＝DM，OD＝AD，
∴DM＝AD，
∴∠DAM＝30°，
∴∠OAM＝90°，
∴AM与⊙O相切．
27．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若∠BEF＝∠CAE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BF＝10，EF＝20，求AC的长．
（1）证明：连接OE，交BC于点G，
∵EF与⊙O相切于点E，
∴∠OEF＝90°，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠OBE＝90°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠BEF＝∠EAB，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴AE平分∠BAC；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∵∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∴∠C＝∠OGB＝90°，
∴CG＝BG，
∵OA＝OB，
∴OG是△ACB的中位线，
∴AC＝2OG，
∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE，
∴△FEB∽△FAE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝40，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣10＝30，
∴OA＝OB＝OE＝AB＝15，
∵∠OGB＝∠OEF＝90°，
∴BC∥EF，
∴＝，
∴＝，
解得：OG＝9，
∴AC＝2OG＝18，
∴AC的长为18．
28．已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若PD＝4，tan∠DAB＝，求直径AB的长．
（1）证明：连接OD，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠DOP＝∠COP，
在△DOP和△COP中，
，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO＝∠PCO＝90°，
∵D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠PDB，
∵∠BPD＝∠BPD，
∴△PDB∽△PAD，
∴＝＝，
∵tan∠DAB＝＝，
∴＝＝，
∵PD＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝8﹣2＝6．