第二章 二次函数 单元复习题 2023--2024学年北师大版九年级数学下册 含解析
文档属性
| 名称 | 第二章 二次函数 单元复习题 2023--2024学年北师大版九年级数学下册 含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 405.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-15 19:07:49 | ||
图片预览
文档简介
北师大版九年级下册第二章二次函数单元复习题
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
3．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
4．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 8 3 0 ﹣1 0
则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0）
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
12．已知Y1，Y2，Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（﹣1，﹣2）、B（2，1）和C（，3），规定M={Y1，Y2，Y3中最小的函数值}，则下列结论：
①当x＜﹣1时，M=Y1；②当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1；
③当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值；④当x≥2时，M最大值是1，无最小值．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
13．已知函数y=﹣x2﹣2x，当 时，函数值y随x的增大而增大．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．
15．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 ．
16．如图，P是抛物线C：y=2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为 _____________ ．
17．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，
0）两点，则+的值为 ．
18．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
19．已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
现给出下列说法：
①该函数开口向下．②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线．③当x=2时，y=3．④方程ax2+bx+c=﹣2的正根在3与4之间．
其中正确的说法为 ．（只需写出序号）
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
24．如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数 的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数 的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
27．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选：B．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
3．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
解：依题意知a＞0，﹣＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=，1，，
b=，1，，
∴ab=或1，
故选A．
4．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，
∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，
∴0≤k，
∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，
∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，
∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．
故选：D．
5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴﹣＞1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③点A的横坐标为，点C的纵坐标为c，
∵OC=2OA，
∴﹣c=，整理得：2b﹣ac=4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选C．
7．抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；
故选：B．
8．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 8 3 0 ﹣1 0
则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0）
解：
∵当x=0或x=2时，y=0，当x=1时，y=﹣1，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
故选C．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：（1）正确．∵﹣=2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2=，2﹣（﹣）=，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选B．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣=1，即b=﹣2a＞0，
由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，
则abc＜0，故①正确；
由①知y=ax2﹣2ax+1，
∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，
∴a＜﹣，故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，
∴a+b+1=k+1，即a+b=k，
∵b=﹣2a，
∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；
由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，
∵x＞0，
∴ax+b＞k，故④正确；
故选：A．
11．如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
解：连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，﹣）
令x=0，则y=，点C坐标（0，），
令y=0则﹣x2+x+=0，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC=××m+×10×（﹣）﹣××10=﹣（m﹣5）2+，
∴x=5时，△PAC面积最大值为，
此时点P坐标（5，）．
故点P坐标为（5，）．
12．已知Y1，Y2，Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（﹣1，﹣2）、B（2，1）和C（，3），规定M={Y1，Y2，Y3中最小的函数值}，则下列结论：
①当x＜﹣1时，M=Y1；
②当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1；
③当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值；
④当x≥2时，M最大值是1，无最小值．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：一次函数Y3过点A（﹣1，﹣2）、B（2，1），则解析式为：Y3=x﹣1；
①当x＜﹣1时，Y1，Y2，Y3中最小的函数值为Y1，所以M=Y1，故①正确；
②当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1，故②正确；
③当0≤x≤2时，Y1，Y2，Y3中最小的函数值为Y3，M的最小值是﹣1，最大值是1；故③错误；
④当x≥2时，Y1，Y2，Y3中最小的函数值为Y1，则M最大值是1，无最小值，故④正确．
故选C．
二．填空题（共8小题）
13．已知函数y=﹣x2﹣2x，当 x≤﹣1 时，函数值y随x的增大而增大．
解：∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x≤﹣1．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 y=x2﹣x﹣2 ．
解：∵tan∠ACO=，
∴=，
∴OC=2OA．
∵CO=BO，
∴BO=2AO．
∵AB=AO+BO=3，
∴AO=1，BO=2，CO=2，
∴A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，﹣2）．
把（﹣1，0），（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数解析式是y=x2﹣x﹣2．
15．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 （1+，3）或（2，﹣3） ．
解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0，
∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，﹣3）
故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）
16．如图，P是抛物线C：y=2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为 或1或3 ．
解：∵直线x=k分别与直线y=x、抛物线y=2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴A（k，k），B（k，2k2﹣8k+8），AB=|k﹣（2k2﹣8k+8）|=|2k2﹣9k+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|k﹣2|，
即|2k2﹣9k+8|=|k﹣2|，解得k=或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|k﹣2|，结果同上．
故答案为：或1或3．
17．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为 ﹣4 ．
解：设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，
∴x1+x2=﹣=2，x1， x2=﹣，
∴+==﹣4，
故答案为：﹣4．
18．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1 ＞ y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
解：∵y=2（x﹣3）2+5，
∴a=2＞0，有最小值为5，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2（x﹣3）2+5对称轴为直线x=3，
∵x1＞x2＞4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
19．已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
现给出下列说法：
①该函数开口向下．
②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线．
③当x=2时，y=3．
④方程ax2+bx+c=﹣2的正根在3与4之间．
其中正确的说法为 ①③④ ．（只需写出序号）
解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，所以①正确；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x=，所以②错误；
点（1，3）和点（2，3）为对称点，所以③正确；
∵x=﹣1时，y=﹣3，
∴x=4时，y=﹣3，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c=﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，所以④正确．
故答案为①③④．
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 15 ．
解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC==5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴P（2，﹣1）
过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：
S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB
=3×4﹣×2×4﹣﹣
=3
即：△CPB的面积为3
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x﹣1）2+
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0﹣1）2+=4
解得a=﹣
∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣（ x﹣1）2+
（2）P1 （1，），P2 （1，﹣），P3 （1，8），P4 （1，），
（3）存在．
令﹣（ x﹣1）2+=0，解得x1=﹣2，x2=4
∴抛物线y=﹣（ x﹣1）2+与x轴的交点为A （﹣2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB
设E点坐标为 （x，0），则EB=4﹣x，MF= （4﹣x）
∴S=S△BCE﹣S△BEF= EB OC﹣ EB MF
= EB（OC﹣MF）= （4﹣x）[4﹣ （4﹣x）]
=﹣x2+x+=﹣（ x﹣1）2+3
∵a=﹣＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．
23．国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，
令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，
解得：x1=16，x2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
24．如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数 的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数 的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．
解：（1）①把A（1，0）代入抛物线y=（x﹣h）2﹣2中得：
（x﹣h）2﹣2=0，
解得：h=3或h=﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴h＞0，
∴h=3，
∴抛物线l的表达式为：y=（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3，
由对称性得：B（5，0），
由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数 的值y随x的增大而增大；
②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，
由对称性得：DF=PD，
∵S△ABQ=2S△ABP，
∴AB QE=2×AB PD，
∴QE=2PD，
∵PD∥QE，
∴△PAD∽△QAE，
∴，
∴AE=2AD，
设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），
∵点F、Q在抛物线l上，
∴PD=DF=﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，
QE=（1+2a﹣3）2﹣2，
∴（1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，
解得：a=或a=0（舍），
∴P（，）；
（2）当y=0时，（x﹣h）2﹣2=0，
解得：x=h+2或h﹣2，
∵点A在点B的左侧，且h＞0，
∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，
分两种情况：
①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则，
∴3≤h≤4，
②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得，，
即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），
当PA=PD时，
=，
解得，y=﹣，
即点P的坐标为（1，﹣）；
当DA=DP时，
=，
解得，y=﹣4±，
即点P的坐标为（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；
当AD=AP时，
=，
解得，y=±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．
26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，
∴
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM+PN的最大值是；
（3）能，
理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，
∴E（0，﹣），
∴CE=，
设P（m，m2﹣m﹣2），
若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣m﹣），
∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，或m2﹣m﹣2+m+=，
∴m1=1，m2=0（舍去），m3=，m4=，
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣），
设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），
∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，
∴m=1，m=0（舍去），
综上所述，F（1，﹣），（，﹣），（，）（﹣1，0）以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．
27．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3，CM=，
∴S△BCM=BC×CM=×3×=3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，
∴n=，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+2m﹣3=，
∴m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，
∴N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得（舍），，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）或N（﹣2，﹣3）．
28．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴y=x2﹣x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，
∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），
则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4
=4；
（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下
如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴==，
∴==
∴AF=t，FQ=t
∴Q（3﹣t，﹣t），
∵EQ=AP=t，
∴E（3﹣t﹣t，﹣t），
∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上，
∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=，或t=0（与A重合，舍去），
∴E（﹣，﹣）．
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
3．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
4．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 8 3 0 ﹣1 0
则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0）
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
12．已知Y1，Y2，Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（﹣1，﹣2）、B（2，1）和C（，3），规定M={Y1，Y2，Y3中最小的函数值}，则下列结论：
①当x＜﹣1时，M=Y1；②当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1；
③当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值；④当x≥2时，M最大值是1，无最小值．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
13．已知函数y=﹣x2﹣2x，当 时，函数值y随x的增大而增大．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．
15．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 ．
16．如图，P是抛物线C：y=2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为 _____________ ．
17．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，
0）两点，则+的值为 ．
18．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
19．已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
现给出下列说法：
①该函数开口向下．②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线．③当x=2时，y=3．④方程ax2+bx+c=﹣2的正根在3与4之间．
其中正确的说法为 ．（只需写出序号）
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 ．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
24．如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数 的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数 的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
27．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选：B．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣
解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣==1，故选项D正确．
故选D．
3．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
解：依题意知a＞0，﹣＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=，1，，
b=，1，，
∴ab=或1，
故选A．
4．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5
解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，
∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，
∴0≤k，
∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，
∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，
∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．
故选：D．
5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA＜1）．下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0； ③若OC=2OA，则2b﹣ac=4； ④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴﹣＞1，
∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；
②∵b＞﹣2a，a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；
③点A的横坐标为，点C的纵坐标为c，
∵OC=2OA，
∴﹣c=，整理得：2b﹣ac=4，③成立；
④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，
∴﹣2a＜b＜﹣4a，
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．
综上可知正确的结论有3个．
故选C．
7．抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：抛物线y=，y=x2的开口向上，y=﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y=，y=x2，y=﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；
故选：B．
8．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 8 3 0 ﹣1 0
则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（2，0）
解：
∵当x=0或x=2时，y=0，当x=1时，y=﹣1，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），
故选C．
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：（1）正确．∵﹣=2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2=，2﹣（﹣）=，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选B．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣=1，即b=﹣2a＞0，
由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，
则abc＜0，故①正确；
由①知y=ax2﹣2ax+1，
∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，
∴a＜﹣，故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，
∴a+b+1=k+1，即a+b=k，
∵b=﹣2a，
∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；
由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，
∵x＞0，
∴ax+b＞k，故④正确；
故选：A．
11．如图，抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（5，） C．（4，） D．（5，3）
解：连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，﹣）
令x=0，则y=，点C坐标（0，），
令y=0则﹣x2+x+=0，解得x=﹣2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），
∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC=××m+×10×（﹣）﹣××10=﹣（m﹣5）2+，
∴x=5时，△PAC面积最大值为，
此时点P坐标（5，）．
故点P坐标为（5，）．
12．已知Y1，Y2，Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（﹣1，﹣2）、B（2，1）和C（，3），规定M={Y1，Y2，Y3中最小的函数值}，则下列结论：
①当x＜﹣1时，M=Y1；
②当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1；
③当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值；
④当x≥2时，M最大值是1，无最小值．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：一次函数Y3过点A（﹣1，﹣2）、B（2，1），则解析式为：Y3=x﹣1；
①当x＜﹣1时，Y1，Y2，Y3中最小的函数值为Y1，所以M=Y1，故①正确；
②当﹣1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1，故②正确；
③当0≤x≤2时，Y1，Y2，Y3中最小的函数值为Y3，M的最小值是﹣1，最大值是1；故③错误；
④当x≥2时，Y1，Y2，Y3中最小的函数值为Y1，则M最大值是1，无最小值，故④正确．
故选C．
二．填空题（共8小题）
13．已知函数y=﹣x2﹣2x，当 x≤﹣1 时，函数值y随x的增大而增大．
解：∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，
a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x≤﹣1．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 y=x2﹣x﹣2 ．
解：∵tan∠ACO=，
∴=，
∴OC=2OA．
∵CO=BO，
∴BO=2AO．
∵AB=AO+BO=3，
∴AO=1，BO=2，CO=2，
∴A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，﹣2）．
把（﹣1，0），（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的函数解析式是y=x2﹣x﹣2．
15．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 （1+，3）或（2，﹣3） ．
解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0，
∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，﹣3）
故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）
16．如图，P是抛物线C：y=2x2﹣8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线C交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k为 或1或3 ．
解：∵直线x=k分别与直线y=x、抛物线y=2x2﹣8x+8交于点A、B两点，
∴A（k，k），B（k，2k2﹣8k+8），AB=|k﹣（2k2﹣8k+8）|=|2k2﹣9k+8|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|k﹣2|，
即|2k2﹣9k+8|=|k﹣2|，解得k=或1或3；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|k﹣2|，结果同上．
故答案为：或1或3．
17．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为 ﹣4 ．
解：设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，
∴x1+x2=﹣=2，x1， x2=﹣，
∴+==﹣4，
故答案为：﹣4．
18．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1 ＞ y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
解：∵y=2（x﹣3）2+5，
∴a=2＞0，有最小值为5，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2（x﹣3）2+5对称轴为直线x=3，
∵x1＞x2＞4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
19．已知二次函数y=ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
现给出下列说法：
①该函数开口向下．
②该函数图象的对称轴为过点（1，0）且平行于y轴的直线．
③当x=2时，y=3．
④方程ax2+bx+c=﹣2的正根在3与4之间．
其中正确的说法为 ①③④ ．（只需写出序号）
解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，所以①正确；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x=，所以②错误；
点（1，3）和点（2，3）为对称点，所以③正确；
∵x=﹣1时，y=﹣3，
∴x=4时，y=﹣3，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c=﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，所以④正确．
故答案为①③④．
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 15 ．
解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC==5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴P（2，﹣1）
过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：
S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB
=3×4﹣×2×4﹣﹣
=3
即：△CPB的面积为3
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x﹣1）2+
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0﹣1）2+=4
解得a=﹣
∴所求抛物线的函数关系式为y=﹣（ x﹣1）2+
（2）P1 （1，），P2 （1，﹣），P3 （1，8），P4 （1，），
（3）存在．
令﹣（ x﹣1）2+=0，解得x1=﹣2，x2=4
∴抛物线y=﹣（ x﹣1）2+与x轴的交点为A （﹣2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB
设E点坐标为 （x，0），则EB=4﹣x，MF= （4﹣x）
∴S=S△BCE﹣S△BEF= EB OC﹣ EB MF
= EB（OC﹣MF）= （4﹣x）[4﹣ （4﹣x）]
=﹣x2+x+=﹣（ x﹣1）2+3
∵a=﹣＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．
23．国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．
（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，
令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，
解得：x1=16，x2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
24．如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数 的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数 的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；
（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．
解：（1）①把A（1，0）代入抛物线y=（x﹣h）2﹣2中得：
（x﹣h）2﹣2=0，
解得：h=3或h=﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴h＞0，
∴h=3，
∴抛物线l的表达式为：y=（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3，
由对称性得：B（5，0），
由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数 的值y随x的增大而增大；
②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，
由对称性得：DF=PD，
∵S△ABQ=2S△ABP，
∴AB QE=2×AB PD，
∴QE=2PD，
∵PD∥QE，
∴△PAD∽△QAE，
∴，
∴AE=2AD，
设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），
∵点F、Q在抛物线l上，
∴PD=DF=﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，
QE=（1+2a﹣3）2﹣2，
∴（1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，
解得：a=或a=0（舍），
∴P（，）；
（2）当y=0时，（x﹣h）2﹣2=0，
解得：x=h+2或h﹣2，
∵点A在点B的左侧，且h＞0，
∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，
分两种情况：
①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则，
∴3≤h≤4，
②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得，，
即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），
当PA=PD时，
=，
解得，y=﹣，
即点P的坐标为（1，﹣）；
当DA=DP时，
=，
解得，y=﹣4±，
即点P的坐标为（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）；
当AD=AP时，
=，
解得，y=±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2）或（1，﹣4+）或（1，4）．
26．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，
∴
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM+PN的最大值是；
（3）能，
理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，
∴E（0，﹣），
∴CE=，
设P（m，m2﹣m﹣2），
若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，
∴F（m，﹣m﹣），
∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，或m2﹣m﹣2+m+=，
∴m1=1，m2=0（舍去），m3=，m4=，
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG=GE，PG=FG，
∴G（0，﹣），
设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），
∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，
∴m=1，m=0（舍去），
综上所述，F（1，﹣），（，﹣），（，）（﹣1，0）以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．
27．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，
∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，
如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3，CM=，
∴S△BCM=BC×CM=×3×=3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，
∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，
∴n=，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，
∴m2+2m﹣3=，
∴m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，
∴N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）．
②如图2，
②点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得（舍），，
∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）或N（﹣2，﹣3）．
28．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴y=x2﹣x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，
∴点D（1，﹣）、点C（0，﹣4），
则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4
=4；
（3）四边形APEQ为菱形，E点坐标为（﹣，﹣）．理由如下
如图2，E点关于PQ与A点对称，过点Q作，QF⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP，
∴四边形AQEP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴==，
∴==
∴AF=t，FQ=t
∴Q（3﹣t，﹣t），
∵EQ=AP=t，
∴E（3﹣t﹣t，﹣t），
∵E在二次函数y=x2﹣x﹣4上，
∴﹣t=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=，或t=0（与A重合，舍去），
∴E（﹣，﹣）．